Breuken delen met keer het omgekeerde, en waarom dat werkt

Op het huiswerk van je kind staat 3 : 1⁄2, het antwoordblad zegt 6, en je kind heeft 1 1⁄2 opgeschreven. Breuken delen is een van de weinige schoolregels die de meeste volwassenen onthouden als een rijmpje, "keer het omgekeerde", zonder de reden erachter. De methode kost vier stappen en de reden één plaatje, dus breuken delen kan op één avond voor jullie allebei kloppen.

Wat betekent breuken delen?

Breuken delen betekent vragen hoe vaak de ene hoeveelheid in de andere past. De som 3 : 1⁄2 vraagt "hoeveel halven passen in 3?", en omdat er in elk geheel twee halven passen, passen er in drie gehelen zes, dus 3 : 1⁄2 = 6.

Het kind dat 1 1⁄2 opschreef, beantwoordde een andere vraag: wat is de helft van 3? Dat is 3 × 1⁄2, een vermenigvuldiging. Wie het deelteken leest als "hoe vaak past erin", houdt de twee vragen uit elkaar.

Dezelfde lezing werkt voor elke deling met hele getallen die je kind al kent: 12 : 3 vraagt hoeveel drieën er in 12 passen. De gids over hoe je staartdelen uitlegt bouwt die betekenis van "hoe vaak past het" op voor grotere getallen.

Waarom het antwoord vaak groter is

Het antwoord van een deling met breuken is groter dan het getal waarmee je begint als de deler kleiner is dan 1. Een klein stuk past vaker in een hoeveelheid dan een heel stuk, dus 3 : 1⁄2 geeft 6, en 3 : 1⁄4 geeft 12.

Het antwoord wordt alleen kleiner als de deler groter is dan 1. Die verrassing is het waard om hardop te zeggen voordat er een regel komt, want een kind dat verwacht dat delen een getal kleiner maakt, gaat een goed antwoord "verbeteren".

Hoe je breuken deelt, stap voor stap

De methode keer het omgekeerde deelt twee willekeurige breuken in vier stappen, plus één voorbereidende stap voor hele getallen en gemengde getallen. Neem 2⁄3 : 3⁄4, het voorbeeld uit standaard 6.NS.A.1 van de Amerikaanse Common Core.

1. Schrijf elk getal als breuk. Een heel getal komt over 1, dus 4 wordt 4⁄1, en een gemengd getal wordt een onechte breuk. Beide getallen in 2⁄3 : 3⁄4 zijn al breuken.
2. Laat de eerste breuk staan. De 2⁄3 blijft precies zoals hij is. Alleen het tweede getal, de deler, verandert.
3. Maak van het deelteken een keerteken. De som luidt nu 2⁄3 × iets.
4. Draai de tweede breuk om. De deler 3⁄4 wordt zijn omgekeerde, 4⁄3. De som is nu 2⁄3 × 4⁄3.
5. Vermenigvuldig en vereenvoudig. Vermenigvuldig teller met teller en noemer met noemer: 2 × 4 = 8 en 3 × 3 = 9, dus 2⁄3 : 3⁄4 = 8⁄9. Die breuk is al zo eenvoudig mogelijk.

De standaard geeft zelf de controle: 2⁄3 : 3⁄4 = 8⁄9 "omdat 3⁄4 van 8⁄9 gelijk is aan 2⁄3". Reken 3⁄4 × 8⁄9 = 24⁄36, en 24⁄36 vereenvoudigt tot 2⁄3.

Gratis spelen in je browserOntbrekende factorGroep 5–6

De stap die mensen fout doen

De voorbereidende stap is waar de meeste fouten beginnen, want een gemengd getal moet een onechte breuk worden voordat er iets wordt omgedraaid. Bij 2 1⁄2 : 1 1⁄4 schrijf je 2 1⁄2 als 5⁄2 (twee gehelen zijn 4 halven, plus 1 halve) en 1 1⁄4 als 5⁄4.

Doe dan de stappen: 5⁄2 × 4⁄5 = 20⁄10 = 2. Je kunt ook vóór het vermenigvuldigen wegstrepen, want de 5 boven en de 5 onder vallen tegen elkaar weg, en dan blijft 4⁄2 = 2 over. Het spel met de ontbrekende factor oefent het denken "wat keer dit geeft dat" achter elke controle.

Keer het omgekeerde, gelijke noemers of hoe vaak past het

Drie methoden delen breuken goed: vermenigvuldigen met het omgekeerde is het snelst, de methode met gelijke noemers laat zien waarom het antwoord klopt, en het model "hoe vaak past het" tekent de betekenis.

Welke methode je kiest

Het model "hoe vaak past het" komt eerst voor een kind dat net met breuken delen begint, want stukjes tellen op een strook maakt het antwoord zichtbaar. Gebruik het met vriendelijke getallen als 3 : 1⁄2 of 2 : 1⁄3. Nederlandse methodes doen in groep 7 en 8 hetzelfde met de verhoudingstabel: hoe vaak past 1⁄4 liter in 3 liter?

Keer het omgekeerde komt als laatste, zodra het kind kan zeggen wat de deling vraagt. De methode met gelijke noemers is de brug tussen de twee, en dat is de methode om te pakken als je kind vraagt: "maar waarom draaien we om?"

Waarom keer het omgekeerde werkt

Keer het omgekeerde werkt omdat delen door een breuk hetzelfde antwoord geeft als vermenigvuldigen met het omgekeerde ervan. Delen door 1⁄2 telt halven, in elk geheel zitten 2 halven, en dus is delen door 1⁄2 hetzelfde als vermenigvuldigen met 2.

Hetzelfde geldt voor 1⁄8: in elk geheel zitten 8 achtsten, dus delen door 1⁄8 is vermenigvuldigen met 8. Bij een deler als 3⁄4 zitten er in elk geheel 4 kwarten, en elke 3 van die kwarten vormen één stuk van 3⁄4, dus delen door 3⁄4 is vermenigvuldigen met 4 en daarna delen door 3, en dat is vermenigvuldigen met 4⁄3.

De praktijkgids over breuken van de What Works Clearinghouse maakt dit de derde aanbeveling: "Help leerlingen begrijpen waarom de procedures voor rekenen met breuken kloppen." Een kind dat de reden kent, kan de regel opnieuw opbouwen als het rijmpje vergeten is.

Het bewijs met gelijke noemers

De methode met gelijke noemers bewijst de regel met stukken van dezelfde grootte. Schrijf 3⁄4 als 6⁄8, en de som 3⁄4 : 1⁄8 wordt 6⁄8 : 1⁄8, en die vraagt hoeveel achtsten er in zes achtsten zitten. Het antwoord is 6.

Keer het omgekeerde komt op hetzelfde getal: 3⁄4 × 8⁄1 = 24⁄4 = 6. Beide rijen naast elkaar laten zien, op één strook, is meestal het moment waarop het omdraaien geen truc meer lijkt.

De methode werkt ook met lastigere getallen. Bij 2⁄3 : 3⁄4 schrijf je beide met noemer 12: 8⁄12 : 9⁄12 = 8⁄9, hetzelfde antwoord als keer het omgekeerde gaf. De gids over breuken uitgelegd voor ouders behandelt de gelijkwaardige breuken waar deze stap op leunt.

Een breuk delen door een heel getal, en een heel getal door een breuk

Een breuk gedeeld door een heel getal wordt kleiner, en een heel getal gedeeld door een breuk kleiner dan 1 wordt groter. Beide gevallen gebruiken dezelfde regel zodra het hele getal over 1 staat.

• Breuk : heel getal: 2⁄3 : 4 = 2⁄3 × 1⁄4 = 2⁄12 = 1⁄6. Wie 2⁄3 van een taart met 4 mensen deelt, geeft iedereen 1⁄6 van de taart.
• Heel getal : breuk: 6 : 2⁄3 = 6⁄1 × 3⁄2 = 18⁄2 = 9. Er passen negen stukken van 2⁄3 in 6.
• Gemengd getal : gemengd getal: 2 1⁄2 : 1 1⁄4 = 5⁄2 : 5⁄4 = 5⁄2 × 4⁄5 = 2. Twee stukken van 1 1⁄4 maken samen 2 1⁄2.
• Breuk : breuk: 3⁄4 : 1⁄2 = 3⁄4 × 2⁄1 = 6⁄4 = 1 1⁄2. Er passen anderhalve halve in 3⁄4.

Wat groep 7 en groep 8 verwachten

In Nederland blijft breuken delen op de basisschool bij de eenvoudige gevallen. De uitwerking van kerndoel 26 bij SLO noemt voor groep 7 en 8 het "delen door (benoemde) breuken met behulp van verhoudingstabel", zoals hoeveel glazen van 1⁄4 liter je uit 3 liter schenkt; de algemene regel volgt in de brugklas. Standaard 5.NF.B.7 van de Common Core vraagt in het vijfde schooljaar, ongeveer groep 7, om "stambreuken te delen door hele getallen en hele getallen door stambreuken", met voorbeelden als 1⁄3 : 4 = 1⁄12 en 4 : 1⁄5 = 20, en een voetnoot zegt dat "een breuk delen door een breuk in dit leerjaar geen eis is".

Het zesde schooljaar, ruwweg groep 8, voegt breuk : breuk toe via standaard 6.NS.A.1, inclusief de algemene regel (a⁄b) : (c⁄d) = ad⁄bc. Engeland zet de eerste stap in Year 6: het nationale curriculum van Engeland vraagt leerlingen om "echte breuken te delen door hele getallen", met het voorbeeld 1⁄3 : 2 = 1⁄6.

Een kind in groep 7 dat 2⁄3 : 3⁄4 tegenkomt, werkt dus vooruit. De vaardigheden per leerjaar staan op de pagina met het rekenspel voor groep 7 en de pagina met het rekenspel voor groep 8.

Veelgemaakte fouten bij breuken delen

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden bij breuken delen, en elk heeft een snelle oplossing.

• De eerste breuk omdraaien: 2⁄3 : 3⁄4 uitgerekend als 3⁄2 × 3⁄4 geeft 9⁄8. Alleen de deler draait om, en het goede antwoord is 8⁄9.
• Omdraaien voordat een gemengd getal is omgezet: Een kind dat van 1 1⁄4 een 4 maakt door de 1⁄4 om te draaien en het geheel weg te laten, krijgt 2 1⁄2 × 4 = 10. Zet eerst om naar 5⁄4, en het antwoord is 2.
• Niet vereenvoudigen: 20⁄10 klopt, maar is niet af. Deel teller en noemer door hun grootste gemene deler, 10, en je krijgt 2.
• Een kleiner antwoord verwachten: Een kind dat verwacht dat delen een getal kleiner maakt, wantrouwt 3 : 1⁄2 = 6. Vraag hoeveel halven er in 3 passen, en de 6 is logisch.

Delen door nul valt buiten de regel: een breuk met 0 boven, zoals 0⁄5, is gelijk aan 0 en heeft geen omgekeerde, dus je kunt er niets door delen.

Controleer het antwoord door terug te vermenigvuldigen

Het antwoord vermenigvuldigd met de deler moet het getal opleveren waarmee je begon, en die ene regel vangt elke fout hierboven. Bij 3⁄4 : 1⁄8 = 6 controleer je 6 × 1⁄8 = 6⁄8 = 3⁄4.

Bij de fout met de eerste breuk omgedraaid zakt de controle meteen: 9⁄8 × 3⁄4 = 27⁄32, en dat is geen 2⁄3. Dezelfde gewoonte om met de omgekeerde bewerking te controleren, zie je bij procenten berekenen en bij delen met kommagetallen, behandeld in kommagetallen uitgelegd voor ouders.

Gratis werkblad om te printenDelen — groep 8Werkblad · PDF

Je checklist voor breuken delen

• Zeg wat de deling vraagt: hoe vaak de tweede hoeveelheid in de eerste past.
• Zet eerst om: hele getallen over 1, gemengde getallen naar onechte breuken.
• Laten staan, keerteken, omdraaien: laat de eerste breuk staan, maak van : een ×, draai alleen de tweede om.
• Vermenigvuldig en vereenvoudig: teller × teller, noemer × noemer, en dan zo eenvoudig mogelijk.
• Controleer door terug te vermenigvuldigen: het antwoord maal de deler moet het begingetal zijn.

Vlot delen en vermenigvuldigen met hele getallen maakt elk van die stappen sneller, want elke vereenvoudiging is een deelsom. Het spel met deelsommen speel je gratis in de browser zonder account, en het printbare werkblad delen voor groep 8 heeft een antwoordblad.

De app van MathIt, gratis op iOS en Android, past de moeilijkheid aan, dus het dagelijkse oefenen gaat pas omhoog als de makkelijkere sommen goed gaan.