Alan ve çevre nedir: çit, halı ve formüllerle anlatım

1. sınıftaki çocuğunuzun ödevinde uzun kenarı 6 cm, kısa kenarı 4 cm olan bir dikdörtgen var; soru alanı ve çevreyi istiyor, cevaplar ise 10 ve 24 ya da 24 ve 24 olarak geliyor. Alan ve çevre aynı şeklin iki ayrı ölçüsüdür ve çocuklar ikisini karıştırır, çünkü ikisi de aynı kenar uzunluklarından başlar. Tek bir resim çevrenin ve alanın ne olduğunu cevaplar: çevre bir bahçenin etrafındaki çit, alan ise yerdeki halıdır.

Alan ile çevre arasındaki fark nedir?

Çevre bir şeklin etrafındaki uzunluktur, alan ise şeklin içindeki düz yüzeyin büyüklüğüdür. OpenStax Prealgebra bunu iki satırda söyler: çevre bir şeklin etrafındaki uzunluğun ölçüsüdür, alan ise şeklin kapladığı yüzeyin ölçüsüdür.

Bir bahçe tarhında etrafındaki çit onun çevresidir ve metreyle ölçülür; içindeki toprak ise alanıdır ve metrekareyle ölçülür.

Ödevdeki 6'ya 4'lük dikdörtgen ikisini birden gösterir. Kenar boyunca dolaşırsanız 6 + 4 + 6 + 4 = 20 birim yol alırsınız; içerideki kareleri sayarsanız 6'şar kareden oluşan 4 satır, yani 6 × 4 = 24 birimkare bulursunuz.

Çocuklar ikisini neden karıştırır?

Çocuklar alan ve çevreyi karıştırır, çünkü iki soru da aynı iki sayıyı kullanır ve şekli gözünün önüne getirmemiş bir çocuk işlemi rastgele seçer. 6 + 4 toplamak iki cevaptan hiçbiri olmayan 10'u verir, çarpmak ise yalnızca alan olan 24'ü.

Türkiye'de iki kavram da ilkokulda başlar. MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı 3. sınıfta şekillerin çevre uzunluğunu hesaplamayı (M.3.3.2.3) ve alanı standart olmayan malzemeyle kaplayarak ölçmeyi (M.3.3.3.1), 4. sınıfta alanın şekli kaplayan birimkarelerin sayısı olduğunu (M.4.3.3.1), 5. sınıfta da dikdörtgenin alanını santimetrekare ve metrekareyle hesaplamayı (M.5.2.4.1) ister.

ABD'de Common Core 3.MD.C.7a standardı, kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgenin alanını onu kaplayarak bulmayı ve bu alanın kenar uzunluklarını çarparak bulunanla aynı olduğunu göstermeyi ister. 3.MD.D.8 standardı çevreyi ekler ve çevreleri aynı, alanları farklı ya da alanları aynı, çevreleri farklı dikdörtgenleri göstermeyi ister; 4.MD.A.3 ise dikdörtgenin alan ve çevre formüllerini gerçek hayat problemlerinde uygulamaya geçer.

İngiltere daha yavaş bir yol izler. Ulusal matematik öğretim programı 4. yılda kenarları düz şekillerin alanını kareleri sayarak bulmayı, 6. yılda ise alanları aynı şekillerin çevrelerinin farklı olabileceğini ve bunun tersini fark etmeyi ister. Her sınıf hangi matematiği bilmeli yazısı bu konuların çarpma ve kesirlerin yanında nerede durduğunu gösterir.

Dikdörtgenin çevresi ve alanı adım adım nasıl bulunur?

Dikdörtgenin çevresi 2 × (uzun kenar + kısa kenar), alanı ise uzun kenar × kısa kenardır. Altı adım bir çocuğu çizimden doğru birimlerle iki cevaba da götürür.

1. Her kenarı yazın. Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşittir; 6'ya 4'lük bir dikdörtgenin kenarları 6, 4, 6 ve 4'tür. Dört sayıyı da çizimin üzerine yazın.
2. Birimlerin aynı olduğunu kontrol edin. 2 m'lik bir kenar ile 50 cm'lik bir kenar, toplamadan ya da çarpmadan önce 200 cm ve 50 cm (ya da 2 m ve 0,5 m) olmalıdır.
3. Çevre için dört kenarı toplayın. 6 + 4 + 6 + 4 = 20. Kısa yol olan 2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20 aynı cevabı verir.
4. Çevreyi bir uzunluk birimiyle yazın. Kenarlar santimetreyse çevre 20 cm'dir.
5. Alan için uzun kenarı kısa kenarla çarpın. 6 × 4 = 24. Kareli kâğıtta kareleri sayarak doğrulayın: 6'şar kareden oluşan 4 satır 24 eder.
6. Alanı bir kare birimle yazın. Alan 24 santimetrekaredir, 24 cm² diye de yazılır, çünkü kenarları 1 cm olan kareleri sayar.

Eksik kenarı bulmak

Eksik bir kenar, formülü tersten işleterek bulunur. Bir dikdörtgenin çevresi 30 cm ve uzun kenarı 9 cm ise çevrenin yarısı 30 ÷ 2 = 15 cm'dir; bu da uzun kenar + kısa kenar demektir, dolayısıyla kısa kenar 15 − 9 = 6 cm'dir.

Alan da aynı şekilde bölmeyle işler. Zemini 15 m² ve uzun kenarı 5 m olan bir oda için 15 = 5 × kısa kenar olur, yani kısa kenar 15 ÷ 5 = 3 m'dir. Common Core'un 4.MD.A.3 standardı buna alan formülünü bilinmeyen bir çarpanı olan çarpma denklemi olarak görmek der; MEB programı da 4. sınıfta çevresi ve bir kenarı verilen dikdörtgenin diğer kenarını buldurur (M.4.3.2.1). Matematik problemleri nasıl çözülür rehberi, çocukların bir problemin hangi formülü istediğine karar vermesine yardım eder.

Bir bakışta çevre ve alan

Çevre ve alan aynı şekil hakkında farklı soruları cevaplar; bu yüzden farklı birimler ve farklı işlemler kullanır.

Kare, dört kenarı eşit bir dikdörtgendir; bu yüzden formülleri dikdörtgeninkilerin kısa yoludur. Kenarları 5 m olan bir karenin çevresi 4 × 5 = 20 m, alanı 5 × 5 = 25 m²'dir.

Alanı bilinen bir şeklin çevresi bulunabilir mi?

Alan tek başına çevreyi söylemez, çünkü birçok dikdörtgenin alanı aynıdır. 24 birimkarelik bir alan şu dikdörtgenlerin hepsine uyar:

• 4'e 6: çevre 2 × (4 + 6) = 20
• 3'e 8: çevre 2 × (3 + 8) = 22
• 2'ye 12: çevre 2 × (2 + 12) = 28
• 1'e 24: çevre 2 × (1 + 24) = 50

Bir kenar uzunluğu eklendiğinde cevap kesinleşir. Alan 24, kısa kenar 3 ise uzun kenar 24 ÷ 3 = 8, çevre de 22'dir; alanı 36 olan bir karede kenar 6'dır, çünkü 6 × 6 = 36, çevre de 4 × 6 = 24'tür.

Aynı çevre, farklı alan: ip deneyi

Çevresi aynı olan dikdörtgenler çok farklı alanlar kaplayabilir ve bir ip halkası bunu mutfak masasında kanıtlar. 24 cm uzunluğunda bir ipi düğümleyin, kareli kâğıt üzerinde dikdörtgenler hâlinde gerin ve her birinin içindeki kareleri sayın.

Çevrenin 24 olması uzun kenar + kısa kenar = 12 demektir; kenarları doğal sayı olan dikdörtgenler şunlardır:

• 1'e 11: alan 11
• 2'ye 10: alan 20
• 3'e 9: alan 27
• 4'e 8: alan 32
• 5'e 7: alan 35
• 6'ya 6: alan 36

Aynı 24 cm'lik çit uzun ve ince bir şekilde 11 birimkareyi, bir karede ise 36 birimkareyi çevreler. Dikdörtgenler arasında kazanan her zaman karedir; çit uzunluğu sabit olan bir çiftçinin en geniş otlağı kare bir tarlayla elde etmesinin nedeni budur. MEB programı da 4. sınıfta çevre uzunlukları aynı, alanları farklı şekiller üzerinde çalışılmasını ister (M.4.3.3.1).

Bu listedeki her alan bir çarpım tablosu bilgisidir. Ritmik sayma rehberi kare satırlarını saymanın nasıl çarpmaya dönüştüğünü gösterir, çarpım tablosu oyunu da bu bilgileri çalıştırır.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınÇarpım Tablosu3. sınıf+

L biçimli odalar ve diğer bileşik şekiller

L biçimli bir şeklin alanı, onu dikdörtgenlere ayırıp alanlarını toplayarak bulunur. Common Core'un 3.MD.C.7d standardı, kenarları düz şekillerin alanını onları üst üste binmeyen dikdörtgenlere ayırıp bu parçaların alanlarını toplayarak bulmayı ister.

Altta 6 birim genişliğinde, solda 5 birim yüksekliğinde bir L alın. Onu 6 × 2 = 12 alanlı bir alt şeride ve üstte 2 × 3 = 6 alanlı bir sütuna ayırın; alan 12 + 6 = 18 birimkaredir.

Çevre için her dış kenar gerekir; çocukların sık atladığı iki iç köşe kenarı da buna dahildir. L'nin etrafında dolaşınca kenarlar 2, 3, 4, 2, 6 ve 5'tir ve toplamı 22 birimdir; 4, alt şeridin üst kenarıdır (6 − 2), 3 ise sütunun yüksekliğidir (5 − 2).

Alan ve çevrede ilerlemeyi nasıl kontrol edersiniz?

Beş kısa soru, bir çocuğun alan ve çevreyi anlayıp anlamadığını ya da işlemi tahminle mi seçtiğini gösterir.

• Sınıflandırma sorusu: Çit, kilim, resim çerçevesi ve çimenlik için çevre işi mi alan işi mi olduğunu sorun. Çit ve çerçeve çevre, kilim ve çimenlik alandır.
• Temel dikdörtgen: 7'ye 3'lük bir dikdörtgen verin. Çevre 20, alan 21'dir ve çocuk birimleri de eklemelidir (cm ve cm²).
• Kare: Kenarları 9 m olan bir kare verin. Çevre 36 m, alan 81 m²'dir.
• Eksik kenar: Alanı 40 m² ve uzun kenarı 8 m olan bir dikdörtgen verin. Kısa kenar 40 ÷ 8 ile bulunan 5 m'dir.
• Akıl yürütme sorusu: Çevresi 20 olan dikdörtgenlerden hangisinin alanının en büyük olduğunu sorun. Cevap 25 birimkarelik 5'e 5'lik karedir.

Mutfak masasında beş dakikalık bir test

Karışık üç sorudan (bir dikdörtgen, bir eksik kenar, bir L şekli) oluşan beş dakikalık bir test, tek tip sorulardan oluşan bir sayfadan daha çok şey gösterir. Çocuktan hesaplamadan önce şekli çizmesini ve "etrafı" mı "içi" mi olduğunu söylemesini isteyin.

Alan yöntemini doğru kurup çarpmada takılan çocukların geometriden çok çarpım bilgisine ihtiyacı vardır. 3. sınıflar için matematik oyunu ve 4. sınıflar için matematik oyunu her alan probleminin dayandığı sınıf düzeyindeki sayı çalışmalarını kapsar; kenarlar iki basamaklı olduğunda uzun çarpma nasıl öğretilir rehberi yardımcı olur.

Alan ve çevrede sık yapılan hatalar

Alan ve çevre problemlerindeki yanlış cevapların çoğunu dört hata doğurur ve her birinin tek satırlık bir düzeltmesi vardır.

• Yalnızca iki kenarı toplamak: 6'ya 4'lük bir dikdörtgenin çevresi 20 yerine 10 bulunur. Toplamadan önce dört kenarı da yazın ya da 2 × (uzun kenar + kısa kenar) kullanın.
• Çevre için çarpmak: Çocuk çevre için 6 × 4 = 24 yazar. Önce "etrafı mı, içi mi?" diye sorun; etrafı toplama demektir.
• Birimleri karıştırmak: 2 m'ye 50 cm'lik bir bahçenin alanı 100 bulunur. Önce çevirin: 200 cm × 50 cm = 10.000 cm² ya da 2 m × 0,5 m = 1 m².
• Kare birimi unutmak: 24 cm diye yazılan bir alan uzunluk gibi okunur. Alan her zaman kare sayar; cevap 24 cm² ya da 24 santimetrekaredir.

Sınır durum: alan neden kare birimle ölçülür?

Alan kare birimle ölçülür, çünkü ölçüm birimkareleri sayar. Common Core'un 3.MD.C.5a standardı, kenar uzunluğu 1 birim olan ve birimkare denen bir karenin alanının "bir birimkare" olduğunu söyler; bu karelerden 24 tanesiyle kaplanan bir dikdörtgenin alanı da 24 birimkaredir.

Kare birim, kenarları iki katına çıkarmanın alanı neden iki katına çıkarmadığını da açıklar. 2'ye 3'lük bir dikdörtgen 6 kare, 4'e 6'lık bir dikdörtgen ise 4 kat fazlası olan 24 kare kaplar; çevresi ise 10'dan 20'ye, yalnızca 2 kat büyür.

Alan ve çevre kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Etrafı mı, içi mi: hesaplamadan önce sorunun hangisini istediğine karar verin.
• Dört kenarın hepsi: dikdörtgenin her kenarını yazın, çizimin boş bıraktığı ikisi dahil.
• Aynı birimler: toplamadan ya da çarpmadan önce her kenarı tek bir birime çevirin.
• Cevapta doğru birim: çevre için cm, alan için cm² ya da santimetrekare.
• Kareli kâğıt: dikdörtgeni çizin ve çarpımı doğrulamak için kareleri sayın.
• Fayans ya da kraker: kare parçalarla dikdörtgenler kurun, sonra 24 cm'lik ip halkasını deneyin ve en büyük alanı bulun.

3. sınıflar için çarpma çalışma sayfası cevap anahtarıyla yazdırılabilir alıştırma sunar.

Ücretsiz çalışma kâğıdıÇarpma — 3. Sınıf ÖğrencileriÇalışma Kağıdı · PDF

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve kısa bir günlük alıştırma sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır. Çocuklar 33 dilin herhangi birinde 1 ila 4 arkadaşına ya da aile üyesine gerçek zamanlı matematik düellolarında meydan okuyabilir.