分数除法讲解：除以一个分数为什么等于乘它的倒数

孩子的作业是 3 ÷ 1⁄2，答案上写着 6，孩子却写了 1 1⁄2。分数除法是少数几条大多数大人只记得口诀、不记得道理的规则之一：“除号变乘号，除数变倒数”。算法只有四步，道理只要一幅图，一个晚上，您和孩子都能把分数除法弄明白。

分数除法是什么意思？

分数除法就是问一个量里包含几个另一个量。3 ÷ 1⁄2 问的是“3 里面有几个二分之一？”每个 1 里有两个二分之一，三个 1 里就有六个，所以 3 ÷ 1⁄2 = 6。

写成 1 1⁄2 的孩子，回答的是另一个问题：3 的一半是多少？那是 3 × 1⁄2，是乘法。把除号读成“里面有几个”，两个问题就分开了。

这种读法对孩子已经会的每一道整数除法都管用：12 ÷ 3 问的是 12 里面有几个 3。怎样教竖式除法把“里面有几个”的意思推广到更大的数。

为什么得数常常变大

只要除数小于 1，分数除法的得数就比被除数大。一个小块能在一个量里放下的次数，比一整个 1 多，所以 3 ÷ 1⁄2 得 6，3 ÷ 1⁄4 得 12。

只有除数大于 1 时，得数才变小。这一点值得在讲任何法则之前先说出来，因为以为除法一定让数变小的孩子，会把对的答案“改”错。

分数除法一步步怎么算

乘以倒数的办法四步就能算任何两个分数相除，遇到整数和带分数再多一步准备。拿 2⁄3 ÷ 3⁄4 做例子，这也是共同核心州立数学标准 6.NS.A.1 里用的那道题。

1. 把每个数都写成分数。 整数写成分母是 1 的分数，4 就是 4⁄1；带分数化成假分数。2⁄3 ÷ 3⁄4 里两个数本来就是分数。
2. 被除数不变。 2⁄3 原样不动，只有第二个数，也就是除数，要变。
3. 除号变乘号。 算式现在是 2⁄3 × 某个数。
4. 除数变成倒数。 除数 3⁄4 变成它的倒数 4⁄3，算式变成 2⁄3 × 4⁄3。
5. 相乘再约分。 分子乘分子、分母乘分母：2 × 4 = 8，3 × 3 = 9，所以 2⁄3 ÷ 3⁄4 = 8⁄9。这个分数已经是最简分数。

那条标准自己就给出了验算：2⁄3 ÷ 3⁄4 = 8⁄9，因为 8⁄9 的 3⁄4 就是 2⁄3。算一下 3⁄4 × 8⁄9 = 24⁄36，约分后正是 2⁄3。

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最容易出错的那一步

大多数错误从准备那一步开始，因为带分数必须先化成假分数，然后才能取倒数。算 2 1⁄2 ÷ 1 1⁄4 时，把 2 1⁄2 改写成 5⁄2（两个 1 是 4 个二分之一，再加 1 个二分之一），把 1 1⁄4 改写成 5⁄4。

然后按步骤算：5⁄2 × 4⁄5 = 20⁄10 = 2。也可以先约分再乘，分子上的 5 和分母上的 5 约掉，剩下 4⁄2 = 2。求未知因数练习练的就是每次验算背后那种“几乘这个数得那个数”的想法。

乘以倒数、通分、包含除的图示，三种办法对比

三种办法都能把分数除法算对：乘以倒数最快，通分能说明答案为什么对，画图则把意思画出来。

该挑哪一种

第一次接触分数除法的孩子，先用画图的办法，因为在长条上数小块，答案就看得见。用 3 ÷ 1⁄2 或 2 ÷ 1⁄3 这样好算的数。

乘以倒数放在最后，等孩子能说出这道除法在问什么再用。通分是连接两者的桥，孩子问“可为什么要倒过来？”的时候，就该拿出它。

为什么乘以倒数是对的

乘以倒数之所以对，是因为除以一个分数和乘它的倒数得数一样。除以 1⁄2 是在数二分之一，每个 1 里有 2 个二分之一，所以除以 1⁄2 就和乘 2 一样。

1⁄8 也一样：每个 1 里有 8 个八分之一，所以除以 1⁄8 就是乘 8。除数是 3⁄4 时，每个 1 里有 4 个四分之一，每 3 个四分之一凑成一块 3⁄4，所以除以 3⁄4 就是先乘 4 再除以 3，也就是乘 4⁄3。

What Works Clearinghouse 的分数实践指南把这一点列为第三条建议：帮助学生理解分数运算的方法为什么讲得通。知道道理的孩子，口诀忘了也能把法则重新推出来。

用通分来证明

通分的办法用同样大小的小块来证明这条法则。把 3⁄4 改写成 6⁄8，算式 3⁄4 ÷ 1⁄8 就变成 6⁄8 ÷ 1⁄8，问的是六个八分之一里有几个八分之一。答案是 6。

乘以倒数也得到同一个数：3⁄4 × 8⁄1 = 24⁄4 = 6。把两条算式并排写在同一根长条旁边，往往就是“倒过来”不再像戏法的那一刻。

难一点的数也能用这个办法。算 2⁄3 ÷ 3⁄4 时，两个数都通分成分母 12：8⁄12 ÷ 9⁄12 = 8⁄9，和乘以倒数的结果一样。分数讲解讲了这一步要用到的分数的基本性质。

分数除以整数，整数除以分数

分数除以整数，得数变小；整数除以小于 1 的分数，得数变大。把整数写成分母是 1 的分数之后，两种情况用的是同一条法则。

• 分数 ÷ 整数： 2⁄3 ÷ 4 = 2⁄3 × 1⁄4 = 2⁄12 = 1⁄6。把 2⁄3 个蛋糕平均分给 4 个人，每人分到 1⁄6 个。
• 整数 ÷ 分数： 6 ÷ 2⁄3 = 6⁄1 × 3⁄2 = 18⁄2 = 9。6 里面能放下九个 2⁄3。
• 带分数 ÷ 带分数： 2 1⁄2 ÷ 1 1⁄4 = 5⁄2 ÷ 5⁄4 = 5⁄2 × 4⁄5 = 2。两个 1 1⁄4 合起来是 2 1⁄2。
• 分数 ÷ 分数： 3⁄4 ÷ 1⁄2 = 3⁄4 × 2⁄1 = 6⁄4 = 1 1⁄2。3⁄4 里面有一个半的二分之一。

五年级和六年级各学到哪里

国内的分数除法集中在六年级上学期：先学倒数，再学分数除以整数、一个数除以分数。教育部《义务教育数学课程标准（2022年版）》把分数的四则运算放在第三学段，也就是五、六年级；五年级先学分数的意义、约分和通分，为除法打底。

美国把第一步放在五年级。共同核心州立数学标准 5.NF.B.7 要求学生用单位分数除以整数、整数除以单位分数，例子是 1⁄3 ÷ 4 = 1⁄12 和 4 ÷ 1⁄5 = 20，脚注写明分数除以分数不是这个年级的要求；六年级通过 6.NS.A.1 加上分数除以分数和一般法则 (a⁄b) ÷ (c⁄d) = ad⁄bc。英格兰放在六年级：英格兰数学国家课程要求学生用真分数除以整数，例子是 1⁄3 ÷ 2 = 1⁄6。

五年级就碰到 2⁄3 ÷ 3⁄4 的孩子，是在提前一年学。每个年级要会什么，见五年级数学游戏和六年级数学游戏页面。

分数除法的常见错误

分数除法的错答大多出自四种错误，每一种都有快速的纠正办法。

• 把被除数倒过来： 把 2⁄3 ÷ 3⁄4 算成 3⁄2 × 3⁄4，得 9⁄8。只有除数要取倒数，正确答案是 8⁄9。
• 带分数没化就取倒数： 把 1 1⁄4 里的 1⁄4 倒成 4、又丢了整数部分的孩子，会算出 2 1⁄2 × 4 = 10。先化成 5⁄4，答案是 2。
• 没有约分： 20⁄10 没错，但没算完。分子分母同时除以最大公因数 10，得 2。
• 以为得数会变小： 以为除法一定让数变小的孩子，不相信 3 ÷ 1⁄2 = 6。问他 3 里面有几个二分之一，6 就讲得通了。

除以 0 不在这条法则里：分子是 0 的分数，比如 0⁄5，等于 0，0 没有倒数，所以任何数都不能除以它。

用乘法回头验算

商乘除数必须得回被除数，这一行验算能抓住上面所有的错。3⁄4 ÷ 1⁄8 = 6，验算 6 × 1⁄8 = 6⁄8 = 3⁄4。

把被除数倒过来的错，一验算就露馅：9⁄8 × 3⁄4 = 27⁄32，不是 2⁄3。同样用逆运算验算的习惯，在百分数怎么算和小数讲解里讲的小数除法中也会用到。

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分数除法检查清单

• 说出这道除法在问什么： 第一个量里面有几个第二个量。
• 先转换： 整数写成分母是 1 的分数，带分数化成假分数。
• 一不变，二变： 被除数不变，除号变乘号，只有除数变成倒数。
• 相乘再约分： 分子乘分子，分母乘分母，最后化成最简分数。
• 用乘法验算： 商乘除数，必须等于被除数。

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