Cómo dividir fracciones multiplicando por la inversa, y por qué funciona

Los deberes de tu hijo dicen 3 ÷ 1⁄2, el solucionario dice 6, y tu hijo ha escrito 1 1⁄2. La división de fracciones es una de las pocas reglas del colegio que casi todos los adultos recuerdan como una cantinela, «se multiplica en cruz» o «se da la vuelta a la segunda», sin la razón que hay detrás. El método tiene cuatro pasos y la razón cabe en un dibujo, así que dividir fracciones puede tener sentido para los dos en una tarde.

¿Qué significa dividir fracciones?

Dividir fracciones significa preguntar cuántas veces cabe una cantidad en otra. La operación 3 ÷ 1⁄2 pregunta «¿cuántos medios caben en 3?», y como cada unidad tiene dos medios, tres unidades tienen seis, así que 3 ÷ 1⁄2 = 6.

El niño que escribió 1 1⁄2 respondió a otra pregunta: ¿cuánto es la mitad de 3? Eso es 3 × 1⁄2, una multiplicación. Leer el signo de dividir como «cuántas veces cabe» separa las dos preguntas.

La misma lectura sirve para todas las divisiones con números naturales que tu hijo ya conoce: 12 ÷ 3 pregunta cuántos treses caben en 12. La guía sobre cómo enseñar la división larga construye ese sentido de «cuántas veces cabe» con números más grandes.

Por qué el resultado suele ser mayor

El resultado de una división de fracciones es mayor que el número de partida siempre que el divisor sea menor que 1. Un trozo pequeño cabe más veces en una cantidad que una unidad entera, así que 3 ÷ 1⁄2 da 6, y 3 ÷ 1⁄4 da 12.

El resultado solo se hace más pequeño cuando el divisor es mayor que 1. Conviene decir esa sorpresa en voz alta antes de cualquier regla, porque un niño que espera que dividir siempre achique un número «corregirá» un resultado que está bien.

Cómo dividir fracciones, paso a paso

El método de multiplicar por la inversa divide dos fracciones cualesquiera en cuatro pasos, más un paso de preparación para enteros y números mixtos. Toma 2⁄3 ÷ 3⁄4, el ejemplo del estándar Common Core 6.NS.A.1 de Estados Unidos.

1. Escribe cada número como fracción. Un entero lleva denominador 1, así que 4 pasa a 4⁄1, y un número mixto pasa a fracción impropia. Los dos números de 2⁄3 ÷ 3⁄4 ya son fracciones.
2. Deja la primera fracción igual. El 2⁄3 se queda tal cual. Solo cambia el segundo número, el divisor.
3. Cambia la división por una multiplicación. La operación queda 2⁄3 × algo.
4. Invierte la segunda fracción. El divisor 3⁄4 pasa a su inversa, 4⁄3. La operación queda 2⁄3 × 4⁄3.
5. Multiplica y simplifica. Multiplica numerador por numerador y denominador por denominador: 2 × 4 = 8 y 3 × 3 = 9, así que 2⁄3 ÷ 3⁄4 = 8⁄9. Esa fracción ya es irreducible.

El propio estándar da la comprobación: 2⁄3 ÷ 3⁄4 = 8⁄9 porque 3⁄4 de 8⁄9 es 2⁄3. Multiplica 3⁄4 × 8⁄9 = 24⁄36, y 24⁄36 se simplifica a 2⁄3. En muchos colegios de España y Latinoamérica se enseña lo mismo como «multiplicar en cruz»: el numerador de la primera por el denominador de la segunda va arriba (2 × 4 = 8), y el denominador de la primera por el numerador de la segunda va abajo (3 × 3 = 9).

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El paso que más se equivoca

El paso de preparación es donde empiezan la mayoría de los errores, porque un número mixto tiene que pasar a fracción impropia antes de invertir nada. Para 2 1⁄2 ÷ 1 1⁄4, reescribe 2 1⁄2 como 5⁄2 (dos unidades son 4 medios, más 1 medio) y 1 1⁄4 como 5⁄4.

Después aplica los pasos: 5⁄2 × 4⁄5 = 20⁄10 = 2. También puedes simplificar antes de multiplicar, porque el 5 de arriba y el 5 de abajo se van, y queda 4⁄2 = 2. El juego del factor que falta entrena el razonamiento de «qué por esto da aquello» que hay detrás de cada comprobación.

Por la inversa, con denominador común o con dibujo

Tres métodos dividen fracciones correctamente: multiplicar por la inversa es el más rápido, el método del denominador común muestra por qué el resultado es correcto, y el modelo de medida dibuja el significado.

Qué método elegir

El modelo de medida va primero para un niño que descubre la división de fracciones, porque contar trozos en una barra hace visible el resultado. Úsalo con números amables como 3 ÷ 1⁄2 o 2 ÷ 1⁄3.

El método de la inversa va al final, cuando el niño ya sabe decir qué pregunta la división. El método del denominador común es el puente entre los dos, y es el que conviene sacar cuando tu hijo pregunta «¿pero por qué se da la vuelta?».

Por qué funciona multiplicar por la inversa

Multiplicar por la inversa funciona porque dividir entre una fracción da el mismo resultado que multiplicar por su inversa. Dividir entre 1⁄2 cuenta medios, cada unidad tiene 2 medios, y por eso dividir entre 1⁄2 es lo mismo que multiplicar por 2.

Lo mismo pasa con 1⁄8: cada unidad tiene 8 octavos, así que dividir entre 1⁄8 es multiplicar por 8. Para un divisor como 3⁄4, cada unidad tiene 4 cuartos, y cada 3 de esos cuartos forman un trozo de 3⁄4, así que dividir entre 3⁄4 es multiplicar por 4 y después dividir entre 3, que es multiplicar por 4⁄3.

La guía práctica del What Works Clearinghouse sobre fracciones lo convierte en su tercera recomendación: ayudar a los alumnos a entender por qué tienen sentido los procedimientos de cálculo con fracciones. Un niño que conoce la razón puede reconstruir la regla cuando se le olvida la cantinela.

La prueba con denominador común

El método del denominador común demuestra la regla con trozos del mismo tamaño. Escribe 3⁄4 como 6⁄8, y la operación 3⁄4 ÷ 1⁄8 pasa a 6⁄8 ÷ 1⁄8, que pregunta cuántos octavos hay en seis octavos. La respuesta es 6.

El método de la inversa llega al mismo número: 3⁄4 × 8⁄1 = 24⁄4 = 6. Enseñar las dos cadenas una junto a otra, sobre una misma barra, suele ser el momento en que dar la vuelta a la fracción deja de parecer un truco.

El método también sirve con números más difíciles. Para 2⁄3 ÷ 3⁄4, escribe las dos con denominador 12: 8⁄12 ÷ 9⁄12 = 8⁄9, el mismo resultado que dio la inversa. La guía de fracciones explicadas para padres cubre las fracciones equivalentes en las que se apoya este paso.

Cómo dividir fracciones entre enteros, y enteros entre fracciones

Una fracción dividida entre un número entero se hace más pequeña, y un entero dividido entre una fracción menor que 1 se hace más grande. Los dos casos usan la misma regla una vez que el entero se escribe con denominador 1.

• Fracción ÷ entero: 2⁄3 ÷ 4 = 2⁄3 × 1⁄4 = 2⁄12 = 1⁄6. Repartir 2⁄3 de una tarta entre 4 personas da a cada una 1⁄6 de la tarta.
• Entero ÷ fracción: 6 ÷ 2⁄3 = 6⁄1 × 3⁄2 = 18⁄2 = 9. En 6 caben nueve trozos de 2⁄3.
• Número mixto ÷ número mixto: 2 1⁄2 ÷ 1 1⁄4 = 5⁄2 ÷ 5⁄4 = 5⁄2 × 4⁄5 = 2. Dos trozos de 1 1⁄4 forman 2 1⁄2.
• Fracción ÷ fracción: 3⁄4 ÷ 1⁄2 = 3⁄4 × 2⁄1 = 6⁄4 = 1 1⁄2. En 3⁄4 cabe un medio y la mitad de otro.

En qué curso se aprende

En España, el currículo de Educación Secundaria Obligatoria de la LOMLOE incluye las «operaciones con números enteros, fraccionarios o decimales en situaciones contextualizadas», y la división de una fracción entre otra se trabaja a fondo en 1.º de ESO (12 a 13 años), después de unas primeras operaciones con fracciones en 5.º y 6.º de primaria. En Estados Unidos, el estándar Common Core 5.NF.B.7 pide en quinto grado (10 a 11 años) solo los casos más sencillos, como 1⁄3 ÷ 4 = 1⁄12 y 4 ÷ 1⁄5 = 20, y una nota aclara que dividir una fracción entre otra no se exige en ese curso.

Sexto grado (11 a 12 años) añade fracción ÷ fracción con el estándar 6.NS.A.1, incluida la regla general (a⁄b) ÷ (c⁄d) = ad⁄bc, que es justo la multiplicación en cruz. Inglaterra da el primer paso en Year 6: el currículo nacional de matemáticas de Inglaterra pide dividir fracciones propias entre números enteros, con el ejemplo 1⁄3 ÷ 2 = 1⁄6.

Un niño de 10 u 11 años que se encuentra con 2⁄3 ÷ 3⁄4 va un curso por delante. Lo que se espera en cada edad aparece en la página de juegos de matemáticas para quinto y en la de juegos de matemáticas para sexto.

Errores frecuentes al dividir fracciones

Cuatro errores explican la mayoría de los fallos en la división de fracciones, y cada uno tiene un remedio rápido.

• Invertir la primera fracción: 2⁄3 ÷ 3⁄4 hecho como 3⁄2 × 3⁄4 da 9⁄8. Solo se invierte el divisor, y el resultado correcto es 8⁄9.
• Invertir antes de convertir un número mixto: Un niño que convierte 1 1⁄4 en 4 dando la vuelta al 1⁄4 y olvidando la unidad obtiene 2 1⁄2 × 4 = 10. Pasa primero a 5⁄4, y el resultado es 2.
• No simplificar: 20⁄10 es correcto pero está sin terminar. Divide numerador y denominador entre su máximo común divisor, 10, para obtener 2.
• Esperar un resultado menor: Un niño que espera que dividir siempre achique desconfía de 3 ÷ 1⁄2 = 6. Pregunta cuántos medios caben en 3, y el 6 cobra sentido.

La división entre cero queda fuera de la regla: una fracción con 0 en el numerador, como 0⁄5, vale 0 y no tiene inversa, así que no se puede dividir nada entre ella.

Comprueba el resultado multiplicando

Multiplicar el resultado por el divisor tiene que devolver el número de partida, y esa sola línea detecta todos los errores anteriores. Para 3⁄4 ÷ 1⁄8 = 6, comprueba 6 × 1⁄8 = 6⁄8 = 3⁄4.

Con el error de invertir la primera fracción, la comprobación falla enseguida: 9⁄8 × 3⁄4 = 27⁄32, que no es 2⁄3. El mismo hábito de comprobar con la operación contraria aparece en cómo calcular porcentajes y en la división con decimales, explicada en los decimales explicados para padres.

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Tu lista de comprobación para dividir fracciones

• Di qué pregunta la división: cuántas veces cabe la segunda cantidad en la primera.
• Convierte primero: enteros con denominador 1, números mixtos a fracciones impropias.
• Deja, cambia, invierte: deja la primera fracción, cambia ÷ por × e invierte solo la segunda.
• Multiplica y simplifica: numerador por numerador, denominador por denominador, y después a fracción irreducible.
• Comprueba multiplicando: el resultado por el divisor tiene que dar el número de partida.

Tener soltura con la división y las tablas de multiplicar hace más rápido cada uno de esos pasos, porque cada simplificación es una pregunta de división. El juego de divisiones básicas se juega gratis en el navegador sin registro, y la ficha imprimible de divisiones para sexto trae solucionario.

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