Simetri doğrusu nedir ve hangi şeklin kaç simetri ekseni vardır?

1. sınıftaki çocuğunuz bir kâğıdı ikiye katlıyor, katlama yerinden yarım bir kalp kesiyor ve kâğıdı açınca kusursuz bir kalp çıkıyor. O kat izi “simetri doğrusu nedir?” sorusunun cevabıdır; bir şeklin kaç simetri ekseni olduğunu soran çalışma kâğıdının arkasında da aynı fikir vardır. Simetri doğrusunu bulmak için bir katlama, bir ayna ve tek bir dikkatli alışkanlık yeter: iki yarımın nokta nokta eşleşip eşleşmediğine bakmak.

Simetri doğrusu nedir?

Simetri doğrusu, bir şekli birbirinin ayna görüntüsü olan iki yarıma ayıran doğrudur. ABD'de Common Core 4.G.A.3 standardı 4. sınıflardan simetri doğrusunu, şeklin üzerinden geçen ve şekil o doğru boyunca katlandığında eş parçalara ayrılmasını sağlayan doğru olarak tanımalarını, doğruya göre simetrik şekilleri belirlemelerini ve simetri doğrularını çizmelerini ister.

Kâğıt kalbin ortadan geçen tek bir simetri doğrusu vardır. Karenin dört simetri doğrusu vardır, çeşitkenar üçgenin hiç yoktur. Türkiye'de MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı konuyu 3. sınıfa koyar (M.3.2.2.1, “Şekillerin birden fazla simetri doğrusu olduğunu şekli katlayarak belirler”) ve 4. sınıfta ayna simetrisini açıklayıp simetri doğrusunu çizmeyi ister (M.4.2.2.1). İngiltere'de de 4. yıl ulusal programı öğrencilerden farklı konumlarda verilen düzlem şekillerde simetri doğrularını belirlemelerini ve basit bir simetrik şekli belirli bir simetri doğrusuna göre tamamlamalarını ister.

Wikipedia'nın yansıma simetrisi maddesi “doğruya göre simetri” ve “ayna simetrisi” adlarını aynı fikir için verir; simetri doğrusuna simetri ekseni ya da ayna doğrusu da denir. MEB programı da bu tür simetriye “ayna simetrisi”, “aynaya göre simetri” veya “doğruya göre simetri” denildiğini vurgular.

Doğruya göre simetri ve dönme simetrisi

Doğruya göre simetri ile dönme simetrisi iki farklı özelliktir ve ileriki sınıfların çalışma kâğıtları ikisini de sorar. Doğruya göre simetri, şeklin katlanınca kendi üzerine kapanması demektir. Dönme simetrisi ise şeklin merkezi etrafında tam turdan az döndürüldüğünde aynı görünmesi demektir.

Karede ikisi de vardır: kare 4 farklı şekilde kendi üzerine katlanır ve 90°'lik çeyrek turdan sonra aynı görünür. Dik açısı olmayan bir paralelkenarın dönme simetrisi vardır (180°'lik yarım turdan sonra kendisiyle çakışır), ama hiç simetri doğrusu yoktur. Büyük S, N ve Z harfleri de aynı şekilde davranır.

Simetri doğrusu adım adım nasıl bulunur?

Simetri doğruları, olası her katlama tek tek denenerek ve yalnızca iki yarımın tam olarak üst üste geldiği katlamalar sayılarak bulunur. Yöntem, 3. ya da 4. sınıf çalışma kâğıdındaki her düzlem şekilde işe yarar.

1. Şekli kopyalayın ya da kesin. Şekli ince bir kâğıda çizin ya da artık bir kâğıttan kesin.
2. Dikey katlamayı deneyin. Şekli soldan sağa katlayın ve pencereye tutun. Bir yarımın her kenarı öbür yarımın üstüne geliyorsa kat izi bir simetri doğrusudur.
3. Yatay katlamayı deneyin. Kâğıdı açın, yukarıdan aşağıya katlayın ve kenarlara yeniden bakın.
4. Çapraz katlamaları deneyin. Bir çokgende köşeden karşı köşeye ve bir kenarın ortasından karşı kenarın ortasına giden katlamaları deneyin. Bir çokgenin simetri doğrusunun her ucu bir köşede ya da bir kenarın orta noktasındadır.
5. Çizimler için ayna testini kullanın. Denemek istediğiniz doğrunun üzerine küçük bir aynayı dik tutun. Gördüğünüz yarım ve yansıması birlikte şeklin tamamı gibi görünüyorsa o doğru bir simetri doğrusudur.
6. Çizin ve sayın. Testi geçen her doğruyu cetvelle kesikli çizgi olarak çizin, sonra her doğruyu bir kez sayın.

ABD'de 4. sınıf geometrisi, çok basamaklı çarpma ve bölmeyle aynı okul yılına düşer (Common Core 4.NBT.B.5 ve 4.NBT.B.6); 4. sınıflar için matematik oyunu bu sayı çalışmasını kapsar.

Ücretsiz çalışma kâğıdıÇarpma — 4. Sınıf ÖğrencileriÇalışma Kağıdı · PDF

En çok karıştırılan nokta: dikdörtgenin köşegenleri

Dikdörtgenin köşegenleri simetri doğrusu değildir ve simetri çalışma kâğıtlarında en sık verilen yanlış cevap budur. MEB programı bu noktayı ayrıca yazar: 3. sınıfta “dikdörtgende köşegenin simetri doğrusu olmadığı fark ettirilir”. Köşegen dikdörtgeni aynı büyüklükte iki üçgene böler ve bu sayılması gerekiyormuş gibi görünür. Köşegen boyunca katlamak gerçeği gösterir: katlanan üçgen eğik düşer ve iki köşe öbür yarının dışına taşar.

Yarımlar birbirinin ayna görüntüsü olmalıdır; yani bir taraftaki her noktanın öbür tarafta aynı uzaklıkta bir eşi vardır. Kare köşegen katlamasını geçer, çünkü bütün kenarları eşittir; bu yüzden karenin 4, dikdörtgenin 2 simetri doğrusu vardır.

Hangi şeklin kaç simetri ekseni vardır?

Her yaygın şeklin simetri ekseni sayısı sabittir, bu yüzden çocuk çalışma kâğıdındaki cevabını tek bir listeyle kontrol edebilir. Sayılar her şeklin en genel hâli içindir: kare olmayan bir dikdörtgen, eşkenar olmayan bir ikizkenar üçgen ve kare olmayan bir eşkenar dörtgen.

Üçgen satırları, çocukların aynı yıllarda öğrendiği üçgen adlarıyla bağlantılıdır; üçgen çeşitleri ve açı çeşitleri yazısı eşkenar, ikizkenar ve çeşitkenar üçgeni kenar uzunluklarıyla anlatır.

n kenarlı düzgün çokgenin neden n simetri ekseni vardır?

Bir düzgün çokgenin n eş kenarı ve n eş açısı varsa n simetri ekseni vardır. Beşgen gibi kenar sayısı tek olan bir çokgende her köşeden karşı kenarın ortasına bir doğru iner, yani 5 köşe 5 doğru verir. Altıgen gibi kenar sayısı çift olan bir çokgende n ÷ 2 doğru köşeden köşeye, n ÷ 2 doğru da orta noktadan orta noktaya gider: 3 + 3 = 6.

Dönme açısı da aynı örüntüyü izler: n kenarlı bir düzgün çokgen 360° ÷ n'lik bir dönüşten sonra aynı görünür. Altıgen her 360 ÷ 6 = 60°'de, beşgen her 360 ÷ 5 = 72°'de kendisiyle çakışır. Bu açılar birer bölme işlemidir.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınBölme İşlemleri3. sınıf+

Evde simetri etkinlikleri

Evde simetri etkinlikleri tanımı çocuğunuzun görebileceği ve dokunabileceği bir şeye dönüştürür. Her biri evde zaten olan malzemelerle yaklaşık on dakika sürer.

• Alfabedeki harfler: Büyük harfleri sade bir yazı tipiyle yazın ve her birini bir aynayla deneyin. Arial gibi bir yazı tipinde A, M, T, U, V, Y, Ü, Ö ve İ'nin dikey; B, C, D, E ve K'nin yatay simetri ekseni vardır; H, I ve O'nun ikisi de vardır.
• Kelebekler ve yapraklar: Bir kelebek resmini bahçeden bir yaprakla karşılaştırın. İkisi de ayna görüntüsüne yakındır; bu da matematikte “tam olarak” sözü üzerine güzel bir konuşma başlatır. MEB programı da kelebek kanadı, yaprak, kilim desenleri ve harfler üzerinde ayna kullanmayı önerir.
• Mürekkep lekesi boyama: Bir kâğıdı katlayın, açın, kat izinin bir tarafına boya damlatın ve yarımları birbirine bastırın. Baskı her seferinde kat izine göre simetrik çıkar.
• Kesme şekiller: Kâğıdı bir kez katlayın, kat izi boyunca bir şekil kesin ve açınca nasıl görüneceğini tahmin edin.

Bir şekli ikiye katlamak kesir anlamında yarımı da gösterir: her parça bütünün 1/2'sidir ve veliler için kesirler rehberi aynı katlama üzerine kurulur.

Ayna çizimi

Ayna çizimi, bir parçası verilen simetrik şekli tamamlama hedefine uyan etkinliktir; MEB bunu 3. sınıfta dikey ya da yatay simetri doğrusuyla ister (M.3.2.2.2). Kareli kâğıda düz bir çizginin yanına bir evin yarısını çizin ve çocuğunuzdan her köşesi çizgiden aynı sayıda kare uzakta olacak şekilde öbür yarısını çizmesini isteyin.

Çizginin üzerine konan bir el aynası, çocuğunuzun çizimi kendi başına kontrol etmesini sağlar. Dikey bir çizgiden yatay bir çizgiye, sonra çapraz bir çizgiye geçin: programdaki “farklı konumlar” kısmı budur.

Simetride ilerleme nasıl kontrol edilir?

Beş kısa soru, çocuğun simetri doğrusunu anlayıp anlamadığını ya da şeklin görünüşünden tahmin yürütüp yürütmediğini gösterir.

• Kare ve dikdörtgen: Her birinin kaç simetri doğrusu olduğunu sorun. Cevaplar 4 ve 2'dir; çocuk dikdörtgenin köşegenlerinin neden tutmadığını açıklayabilmelidir.
• Üç üçgen: Bir eşkenar, bir ikizkenar ve bir çeşitkenar üçgen gösterin. Cevaplar 3, 1 ve 0'dır.
• Döndürülmüş şekil: Yan yatmış bir ikizkenar üçgen çizin. Tek simetri doğrusunu yine bulan çocuk “farklı konumlar” hedefine ulaşmıştır.
• Harfler: H, E, S ve A'dan hangilerinin simetri doğrusu olduğunu sorun. H, E ve A'nın vardır; S'nin yoktur.
• Yarım resim: Bir doğrunun yanında bir şeklin yarısını verin ve gerisini isteyin.

Beş dakikalık bir mutfak masası testi

Beş dakikalık bir simetri testi üç kesme şekil kullanır: bir kare, bir dikdörtgen ve bir paralelkenar. Çocuğunuzdan her birinin kaç simetri doğrusu olduğunu tahmin etmesini, sonra katlayarak kontrol etmesini isteyin.

Tahminler 4, 2 ve 0 olmalıdır; dikdörtgen için 4 diyen çocuk köşegen tuzağına düşmüştür. 3. sınıflar için matematik oyunu ve her sınıfta hangi matematik bilinmeli özeti, simetrinin yılın geri kalan konularının yanında nerede durduğunu gösterir.

Simetri doğrusunda sık yapılan hatalar

Simetri çalışma kâğıtlarındaki yanlış cevapların çoğunu dört hata doğurur ve her birinin kısa bir çözümü vardır.

• Dikdörtgenin köşegenlerini saymak: Dikdörtgene 2 yerine 4 doğru verilir. Kâğıt bir dikdörtgeni köşegeni boyunca katlayın, cevabı köşeler göstersin.
• Paralelkenarın köşegenlerini saymak: Paralelkenara 0 yerine 2 doğru verilir. Her köşegen onu iki eş üçgene böler, ama iki katlama da üst üste gelmez.
• Bir doğruyu iki kez saymak: Çocuk aynı doğrunun üst yarısını ve alt yarısını iki doğru diye sayar. Her doğruyu kenardan kenara bir kez çizin, sonra çizilen doğruları sayın.
• Eğik bir doğruyu kaçırmak: Eğik basılmış bir şekil doğrularını saklar. Çalışma kâğıdını döndürün ve yeniden deneyin.

Sınır durum: çember ve düzgün çokgenler

Çemberin sonsuz sayıda simetri ekseni vardır, çünkü merkezinden geçen her doğru onu kendi üzerine katlar. Wikipedia'nın yansıma simetrisi maddesi çemberin sonsuz sayıda simetri ekseni olduğunu belirtir, dolayısıyla beklenen cevap “sonsuz sayıda”dır.

n kenarlı bir düzgün çokgenin tam n simetri ekseni vardır; düzgün sekizgenin 8, düzgün onikigenin 12 simetri ekseni vardır. Kural yalnızca düzgün çokgenler için geçerlidir.

Cebirde aynı fikir bir grafiğin simetri ekseni olarak geri döner. OpenStax Elementary Algebra 2e y = ax² + bx + c grafiğinin simetri eksenini x = −b ÷ 2a doğrusu olarak verir; bu yüzden y = x² − 6x + 8 grafiği x = 3 doğrusu boyunca kendi üzerine katlanır. Alan ve çevre rehberi aynı yılların diğer şekil ölçümlerini anlatır.

Simetri doğrusu kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Katlama testi: kâğıttan bir kopyayı katlayın ve her kenarın eşinin üstüne gelip gelmediğine bakın.
• Her yön: saymadan önce dikey, yatay ve iki çapraz katlamayı deneyin.
• Dikdörtgen tuzağı: dikdörtgenin 2 simetri doğrusu olduğunu, köşegenlerinin sayılmadığını unutmayın.
• Düzgün şekiller: n kenarlı bir düzgün çokgenin n simetri ekseni, çemberin sonsuz sayıda simetri ekseni vardır.
• Bir kez sayın: her doğruyu kenardan kenara çizin, sonra çizilen doğruları sayın.
• İki çeşit: doğruya göre simetriyi (katlama) ve dönme simetrisini (döndürme) birbirinden ayırın.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve okulda geometrinin yanında duran temel sayı bilgileri için kısa bir günlük alıştırma sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır. Veliler ve çocuklar 2 ila 5 oyunculu gerçek zamanlı matematik düellolarına da girebilir; veliler ve çocuklar için matematik oyunu sayfası bir aile turunun nasıl işlediğini gösterir.