Koordinat düzlemi: nokta nasıl gösterilir, dört bölge nasıl okunur?

Çocuğunuzun ödevinde bir ızgara, bir nokta ve “sıralı ikiliyi yazın” sorusu var; bu, “4 adım doğuya, 3 adım kuzeye” diyen bir hazine haritasıyla aynı fikirdir. Peki koordinat düzlemi nedir? Koordinat düzlemi düz bir ızgaradaki her noktaya kesin bir adres verir ve bütün konu tek bir kurala dayanır: önce yatay, sonra yukarı ya da aşağı.

Koordinat düzlemi nedir?

Koordinat düzlemi, dik açıyla kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu düz bir ızgaradır. Yatay doğru x eksenidir, dikey doğru y eksenidir, kesiştikleri nokta da orijindir. ABD'de Common Core 5.G.A.1 standardı onu eksen denen birbirine dik bir çift sayı doğrusu olarak tanımlar; orijin her doğrudaki 0 ile çakışacak şekilde yerleştirilir.

Türkiye'de MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı konuyu 8. sınıftaki doğrusal denklemler ünitesine koyar: “Koordinat sistemini özellikleriyle tanır ve sıralı ikilileri gösterir” (M.8.2.2.2). Program, koordinat sistemi üzerinde yer belirlemeyi gerçek hayat durumlarıyla ilişkilendiren çalışmalar da ister.

x ekseni orijinden sağa doğru pozitif, sola doğru negatif sayılarla sayar. y ekseni yukarı doğru pozitif, aşağı doğru negatif sayılarla sayar. Sayı doğrusunu bilen bir çocuk her ekseni zaten bilir; sol ve alt yarıları negatif sayılar rehberi anlatır.

Sisteme, La Géométrie adlı eseri 1637'de Leiden'de yayımlanan René Descartes'tan dolayı Kartezyen koordinat sistemi denir. MacTutor'un Descartes biyografisi Kartezyen geometriyi onun cebiri geometriye uygulamasına bağlar ve daha önceki matematikçilerin de benzer fikirleri olduğunu not eder.

Sıralı ikili (x, y)'dir ve x önce gelir

Sıralı ikili bir noktanın adresidir ve parantez içinde iki sayı olarak yazılır: (x, y). OpenStax Prealgebra bunu şöyle tanımlar: sıralı ikili (x, y), dik koordinat sistemindeki bir noktanın koordinatlarını verir. Birinci sayı, x koordinatı, ne kadar sağa ya da sola gidileceğini; ikinci sayı, y koordinatı, ne kadar yukarı ya da aşağı gidileceğini söyler.

Kuralı “sıralı” sözcüğü taşır. (2, 5) noktası 2 sağda ve 5 yukarıdadır, (5, 2) noktası 5 sağda ve 2 yukarıdadır; yani ikisi farklı yerlerdir. Orijin ise (0, 0)'dır.

Resimde A noktası (4, 2), B noktası (−3, 2), C noktası (−2, −3), D noktası (3, −4)'tür. Her nokta farklı bir bölgededir ve iki sayısının işaretleri hangisinde olduğunu söyler.

Koordinat düzleminde nokta adım adım nasıl gösterilir?

Koordinat düzleminde bir noktayı göstermek, orijinden başlayıp x ekseni boyunca birinci sayı kadar, sonra y eksenine paralel olarak ikinci sayı kadar gitmek demektir. P(4, 3) noktasını alalım.

1. Orijini bulun. Kaleminizi iki eksenin kesiştiği (0, 0) noktasına koyun. Her hareket buradan başlar.
2. x koordinatını okuyun. Birinci sayı 4'tür. Pozitif x sağa, negatif x sola gitmek demektir.
3. x ekseni boyunca gidin. 4 birim sağa sayın. Sıfırdan başlayarak ızgara çizgileri arasındaki atlamaları sayın.
4. y koordinatını okuyun. İkinci sayı 3'tür. Pozitif y yukarı, negatif y aşağı gitmek demektir.
5. Oradan yukarı ya da aşağı gidin. x eksenindeki 4'ten 3 birim yukarı sayın. Kaleminizi aynı dikey çizgi üzerinde tutun.
6. Noktayı işaretleyin ve adlandırın. Bir nokta koyun ve yanına P yazın. Sonra kontrol edin: P orijinden 4 sağda ve 3 yukarıda mı?

Negatif koordinatlar, yönler ters çevrilerek aynı adımları izler. (−2, −3) noktası 2 sola, sonra 3 aşağıdır. Eksende −5'in −2'nin solunda olduğuna karar vermek negatif sayıları sıralamakla aynı beceridir; tarayıcıda oynanan sayı karşılaştırma oyunu bunu çalıştırır.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınSayıları KarşılaştırmaAnasınıfı–1. sınıf

En çok karıştırılan nokta: x ile y'nin yerini değiştirmek

En sık yapılan gösterme hatası iki sayının yerini değiştirmektir; böylece (4, 3) noktası (3, 4)'e düşer. İki nokta da ızgarada makul görünür, bu yüzden hata hızlı bir bakışta gözden kaçar. İki hatırlatıcı işe yarar: “alfabede x, y'den önce gelir” ve “önce koridorda yürü, sonra merdivenden çık”.

Common Core kuralı ifadesine yerleştirir: birinci sayı bir eksenin yönünde, ikinci sayı ikinci eksenin yönünde ne kadar gidileceğini gösterir; x ekseni x koordinatıyla, y ekseni y koordinatıyla eşleşir (5.G.A.1). Çizmeden önce “4 sağa, 3 yukarı” diye yüksek sesle söyleyen bir çocuk sayıların yerini nadiren karıştırır.

Koordinat sisteminde dört bölge nedir?

Koordinat sistemindeki dört bölge, x ekseni ile y ekseninin koordinat düzlemini ayırdığı dört alandır. OpenStax bölgelerin sağ üstten başlayıp saat yönünün tersine ilerleyen Roma rakamlarıyla adlandırıldığını belirtir. Bölgeyi iki koordinatın işaretleri belirler.

Wikipedia'nın bölgeler maddesi aynı işaretleri, I (+, +), II (−, +), III (−, −) ve IV (+, −) diye sıralar ve eksenlerin kendilerinin genel olarak ilgili bölgelerin parçası olmadığını ekler.

Bölgeyi yalnızca işaretlerden okumak

Bölge hiçbir şey çizmeden işaretlerden okunabilir. (−3, 2) için x'teki eksi sola, y'deki artı yukarı demektir; nokta II. bölgededir. (5, −1) için sağa ve aşağı IV. bölgeyi verir.

Common Core 6.NS.C.6b, 6. sınıflardan sıralı ikililerdeki sayıların işaretlerini koordinat düzleminin bölgelerindeki konumları gösteren işaretler olarak anlamalarını ister. Aynı standart, yalnızca işaretleri farklı olan ikililerin bir ya da iki eksene göre birbirinin yansıması olduğunu da not eder: (3, 2) ve (−3, 2) y eksenine göre birbirinin ayna görüntüsüdür.

Evde koordinat düzlemi oyunları ve etkinlikleri

Evde koordinat düzlemi oyunları için kareli kâğıt, bir kalem ve on dakika yeter. Her biri “önce yatay, sonra yukarı” kuralını, doğru yapmak için bir sebep vererek çalıştırır.

• Kareli kâğıtta amiral battı: Her oyuncu −5'ten 5'e eksenler çizer ve üç “gemiyi” nokta olarak saklar. Oyuncular (−2, 4) gibi sıralı ikililer söyler; yanlış sırayla söylenen bir atış bir turu kaybettirir. Dört bölgenin hepsini kullanmak oyunu negatif sayılarla bir alıştırmaya çevirir.
• Resim çizdiren noktalar: Gösterilip sırayla birleştirilecek bir nokta listesi verin: (0, 0), (4, 0), (4, 3), (2, 5), (0, 3), (0, 0). Ortaya bir ev çıkar; yeri değiştirilmiş bir ikili hemen eğri bir duvar olarak görünür.
• Hazine haritası: Bahçenin ya da bir odanın krokisinde orijini “ev” olarak işaretleyin, bir oyuncak saklayın ve çocuğunuzun bulması için adresini sıralı ikili olarak yazın.
• Izgarada oran tabloları: Bir tarif tablosundaki ikilileri gösterin: (1, 2), (2, 4), (3, 6). Common Core 6.RP.A.3a çocuklardan değer ikililerini koordinat düzleminde göstermelerini ister; oranlar rehberi noktaların neden bir doğru üzerinde dizildiğini gösterir.

Harita kareleri ve koordinatlar

Harita kareleri ile koordinatlar birbirine benzer, ama farklı şeyleri adlandırır. “B-7” gibi bir harita kare referansı bir kareyi adlandırır, yani o karenin içindeki her şey sayılır. (2, 7) gibi bir koordinat ikilisi ise iki ızgara çizgisinin buluştuğu tek bir noktayı adlandırır.

Amiral battı tahtaları ve yol atlasları kare adlandırma sistemini, matematik dersi nokta adlandırma sistemini kullanır. Bunu bir kez gösterin, fark karışıklık yaratmayı bırakır.

Koordinat düzleminde ilerleme nasıl kontrol edilir?

Beş kısa görev, çocuğun koordinat düzlemini anlayıp anlamadığını ya da tahmin yürütüp yürütmediğini gösterir.

• Geri okuma: Bir noktayı siz gösterin ve sıralı ikilisini sorun. 4 sağdaki ve 3 yukarıdaki bir nokta için (3, 4) diyen çocuk sayıların yerini değiştirmiştir.
• Ters gösterme: Aynı ızgarada (3, 4) ve (4, 3)'ü isteyin. İki farklı nokta, sıra kuralının oturduğunu gösterir.
• Bölge sorusu: (−1, −6), (7, −2) ve (−4, 9)'u okuyun ve çizmeden bölgelerini sorun. Cevaplar III, IV ve II'dir.
• Eksen tuzağı: (0, −3)'ün hangi bölgede olduğunu sorun. Doğru cevap “hiçbiri, y ekseni üzerinde”dir.
• Uzaklık: (2, 1)'in (2, 6)'ya uzaklığını sorun. Cevap 5 birimdir, çünkü yalnızca y değişir.

Beş dakikalık bir mutfak masası testi

Beş dakikalık bir koordinat testi üç gösterme, iki bölge sorusu ve bir uzaklık sorusunu karıştırır. ABD'de 5. sınıflar yalnızca birinci bölgede çalışır (5.G.A.2), bu yüzden negatif sayıları yeni tanıyan bir çocukla önce birinci bölgede kalın, sonra dört bölgeye geçin.

Her sınıfta hangi matematik bilinmeli özeti koordinatların kesirlerin ve ondalık sayıların yanında nerede durduğunu gösterir. 5. sınıflar için matematik oyunu ve 6. sınıflar için matematik oyunu altta yatan sayı çalışmasını kapsar.

Koordinat düzleminde sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

Yanlış koordinat cevaplarının çoğunu dört hata doğurur ve her birinin kısa bir çözümü vardır.

• x ile y'nin yerini değiştirmek: (4, 3) noktası (3, 4)'e konur. Her noktadan önce “önce yatay, sonra yukarı” deyin.
• Aralıklar yerine çizgileri saymak: Çocuk orijin çizgisini 1 diye sayar ve bir birim eksik kalır. Sıfırdan başlayarak çizgiler arasındaki atlamaları sayın.
• Köşeden başlamak: Dört bölgeli bir ızgarada sol alt köşe (−5, −5)'tir. Her hareket orijinden başlar.
• Eksen üzerindeki noktaya bölge vermek: (0, 5) y ekseni üzerinde, (−2, 0) x ekseni üzerindedir. İkisi de hiçbir bölgeye ait değildir.

Sınır durum: x'i ya da y'si aynı olan noktalar arasındaki uzaklık

Bir koordinatı ortak olan noktaların uzaklığı cetvelsiz bulunabilir. Common Core 6.NS.C.8 öğrencilerden birinci koordinatı ya da ikinci koordinatı aynı olan noktalar arasındaki uzaklığı koordinatları ve mutlak değeri kullanarak bulmalarını ister. A (4, 2) ve B (−3, 2) noktalarının ikisinde de y = 2'dir, bu yüzden uzaklık x'teki farktır.

Noktalar bir eksenin iki ayrı tarafındaysa mutlak değerleri toplayın: |4| + |−3| = 4 + 3 = 7 birim. Aynı taraftaysalar çıkarın: (2, 1) ile (2, 6) arasında 6 − 1 = 5 birim vardır. Common Core 6.G.A.3 aynı yöntemi ızgaraya çizilen çokgenlerin kenar uzunlukları için kullanır; bu da alan ve çevre konusuna bağlanır.

Koordinat düzlemi kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Önce orijin: her noktaya (0, 0)'dan başlayın.
• Önce x, sonra y: birinci sayı kadar yatay, sonra ikinci sayı kadar yukarı ya da aşağı gidin.
• İşaretler yönü belirler: artı sağ ya da yukarı, eksi sol ya da aşağıdır.
• Bölgeler saat yönünün tersine: I sağ üst, II sol üst, III sol alt, IV sağ alt.
• Eksenler sınırdır: bir koordinatı 0 olan nokta hiçbir bölgeye ait değildir.
• Aynı x ya da aynı y: uzaklığı yalnızca koordinatlardan bulun.

Noktaları göstermekten sonraki adım, her çözümün düzlemde bir nokta olduğu y = x + 1 gibi denklemlerin grafiğini çizmektir; MEB programı da bunu 8. sınıfta doğrusal denklemlerin grafiğiyle sürdürür. x nasıl bulunur rehberi cebiri anlatır, x bulma oyunu da tarayıcıda alıştırma yaptırır.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınX'i Bul6. sınıf+

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve her koordinat sorusunun arkasındaki negatif sayılar ile zihinden işlem için kısa bir günlük alıştırma sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır. Oyuncular 33 dilin herhangi birinde 1 ila 4 arkadaşını ya da aile üyesini gerçek zamanlı matematik düellolarına da davet edebilir.