Üçgen çeşitleri ve açı çeşitleri: veliler için rehber

Kare bir sandviçi köşeden köşeye kesiyorsunuz ve 5. sınıftaki çocuğunuz bu iki yarının ne tür üçgenler olduğunu soruyor. Ödev her üçgen için iki ad ve bir eksik açı istiyor; okuldan sonra dar, geniş ve ikizkenar sözcükleri birbirine karışıyor. Her adın arkasındaki iki soruyu bildiğinizde üçgen çeşitleri ve açı çeşitleri tek bir sayfaya sığar: kaç kenar eş, en büyük açı ne kadar?

Açı çeşitleri nelerdir?

Açı çeşitleri dar, dik, geniş, doğru ve tam açıdır ve her biri derece cinsinden büyüklüğüyle tanımlanır. ABD'nin Common Core 4.MD.C.5 standardı derecenin kendisini tanımlar: bir çemberin 1/360'ı kadar dönen açıya "bir derecelik açı" denir; dolayısıyla tam bir tur 360°'dir.

• Dar açı: 90°'den küçük. Saat 1:00 ya da 2:00'de akrep ile yelkovan dar açı yapar (30° ve 60°).
• Dik açı: tam 90°, kare bir köşe. Saat 3:00'te akrep ile yelkovan bir dik açı yapar.
• Geniş açı: 90°'den büyük, 180°'den küçük. Saat 4:00'te akrep ile yelkovan 120° yapar.
• Doğru açı: tam 180°, düz bir çizgi. Saat 6:00'da akrep ile yelkovan zıt yönleri gösterir.
• Tam açı: tam 360°, yelkovanın bir saatte attığı tam tur. 4:00'teki açının dış tarafı, yani uzun yol, 360° − 120° = 240°'dir; 180° ile 360° arasındaki bu açıların ortaokul programında ayrı bir adı yoktur.

Bir kapı aynı merdiveni gösterir: biraz aralanınca kasasıyla dar açı, tam dik açılınca dik açı yapar.

Açıölçer olmadan bir açının çeşidi nasıl anlaşılır?

Bir A4 kâğıdının köşesi dik açıdır ve herhangi bir açıyı bir saniyede ayırır. Kâğıdın köşesini açının içine kaydırın: açı köşenin içinde kalıyorsa dar, ikisi örtüşüyorsa dik, açı kâğıttan daha geniş açılıyorsa geniştir.

Türkiye'de MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı 4. sınıfta açıları açıölçerle ölçüp dar, dik, geniş ve doğru açı olarak belirlemeyi ister (M.4.2.3.4). 5. sınıfta M.5.2.1.4, 90°'lik açıyı referans alarak açıları ayırmayı ister ve referans olarak tam bu yöntemi önerir: bir kâğıdın köşesi, gönye ya da açıölçer. İngiltere'nin ulusal matematik programı da 3. yılda açıların dik açıdan büyük mü küçük mü olduğunu belirlemeyi ister.

Bir üçgen adım adım nasıl sınıflandırılır?

Bir üçgen kenarlarına ve açılarına göre sınıflandırılır, bu yüzden tam adı iki sözcüktür. Dört adım ikisini de verir.

1. Eş kenarları sayın. Üç kenarı eş olan üçgen eşkenar, iki kenarı eş olan ikizkenar, eş kenarı olmayan çeşitkenar üçgendir. Çizimde eş kenarların üzerinde aynı sayıda küçük çentik bulunur.
2. En büyük açıyı bulun. En büyük açı en uzun kenarın karşısındadır. Onu yukarıdaki kâğıt köşesiyle kontrol edin.
3. Açının çeşidini söyleyin. En büyük açı 90°'den küçükse üçgen dar açılı, tam 90° ise dik açılı, 90°'den büyükse geniş açılıdır.
4. İki adı birleştirin. Köşeden köşeye kestiğiniz kare sandviç iki dik açılı ikizkenar üçgen verir: iki kenarı eş, açıları 90°, 45° ve 45°. Aynı şekilde kesilen dikdörtgen bir sandviç iki dik açılı çeşitkenar üçgen verir.

Çizim altı adı sırayla gösterir. Üst sıra soldan sağa eşkenar, ikizkenar ve çeşitkenar; alt sıra dar açılı (en büyük açı 70°), dik açılı (90°) ve geniş açılıdır (120°).

En sık yapılan yanlış

Bir üçgende yalnızca bir dik açı ya da bir geniş açı olabilir ve çocuklar sık sık iki tane olan bir "üçgen" çizer. İki dik açı zaten 90° + 90° = 180° eder, bu da bütün üçgenin toplamıdır; üçüncü açı 0° olur ve kenarlar sonsuza kadar paralel gider.

Aynı gerçek, her üçgende en az iki dar açı olduğu anlamına gelir; ad bu yüzden yalnızca en büyük açıya bağlıdır.

Üçgen çeşitleri yan yana

Altı üçgen çeşidi üçer adlık iki aileye ayrılır: biri kenarlara, biri açılara göre. Her üçgen her aileden bir ad alır.

Bazı birleşimler hiçbir zaman olmaz. Eşkenar üçgen her zaman dar açılıdır, çünkü bütün açıları 60°'dir; bu yüzden "dik açılı eşkenar" ya da "geniş açılı eşkenar" üçgen olamaz. Dik açılı ikizkenar (90°, 45°, 45°) ve geniş açılı ikizkenar (120°, 30°, 30°) üçgenler ise gerçektir.

Çocuğunuzun hangi sınıfta hangi adlara ihtiyacı var?

Türkiye'de açı adları 4. sınıfta, üçgen çeşitleri 5. sınıfta gelir. MEB programı 5. sınıfta M.5.2.2.2 ile açılarına ve kenarlarına göre üçgenler oluşturmayı ve onları sınıflandırmayı, M.5.2.2.4 ile de üçgen ve dörtgenlerin iç açıları toplamını belirleyip verilmeyen açıyı bulmayı ister. Tümler, bütünler ve ters açılar 6. sınıfta M.6.3.1.3 ile gelir.

ABD'de Common Core 4.G.A.1 4. sınıfta dik, dar ve geniş açı çizmeyi, 4.G.A.2 dik üçgenleri bir kategori olarak tanımayı ister. 5.G.B.4 iki boyutlu şekilleri özelliklerine göre bir hiyerarşi içinde sınıflandırmayı, 7.G.B.5 tümler ve bütünler açıları, 8.G.A.5 de 180°'lik toplamın gerekçesini işler.

İngiltere'de 4. yıl öğrencileri üçgenleri özelliklerine göre karşılaştırıp sınıflandırır, 6. yıl öğrencileri her üçgende bilinmeyen açıları bulur. Her yılın geri kalanı için her sınıfın bilmesi gereken matematik yazısına bakın.

180° kuralı ve eksik açılar

Her üçgenin üç iç açısının toplamı 180°'dir. OpenStax Prealgebra bunu "Her ABC üçgeninde açıların ölçüleri toplamı 180°'dir" diye yazar.

Eksik açı, 180°'den bildiğiniz iki açının çıkarılmasıyla bulunur. Açıları 50° ve 60° olan bir üçgende üçüncü açı 180° − 50° − 60° = 70°'dir. Toplayarak kontrol edin: 50° + 60° + 70° = 180°.

Bir dik üçgen için tek bir bilinen açı yeter. Dik açı 90°'yi alır, dolayısıyla 35°'lik açısı olan bir dik üçgenin üçüncü açısı 180° − 90° − 35° = 55°'dir.

İki açı bilgisi daha aynı çıkarmayı kullanır. Tümler açıların toplamı 90° olduğundan 35°'nin tümleri 90° − 35° = 55°'dir; bütünler açıların toplamı 180° olduğundan 50°'nin bütünleri 180° − 50° = 130°'dir. OpenStax da tanımı aynı biçimde verir: iki açının ölçüleri toplamı 180° ise bu açılar bütünlerdir.

Üçüncü açıyı bulmak, çoğu zaman onluk bozmayla yapılan iki basamaklı bir çıkarmadır; 180 − 65 = 115 gibi. 180'deki sıfır sorun çıkardığında onluk bozarak çıkarma rehberi yardımcı olur.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınİki Basamaklı Sayılarla Çıkarma1–2. sınıf

Köşeleri koparma deneyi 180° kuralını evde kanıtlar. Herhangi bir üçgen çizin, köşelerini boyayın, kesip çıkarın, üç köşeyi koparın ve uçlarını bir cetvel boyunca yan yana dizin: her zaman düz bir çizgiyi, yani 180°'yi doldururlar. MEB programı da M.5.2.2.4'te iç açılar toplamının kâğıt katlama ya da uygun modellerle bulunmasını ister; Common Core 8.G.A.5 de aynı üçgenin üç kopyasını açıları bir doğru oluşturacak biçimde dizmeyi önerir.

Üçgenin alanı nasıl bulunur?

Üçgenin alanı taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır: A = (a × h) ÷ 2. Yükseklik tabandan karşı köşeye dik açıyla ölçülür; bu yüzden yalnızca dik üçgende bir kenara eşittir.

Formül bir dikdörtgenden gelir. 8 cm'ye 5 cm'lik bir dikdörtgeni sandviç gibi köşeden köşeye kesin; her yarı, tabanı 8 cm ve yüksekliği 5 cm olan bir üçgendir. Dikdörtgen 8 × 5 = 40 cm² kaplar, dolayısıyla her üçgen 40 ÷ 2 = 20 cm² kaplar.

OpenStax formülü A = ½bh diye yazar; burada b taban, h yüksekliktir. İkiye bölmek ile ½ ile çarpmak aynı adımdır (veliler için kesirler yazısına bakın). MEB programı üçgenin alan bağıntısını 6. sınıfa koyar ve geniş açılı üçgenlerdeki yüksekliklerin de ele alınmasını ister (M.6.3.2.1); bu konu alan ve çevre yazısındaki dikdörtgen çalışmasından sonra gelir.

Üçgenlerde ve açılarda ilerleme nasıl kontrol edilir?

Beş kısa soru, bir çocuğun adları bilip bilmediğini ya da tahmin edip etmediğini gösterir.

• Saat sorusu: Saat 3:00, 6:00 ve 2:00'de akrep ile yelkovan hangi açıyı yapar? Dik (90°), doğru (180°) ve dar (60°).
• İki ad sorusu: Açıları 90°, 45° ve 45° olan bir üçgenin iki adı nedir? Dik açılı ikizkenar.
• Eksik açı: Bir üçgenin açıları 40° ve 75°'tir. Üçüncüsü 180° − 40° − 75° = 65°'tir.
• İmkânsız üçgen: Bir üçgenin 100° ve 90°'lik açıları olabilir mi? Hayır, çünkü 100° + 90° = 190° zaten 180°'den fazladır.
• Alan sorusu: Bir üçgenin tabanı 10 cm, yüksekliği 6 cm'dir. Alanı 10 × 6 ÷ 2 = 30 cm²'dir.

Mutfak masasında beş dakikalık bir test

Mutfak masasında beş dakikalık bir test gerçek nesnelerle en iyi sonucu verir. Bir peçete katlayın, bir dilim kızarmış ekmek kesin, bir elbise askısı gösterin ve tek araç olarak kâğıt köşesini kullanarak her üçgen için iki ad isteyin.

Adlar sağlam ama eksik açılar takılıyorsa açık, 180'den çıkarmadadır. 4. sınıflar için matematik oyunu o sınıfın sayı işlerini çalıştırır; veliler ve çocuklar için matematik oyunu da alıştırmayı birlikte oynayabileceğiniz bir maça dönüştürür.

Sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

Üçgen ve açı sorularındaki yanlış cevapların çoğunu dört hata doğurur.

• Yalnızca görünüşe göre adlandırmak: Dik görünen bir üçgen kontrol edilmeden dik açılı diye adlandırılır. Kâğıt köşesini ya da verilen açıyı kullanın, çünkü 85° ile 90° birbirine benzer.
• "Dar açılı üçgeni" tek bir dar açı diye okumak: Her üçgende en az iki dar açı vardır. Dar açılı bir üçgende üç açının da 90°'den küçük olması gerekir.
• 360°'den çıkarmak: Çocuk eksik açıyı 360° − 50° − 60° = 250° diye bulur. Üçgenin açılarının toplamı 180°'dir; 360° bir noktanın çevresindeki toplamdır.
• Eğik kenarı yükseklik sanmak: Dar açılı ya da geniş açılı bir üçgende yükseklik tabana 90° açıyla inen düz bir çizgidir ve eğik kenardan kısadır.

Eşkenar üçgen aynı zamanda ikizkenar mıdır?

Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgeni "en az iki kenarı eş" diye tanımlayan kapsayıcı tanıma göre aynı zamanda ikizkenardır. Kaynaklar bu konuda ayrılır: bazıları ikizkenarı "tam olarak iki kenarı eş" diye tanımlar, OpenStax ise "ikizkenar üçgenin iki kenarı aynı uzunluktadır" der. Çocuğunuzun ders kitabının hangi tanımı kullandığına bakın. Kapsayıcı okuma, bir alt kategorinin kendi kategorisinin bütün özelliklerini taşıdığı fikriyle örtüşür.

Üçgenler ve açılar kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Kâğıt köşesi: dik açı kontrolü için yanınızda bir kâğıt bulundurun.
• İki soru: her üçgende önce eş kenarları sayın, sonra en büyük açıyı bulun.
• İki ad: dik açılı çeşitkenar ya da geniş açılı ikizkenar gibi iki adı da söyleyin.
• 180° kontrolü: her eksik açı cevabından sonra üç açıyı toplayın.
• Alanda yarıya bölme: tabanı yükseklikle çarpın, sonra ikiye bölün ve cevabı kare birimle yazın.
• Problemler: bir açı sorusu hikâye olarak geldiğinde matematik problemleri nasıl çözülür rehberindeki adımlar işlemi seçmeye yardım eder.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve eksik açı ile alan problemleri için çıkarmayı, çarpmayı ve ikiye bölmeyi hızlı tutan kısa bir günlük alıştırma sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır. Çocuklar 33 dilin herhangi birinde, 1 ila 4 arkadaşı ya da aile üyesiyle gerçek zamanlı matematik düellolarına da girebilir.