Kesirlerde bölme: ters çevir ve çarp yöntemi ve neden işe yaradığı

Çocuğunuzun ödevinde 3 ÷ 1⁄2 yazıyor, cevap anahtarı 6 diyor, çocuk ise 1 1⁄2 yazmış. Kesirlerde bölme, çoğu yetişkinin gerekçesini bilmeden bir tekerleme gibi hatırladığı birkaç okul kuralından biridir: "birinciyi yaz, ikinciyi ters çevir, çarp." Yöntem dört adım, gerekçesi tek bir resim sürer; yani kesirlerde bölme bir akşamda ikiniz için de anlam kazanabilir.

Kesirlerde bölme ne anlama gelir?

Kesirlerde bölme, bir miktardan kaç tanesinin başka bir miktara sığdığını sormaktır. 3 ÷ 1⁄2 işlemi "3'e kaç tane yarım sığar?" diye sorar; her bütünde iki yarım olduğuna göre üç bütünde altı yarım vardır, yani 3 ÷ 1⁄2 = 6.

1 1⁄2 yazan çocuk başka bir soruyu cevaplamıştır: 3'ün yarısı kaçtır? Bu 3 × 1⁄2, yani bir çarpmadır. Bölme işaretini "içine kaç tane sığar" diye okumak iki soruyu birbirinden ayırır.

Aynı okuma, çocuğunuzun zaten bildiği her doğal sayı bölmesinde işler: 12 ÷ 3, 12'ye kaç tane 3 sığdığını sorar. Uzun bölme nasıl öğretilir rehberi bu "kaç tane sığar" anlamını büyük sayılar için kurar.

Cevap neden çoğu zaman daha büyük çıkar

Bölen 1'den küçük olduğunda kesir bölmesinin cevabı başlangıç sayısından büyüktür. Küçük bir parça bir miktara bir bütünden daha çok kez sığar; bu yüzden 3 ÷ 1⁄2 = 6 ve 3 ÷ 1⁄4 = 12 olur.

Cevap yalnızca bölen 1'den büyük olduğunda küçülür. MEB programı da bu şaşırtıcı noktanın üzerinde özellikle durulmasını ister; bölmenin bir sayıyı küçülteceğini bekleyen çocuk doğru bir cevabı "düzeltir", bu yüzden bunu her kuraldan önce yüksek sesle söylemeye değer.

Kesirlerde bölme adım adım nasıl yapılır?

Ters çevir ve çarp yöntemi herhangi iki kesri dört adımda böler; doğal sayılar ve tam sayılı kesirler için bir de hazırlık adımı vardır. Common Core 6.NS.A.1 standardında kullanılan 2⁄3 ÷ 3⁄4 örneğini alalım.

1. Her sayıyı kesir olarak yazın. Doğal sayının paydası 1 olur, yani 4, 4⁄1 olur; tam sayılı kesir bileşik kesre çevrilir. 2⁄3 ÷ 3⁄4 işlemindeki iki sayı da zaten kesirdir.
2. Birinci kesri aynen yazın. 2⁄3 olduğu gibi kalır. Yalnızca ikinci sayı, yani bölen değişir.
3. Bölme işaretini çarpmaya çevirin. İşlem artık 2⁄3 × bir şey diye okunur.
4. İkinci kesri ters çevirin. Bölen 3⁄4, çarpmaya göre tersi olan 4⁄3'e döner. İşlem artık 2⁄3 × 4⁄3'tür.
5. Çarpın ve sadeleştirin. Payı payla, paydayı paydayla çarpın: 2 × 4 = 8 ve 3 × 3 = 9; yani 2⁄3 ÷ 3⁄4 = 8⁄9. Bu kesir zaten en sade hâlindedir.

Kontrolü standardın kendisi verir: 2⁄3 ÷ 3⁄4 = 8⁄9, çünkü 8⁄9'un 3⁄4'ü 2⁄3'tür. 3⁄4 × 8⁄9 = 24⁄36 eder ve 24⁄36 sadeleşince 2⁄3 olur.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınEksik Çarpan3–4. sınıf

Herkesin yanlış yaptığı adım

Hataların çoğu hazırlık adımında başlar, çünkü tam sayılı kesir, ters çevirme yapılmadan önce bileşik kesre dönüşmelidir. 2 1⁄2 ÷ 1 1⁄4 için 2 1⁄2'yi 5⁄2 (iki bütün 4 yarımdır, artı 1 yarım) ve 1 1⁄4'ü 5⁄4 olarak yeniden yazın.

Sonra adımları uygulayın: 5⁄2 × 4⁄5 = 20⁄10 = 2. Çarpmadan önce sadeleştirmek de mümkündür; paydaki 5 ile paydadaki 5 birbirini götürür ve geriye 4⁄2 = 2 kalır. Eksik çarpan oyunu, her kontrolün arkasındaki "bunu neyle çarparsam şu çıkar" düşüncesini çalıştırır.

Çarpmaya göre ters, ortak payda ve ölçme modeli

Kesirleri doğru bölen üç yöntem vardır: çarpmaya göre tersiyle çarpmak en hızlısıdır, ortak payda yöntemi cevabın neden doğru olduğunu gösterir, ölçme modeli ise anlamı çizer.

Hangi yöntemi seçmeli

Kesir bölmesiyle yeni tanışan çocuk için önce ölçme modeli gelir, çünkü şerit üzerinde parçaları saymak cevabı görünür kılar. Bunu 3 ÷ 1⁄2 ya da 2 ÷ 1⁄3 gibi kolay sayılarla kullanın. MEB programı da ilk adımları modellerle ve birim kesirlerle atar.

Çarpmaya göre ters yöntemi en sona gelir; çocuk bölmenin ne sorduğunu söyleyebildiğinde. Ortak payda yöntemi ikisi arasındaki köprüdür ve çocuğunuz "ama neden ters çeviriyoruz?" diye sorduğunda başvurulacak olan odur.

Ters çevir ve çarp neden işe yarar?

Ters çevir ve çarp işe yarar, çünkü bir kesre bölmek, o kesrin çarpmaya göre tersiyle çarpmakla aynı sonucu verir. 1⁄2'ye bölmek yarımları sayar, her bütünde 2 yarım vardır; dolayısıyla 1⁄2'ye bölmek 2 ile çarpmakla aynıdır.

Aynısı 1⁄8 için de geçerlidir: her bütünde 8 tane sekizde bir vardır, yani 1⁄8'e bölmek 8 ile çarpmaktır. 3⁄4 gibi bir bölende her bütünde 4 çeyrek vardır ve her 3 çeyrek bir tane 3⁄4'lük parça eder; dolayısıyla 3⁄4'e bölmek 4 ile çarpıp 3'e bölmek, yani 4⁄3 ile çarpmaktır.

What Works Clearinghouse'un kesirler uygulama kılavuzu bunu üçüncü önerisi yapar: öğrencilerin kesirlerle işlem yöntemlerinin neden anlamlı olduğunu kavramalarına yardım edin. Gerekçeyi bilen çocuk, tekerleme unutulduğunda kuralı yeniden kurabilir.

Ortak payda ile kanıt

Ortak payda yöntemi kuralı aynı büyüklükteki parçalarla kanıtlar. 3⁄4'ü 6⁄8 olarak yeniden yazın; 3⁄4 ÷ 1⁄8 işlemi 6⁄8 ÷ 1⁄8 olur ve altı tane sekizde birde kaç tane sekizde bir olduğunu sorar. Cevap 6'dır.

Çarpmaya göre ters yöntemi aynı sayıya varır: 3⁄4 × 8⁄1 = 24⁄4 = 6. İki zinciri tek bir şerit üzerinde yan yana göstermek, ters çevirmenin bir hile gibi görünmekten çıktığı an olur çoğu zaman.

Yöntem daha zor sayılarla da işler. 2⁄3 ÷ 3⁄4 için ikisini de 12 paydasında yazın: 8⁄12 ÷ 9⁄12 = 8⁄9; ters çevir ve çarp yönteminin verdiği cevabın aynısı. Veliler için kesirler rehberi, bu adımın dayandığı denk kesirleri anlatır.

Kesir doğal sayıya, doğal sayı kesre nasıl bölünür?

Doğal sayıya bölünen bir kesir küçülür, 1'den küçük bir kesre bölünen doğal sayı ise büyür. Doğal sayı paydası 1 olan kesir olarak yazıldıktan sonra iki durumda da aynı kural kullanılır.

• Kesir ÷ doğal sayı: 2⁄3 ÷ 4 = 2⁄3 × 1⁄4 = 2⁄12 = 1⁄6. Bir pastanın 2⁄3'ünü 4 kişiye paylaştırmak, her kişiye pastanın 1⁄6'sını verir.
• Doğal sayı ÷ kesir: 6 ÷ 2⁄3 = 6⁄1 × 3⁄2 = 18⁄2 = 9. 6'ya 2⁄3 büyüklüğünde dokuz parça sığar.
• Tam sayılı kesir ÷ tam sayılı kesir: 2 1⁄2 ÷ 1 1⁄4 = 5⁄2 ÷ 5⁄4 = 5⁄2 × 4⁄5 = 2. 1 1⁄4 büyüklüğünde iki parça 2 1⁄2 eder.
• Kesir ÷ kesir: 3⁄4 ÷ 1⁄2 = 3⁄4 × 2⁄1 = 6⁄4 = 1 1⁄2. 3⁄4'e bir buçuk tane yarım sığar.

5. ve 6. sınıfta neler beklenir

Türkiye'de kesirlerle bölmenin tamamı 6. sınıftadır; 5. sınıf kesirlerle yalnızca toplama ve çıkarma yapar. MEB'in Matematik Dersi Öğretim Programı önce M.6.1.5.5 ile bir doğal sayıyı kesre ve bir kesri doğal sayıya bölmeyi, sonra M.6.1.5.6 ile iki kesrin bölmesini ister; ilk örnekler birim kesirlerle ve modellerle yapılır, örneğin 1⁄2 ÷ 1⁄4 "yarımın içinde kaç tane çeyrek var" diye okunur.

ABD'de sıra bir yıl öndedir: Common Core 5.NF.B.7 standardı beşinci sınıfta birim kesirleri doğal sayılara ve doğal sayıları birim kesirlere böldürür (1⁄3 ÷ 4 = 1⁄12 ve 4 ÷ 1⁄5 = 20), kesri kesre bölmeyi ise 6.NS.A.1 ile altıncı sınıfa bırakır. İngiltere ilk adımı 6. yıla koyar: İngiltere ulusal matematik programı öğrencilerden basit kesirleri doğal sayılara bölmelerini ister, örneği 1⁄3 ÷ 2 = 1⁄6'dır.

2⁄3 ÷ 3⁄4 ile karşılaşan bir 5. sınıf öğrencisi bir yıl önden gidiyordur. Her yılın beklediği beceriler 5. sınıflar için matematik oyunu ve 6. sınıflar için matematik oyunu sayfalarında listelenir.

Kesirlerde bölmede sık yapılan hatalar

Kesir bölmesindeki yanlış cevapların çoğunu dört hata doğurur ve her birinin hızlı bir düzeltmesi vardır.

• Birinci kesri ters çevirmek: 2⁄3 ÷ 3⁄4 işlemini 3⁄2 × 3⁄4 diye yapmak 9⁄8 verir. Yalnızca bölen ters çevrilir; doğru cevap 8⁄9'dur.
• Tam sayılı kesri çevirmeden ters çevirmek: 1 1⁄4'teki 1⁄4'ü ters çevirip tam kısmı atarak 4 elde eden çocuk 2 1⁄2 × 4 = 10 bulur. Önce 5⁄4'e çevirin; cevap 2'dir.
• Sadeleştirmemek: 20⁄10 doğrudur ama bitmemiştir. Pay ve paydayı en büyük ortak bölenleri (EBOB) olan 10'a bölün ve 2'yi bulun.
• Daha küçük bir cevap beklemek: Bölmenin bir sayıyı küçülteceğini bekleyen çocuk 3 ÷ 1⁄2 = 6 sonucuna güvenmez. 3'e kaç tane yarım sığdığını sorun; 6 anlam kazanır.

Sıfıra bölme kuralın dışında kalır: 0⁄5 gibi payı 0 olan bir kesir 0'a eşittir ve çarpmaya göre tersi yoktur; dolayısıyla hiçbir şey ona bölünemez.

Geri çarparak cevabı kontrol edin

Cevabı bölenle çarpmak başlangıç sayısını geri vermelidir ve bu tek satır yukarıdaki her hatayı yakalar. 3⁄4 ÷ 1⁄8 = 6 için 6 × 1⁄8 = 6⁄8 = 3⁄4 kontrolünü yapın.

Birinci kesri ters çeviren hatada kontrol hemen başarısız olur: 9⁄8 × 3⁄4 = 27⁄32 ve bu 2⁄3 değildir. Ters işlemle kontrol etme alışkanlığı yüzde nasıl hesaplanır yazısında ve veliler için ondalık gösterim rehberindeki ondalık bölmede de karşınıza çıkar.

Ücretsiz çalışma kâğıdıBölme — 6. Sınıf ÖğrencileriÇalışma Kağıdı · PDF

Kesirlerde bölme kontrol listeniz

• Bölmenin ne sorduğunu söyleyin: ikinci miktardan kaç tanesi birinciye sığar.
• Önce çevirin: doğal sayılar paydası 1 olan kesre, tam sayılı kesirler bileşik kesre.
• Yaz, çevir, çarp: birinci kesri aynen yazın, ÷ işaretini × yapın, yalnızca ikinciyi ters çevirin.
• Çarpın ve sadeleştirin: pay × pay, payda × payda, sonra en sade hâle getirin.
• Geri çarparak kontrol edin: cevap çarpı bölen, başlangıç sayısına eşit olmalıdır.

Akıcı doğal sayı bölmesi ve çarpım tablosu bu adımların hepsini hızlandırır, çünkü her sadeleştirme bir bölme sorusudur. Bölme işlemi oyunu tarayıcıda üyeliksiz ve ücretsiz oynanır; 6. sınıflar için yazdırılabilir bölme çalışma sayfası da cevap anahtarıyla gelir.

iOS ve Android'de ücretsiz olan MathIt uygulamasında uyarlanabilir zorluk vardır; günlük alıştırma ancak kolay işlemler doğru çıktıktan sonra bir üst seviyeye geçer.