Kesirleri sadeleştirme: veliler için en sade hâle adım adım rehber

Çocuğunuz eve "her cevabı en sade hâliyle yazın" diyen bir çalışma kâğıdı getiriyor ve ilk cevap 6/8. 6/8'in bir şekilde 3/4 ile aynı olduğunu hatırlıyorsunuz, ama nasıl açıklanacağını hatırlamıyorsunuz. Bu rehber kesirleri adım adım nasıl sadeleştireceğinizi, kesir sadeleştirmenin miktarı neden hiç değiştirmediğini ve işi mutfak masasında hızlandıran kısa yolları gösterir.

Kesirleri sadeleştirmek ne demektir?

Bir kesri sadeleştirmek, aynı miktarı daha küçük sayılarla yazmak demektir; böylece parçalar büyür ve azalır. 8 dilime kesilip 6 dilimi yenmiş bir pizza ile 4 dilime kesilip 3 dilimi yenmiş bir pizza aynı miktarda pizzanın bittiğini gösterir; dolayısıyla 6/8 = 3/4'tür.

Aynı miktarı adlandıran kesirlere denk kesirler denir. Türkiye'de bu konu 5. sınıftadır: MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı M.5.1.3.4 kazanımında öğrencinin sadeleştirme ve genişletmenin kesrin değerini değiştirmeyeceğini anlamasını ve bir kesre denk kesirler oluşturmasını ister; işlemlere geçmeden önce kesir modelleriyle kavramsal çalışma yapılmasını da şart koşar. ABD'de Common Core 4.NF.A.1 standardı dördüncü sınıflardan, a/b kesrinin (n × a)/(n × b) kesrine neden denk olduğunu görsel kesir modelleriyle açıklamalarını ister ve iki kesir aynı büyüklükte olsa da parçaların sayısının ve büyüklüğünün nasıl farklılaştığına dikkat çeker.

Sadeleştirme bu kuralı tersten işletir. Payı ve paydayı 2 ile çarpmak 3/4'ü 6/8'e çevirir; dolayısıyla payı ve paydayı 2'ye bölmek 6/8'i yeniden 3/4'e çevirir.

En sade hâl neden öğretilir?

En sade hâl öğretilir, çünkü her miktara tek bir standart ad verir ve bu da cevapları karşılaştırmayı ve kontrol etmeyi kolaylaştırır. Bir kesir, payı ile paydasını birlikte bölen tek doğal sayı 1 olduğunda en sade hâlindedir; Vikipedi'nin indirgenemez kesirler maddesi buna "en küçük terimler" ve "indirgenmiş kesir" gibi başka adlar da verir.

İngiltere'nin ulusal öğretim programı aynı beceriyi 6. yıla koyar: öğrenciler kesirleri sadeleştirmek için ortak bölenleri kullanmalıdır. What Works Clearinghouse'un kesir öğretimi uygulama kılavuzu da kesirlerin sıralanabilen ya da denk sayılabilen büyüklükleri olan sayılar olduğunun öğretilmesini önerir; sadeleştirmenin arkasındaki fikir de budur.

Kesirleri sadeleştirme adım adım

Kesirleri sadeleştirme yönteminin tek bir kuralı vardır: payı ve paydayı aynı sayıya bölün. Bu adımlar 18/24'ü sadeleştirir.

1. İki kısmı da bölen bir sayı arayın. 18 ile 24'ün ikisi de çifttir, dolayısıyla 2 ikisini de böler.
2. Payı ve paydayı bu sayıya bölün. 18 ÷ 2 = 9 ve 24 ÷ 2 = 12, dolayısıyla 18/24, 9/12 olur.
3. Yeni kesirle tekrarlayın. 9 ile 12'nin ikisi de 3'e bölünür; 9 ÷ 3 = 3 ve 12 ÷ 3 = 4, dolayısıyla 9/12, 3/4 olur.
4. İkisini yalnızca 1 bölüyorsa durun. 1'den büyük hiçbir doğal sayı hem 3'ü hem 4'ü bölmez, dolayısıyla 3/4 en sade hâlindedir.
5. Geri çarparak kontrol edin. 3 × 6 = 18 ve 4 × 6 = 24, dolayısıyla 3/4 ile 18/24 aynı miktardır.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınÇarpan Çiftleri3–5. sınıf

EBOB'a bölerek tek adımda

En büyük ortak bölene (EBOB) bölmek, bir kesri birkaç adım yerine tek adımda sadeleştirir. 18/24 için EBOB 6'dır; 18 ÷ 6 = 3 ve 24 ÷ 6 = 4, dolayısıyla cevap bir anda 3/4'tür.

İki yol her zaman aynı sonuca varır. 36/48'de iki kez yarıya bölüp sonra 3'e bölmek 2 × 2 × 3 = 12'yi kullanır; bu da 36 ile 48'in EBOB'udur. MEB programı iki doğal sayının ortak bölenlerini 6. sınıfta (M.6.1.2.5), EBOB hesaplamayı ise adıyla 8. sınıfta (M.8.1.1.2) işler; Common Core'un 6.NS.B.4 standardı da altıncı sınıflardan 100'e kadar iki doğal sayının en büyük ortak bölenini bulmalarını ister. EBOB ve EKOK rehberi onun nasıl bulunacağını gösterir.

Kesirleri sadeleştirmenin dört yolu karşılaştırmalı

Kesirlerin nasıl sadeleştirileceği sorusunu dört yöntem cevaplar ve her biri farklı bir çocuğa ve farklı bir kesre uyar. Adım adım yol yeni başlayanlar için en güvenlisidir; bölenler tanıdık hâle geldiğinde ise EBOB yolu en hızlısıdır.

Bölünebilme kısa yolları

Bölünebilme kuralları, uzun bölme yapmadan hangi sayıların iki kısmı da böldüğünü gösterir. MEB programı bu kuralları 6. sınıfta öğretir (M.6.1.2.2). Ödevlerdeki kesirlerin çoğunu beş kural kapsar:

• 2'ye: son rakam çifttir; 14 ve 38 gibi.
• 3'e: rakamların toplamı 3'ün katıdır; 5 + 1 = 6 olan 51 gibi.
• 5'e: son rakam 0 ya da 5'tir; 45 ve 60 gibi.
• 9'a: rakamların toplamı 9'un katıdır; 27 ve 63 gibi.
• 10'a: son rakam 0'dır; 30 ve 70 gibi.

45/60'ı alın. İki sayı da 5 ya da 0 ile biter, dolayısıyla 5'e bölüp 9/12 bulun; 9, 3'ün katıdır ve 12'nin rakamları toplamı 3'tür, dolayısıyla 3'e bölüp 3/4 bulun. 27/63'te iki rakam toplamı da 9'dur, dolayısıyla tek bir 9'a bölme 3/7 verir.

Asal çarpan yöntemi hangi sayıların asal olduğunu bilmeye dayanır; asal sayılar yazısı onları listeler. Her kısa yolu hızlı bölme bilgisi taşır; 4. sınıflar için bölme çalışma sayfası cevap anahtarıyla yazdırılabilir alıştırma sunar.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınBölme İşlemleri3. sınıf+

Bileşik ve tam sayılı kesirler nasıl sadeleştirilir?

Bileşik bir kesir, basit bir kesirle tamamen aynı şekilde, payı ve paydası ortak bir bölene bölünerek sadeleştirilir. 14/4'te iki kısım da çifttir; 14 ÷ 2 = 7 ve 4 ÷ 2 = 2, sonuç 7/2'dir.

Sonucu tam sayılı kesre çevirmek ikinci ve ayrı bir adımdır. 7'yi 2'ye bölün; bölüm 3, kalan 1'dir, dolayısıyla 7/2 = 3 1/2. Önce çevirip sonra kesir kısmını sadeleştirmek de aynı cevabı verir, 14/4 = 3 2/4 = 3 1/2; ama önce sadeleştirmek sayıları küçük tutar.

Tam sayılı kesirler nasıl sadeleştirilir?

Tam sayılı bir kesir, tam kısmı olduğu gibi bırakıp yalnızca kesir kısmını sadeleştirerek sadeleştirilir. 2 6/9'da 6/9 kesri 3'e bölününce 2/3 olur, dolayısıyla 2 6/9 = 2 2/3'tür.

Kesir kısmı bileşik olan bir tam sayılı kesir bir hamle daha ister. 1 9/6'da 9/6, 3/2'ye sadeleşir; bu da 1 1/2'dir, dolayısıyla 1 9/6 = 1 + 1 1/2 = 2 1/2'dir. Aynı beceriler, cevapların genellikle en sade hâliyle verildiği kesirlerde bölme konusunda yeniden karşınıza çıkar.

Çocuğunuzun kesirleri sadeleştirebildiğini nasıl kontrol edersiniz?

Beş kısa soru, kesirleri sadeleştirmenin oturup oturmadığını gösterir. İşlemi de isteyin, çünkü tahminle gelen doğru bir cevap size hiçbir şey öğretmez.

• Tek bir ortak bölen: 10/15'i sadeleştirin. Cevap, iki kısmı 5'e bölerek bulunan 2/3'tür.
• Gizli bir bölen: 21/28'i sadeleştirin. Cevap, 7'ye bölerek bulunan 3/4'tür.
• Birden fazla adım: 24/36'yı sadeleştirin. Cevap 2/3'tür; tek adımda 12'ye ya da sırayla 2, 2 ve 3'e bölerek.
• Zaten en sade: 9/15'in en sade hâlinde olup olmadığını sorun. Değildir, çünkü 3 ikisini de böler; cevap 3/5'tir.
• Bileşik: 18/4'ü sadeleştirip tam sayılı kesir olarak yazın. Cevap 9/2'dir, bu da 4 1/2'dir.

Beş dakikalık bir test

Biri kolay, biri gizli bölenli, biri bileşik üç karışık kesirden oluşan beş dakikalık bir test, tek tip sorulardan oluşan bir sayfadan daha çok şey söyler. Her hafta yeni sayılarla tekrarlayın ve çocuğunuz iki hafta üst üste üçünü de doğru yaptığında bir sonraki konuya geçin.

Bu kontrollerden biri bir boşluk gösterirse veliler için kesirler rehberi daha önceki fikirleri (pay, payda, kesirleri karşılaştırma) anlatır.

Kesirleri sadeleştirirken sık yapılan hatalar

Yanlış cevapların çoğunu üç hata doğurur ve her birinin tek satırlık bir düzeltmesi vardır.

• Bölmek yerine çıkarmak: 5/10'un payından ve paydasından 4 çıkarmak 1/6 verir, ama 5/10 bir yarımdır. İki kısmı aynı sayıya bölün: 5/10 ÷ 5 = 1/2.
• Rakamları silmek: 12/24'teki 2'lerin üstünü çizmek 1/4 verir, ama 12/24, 1/2'dir. Bu numara 16/64 = 1/4'te yalnızca şans eseri doğru görünür; sayıların tamamını bölün, tek rakamların üstünü asla çizmeyin.
• Erken durmak: 8/12'yi yarıya bölmek 4/6 verir ve 4 ile 6 hâlâ çifttir. 2/3'e kadar devam edin ya da en başta EBOB olan 4'e bölün.

Sınır durum: zaten en sade hâlde olan kesirler

Bir kesrin kısımlarının 1'den büyük ortak böleni yoksa, sayılar büyük görünse bile kesir zaten en sade hâlindedir. 7/12'de 7 asaldır ve 12'yi bölmez, dolayısıyla 7/12 sadeleştirilemez.

8/9 ya da 15/16 gibi ardışık iki sayının 1'den büyük ortak böleni hiçbir zaman olmaz; payı 1 olan hiçbir kesrin de olmaz. 6/6 gibi payı paydasına eşit bir kesir 1'e sadeleşir.

En sade hâl kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Aynı sayı: payı ve paydayı aynı sayıya bölün, asla çıkarmayın.
• Kısa yollar: önce bölünebilme kurallarıyla 2, 3, 5, 9 ve 10'u deneyin.
• EBOB: tek adımda bitirmek için en büyük ortak bölene bölün.
• Durma kuralı: ancak iki kısmı birden bölen tek sayı 1 kaldığında durun.
• Tam sayılı kesirler: tam kısmı koruyun ve kesir kısmını sadeleştirin.
• Kontrol: cevabınızı geri çarpın ve başlangıçtaki kesirle karşılaştırın.

Bölen bilgisi bu adımların her birini hızlandırır. 5. sınıflar için matematik oyunu sayfası, kesir çalışmalarının hız kazandığı yıl için sınıf düzeyindeki alıştırmaları bir araya getirir.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve 33 dilde günlük alıştırma sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır; bütün aile için 2–5 kişilik gerçek zamanlı düellolar da içerir. Oyunlarından 22'si tarayıcıda üyeliksiz ve ücretsiz oynanır, 30 yazdırılabilir çalışma sayfası da cevap anahtarıyla gelir.