Så dividerar du bråk med behåll, byt, vänd, och varför metoden fungerar

Ditt barns läxa säger 3 : 1⁄2, facit säger 6, och barnet har skrivit 1 1⁄2. Att dividera bråk är en av få skolregler som de flesta vuxna minns som en ramsa, ”vänd och multiplicera”, utan skälet bakom. Metoden tar fyra steg och skälet tar en bild, så division med bråk kan bli begriplig för er båda på en kväll.

Vad betyder det att dividera bråk?

Att dividera bråk betyder att fråga hur många av ett tal som ryms i ett annat. Uppgiften 3 : 1⁄2 frågar ”hur många halvor ryms i 3?”, och eftersom varje hel rymmer två halvor rymmer tre hela sex, så 3 : 1⁄2 = 6.

Barnet som skrev 1 1⁄2 svarade på en annan fråga: vad är hälften av 3? Det är 3 × 1⁄2, en multiplikation. Att läsa divisionstecknet som ”hur många ryms i” skiljer de två frågorna åt.

Samma läsning fungerar för varje division med heltal som ditt barn redan kan: 12 : 3 frågar hur många treor som ryms i 12. Guiden om hur man lär ut division med liggande stolen bygger upp betydelsen ”hur många ryms” för större tal.

Varför svaret ofta blir större

Svaret på en bråkdivision blir större än starttalet så fort divisorn är mindre än 1. En liten bit ryms fler gånger i ett tal än en hel gör, så 3 : 1⁄2 ger 6 och 3 : 1⁄4 ger 12.

Svaret blir mindre bara när divisorn är större än 1. Den överraskningen är värd att säga högt före varje regel, eftersom ett barn som väntar sig att division krymper ett tal kommer att ”rätta” ett rätt svar.

Så dividerar du bråk, steg för steg

Metoden behåll, byt, vänd dividerar två bråk i fyra steg, plus ett förberedande steg för heltal och tal i blandad form. Ta 2⁄3 : 3⁄4, exemplet som används i Common Core-standarden 6.NS.A.1.

1. Skriv varje tal som ett bråk. Ett heltal får nämnaren 1, så 4 blir 4⁄1, och ett tal i blandad form skrivs i bråkform. Båda talen i 2⁄3 : 3⁄4 är redan bråk.
2. Behåll det första bråket. 2⁄3 står kvar precis som det är. Bara det andra talet, divisorn, ändras.
3. Byt divisionstecknet mot multiplikation. Uppgiften lyder nu 2⁄3 × något.
4. Vänd det andra bråket. Divisorn 3⁄4 blir sitt inverterade värde, 4⁄3. Uppgiften är nu 2⁄3 × 4⁄3.
5. Multiplicera och förkorta. Multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare: 2 × 4 = 8 och 3 × 3 = 9, så 2⁄3 : 3⁄4 = 8⁄9. Det bråket går inte att förkorta mer.

Standarden ger själv kontrollen: 2⁄3 : 3⁄4 = 8⁄9 eftersom 3⁄4 av 8⁄9 är 2⁄3. Multiplicera 3⁄4 × 8⁄9 = 24⁄36, och 24⁄36 förkortas till 2⁄3.

Spela gratis i webbläsarenSaknad faktorÅk 3–4

Steget som går fel

Det förberedande steget är där de flesta felen börjar, eftersom ett tal i blandad form måste skrivas i bråkform innan något vänds. För 2 1⁄2 : 1 1⁄4 skriver du om 2 1⁄2 som 5⁄2 (två hela är 4 halvor, plus 1 halva) och 1 1⁄4 som 5⁄4.

Kör sedan stegen: 5⁄2 × 4⁄5 = 20⁄10 = 2. Du kan också förkorta innan du multiplicerar, eftersom femman i täljaren och femman i nämnaren tar ut varandra, vilket lämnar 4⁄2 = 2. Spelet med saknade faktorer tränar tänkandet ”vad gånger detta ger det där” som ligger bakom varje kontroll.

Inverterat värde, gemensam nämnare eller mätmodell

Tre metoder dividerar bråk rätt: multiplikation med det inverterade värdet är snabbast, metoden med gemensam nämnare visar varför svaret stämmer, och mätmodellen ritar upp betydelsen.

Vilken metod du ska välja

Mätmodellen kommer först för ett barn som möter bråkdivision för första gången, eftersom att räkna bitar på en stapel gör svaret synligt. Använd den med vänliga tal som 3 : 1⁄2 eller 2 : 1⁄3.

Metoden med inverterat värde kommer sist, när barnet kan säga vad divisionen frågar efter. Metoden med gemensam nämnare är bron mellan de två, och det är den du tar fram när ditt barn frågar ”men varför vänder vi?”

Varför behåll, byt, vänd fungerar

Behåll, byt, vänd fungerar eftersom division med ett bråk ger samma svar som multiplikation med bråkets inverterade värde. Division med 1⁄2 räknar halvor, varje hel rymmer 2 halvor, och därför är division med 1⁄2 detsamma som multiplikation med 2.

Samma sak gäller 1⁄8: varje hel rymmer 8 åttondelar, så division med 1⁄8 är multiplikation med 8. För en divisor som 3⁄4 rymmer varje hel 4 fjärdedelar, och var tredje av de fjärdedelarna bildar en bit på 3⁄4, så division med 3⁄4 är att multiplicera med 4 och sedan dividera med 3, alltså multiplikation med 4⁄3.

Praktikguiden om bråk från What Works Clearinghouse gör detta till sin tredje rekommendation: hjälp eleverna förstå varför räknemetoderna med bråk är rimliga. Ett barn som kan skälet kan bygga upp regeln igen när ramsan är glömd.

Beviset med gemensam nämnare

Metoden med gemensam nämnare bevisar regeln med lika stora bitar. Förläng 3⁄4 till 6⁄8, så blir uppgiften 3⁄4 : 1⁄8 till 6⁄8 : 1⁄8, som frågar hur många åttondelar det finns i sex åttondelar. Svaret är 6.

Metoden med inverterat värde når samma tal: 3⁄4 × 8⁄1 = 24⁄4 = 6. Att visa båda kedjorna sida vid sida, på en och samma stapel, är oftast ögonblicket då vändningen slutar kännas som ett trick.

Metoden fungerar också med svårare tal. För 2⁄3 : 3⁄4 förlänger du båda till nämnaren 12: 8⁄12 : 9⁄12 = 8⁄9, samma svar som behåll, byt, vänd gav. Guiden bråk förklarat för föräldrar går igenom förlängningen som det här steget vilar på.

Så dividerar du bråk med heltal, och heltal med bråk

Ett bråk delat med ett heltal blir mindre, och ett heltal delat med ett bråk mindre än 1 blir större. Båda fallen använder samma regel när heltalet har skrivits med nämnaren 1.

• Bråk : heltal: 2⁄3 : 4 = 2⁄3 × 1⁄4 = 2⁄12 = 1⁄6. Om 2⁄3 av en tårta delas mellan 4 personer får var och en 1⁄6 av tårtan.
• Heltal : bråk: 6 : 2⁄3 = 6⁄1 × 3⁄2 = 18⁄2 = 9. Nio bitar av storleken 2⁄3 ryms i 6.
• Blandad form : blandad form: 2 1⁄2 : 1 1⁄4 = 5⁄2 : 5⁄4 = 5⁄2 × 4⁄5 = 2. Två bitar av storleken 1 1⁄4 blir 2 1⁄2.
• Bråk : bråk: 3⁄4 : 1⁄2 = 3⁄4 × 2⁄1 = 6⁄4 = 1 1⁄2. En och en halv halva ryms i 3⁄4.

Vad mellanstadiet och högstadiet förväntar sig

I USA täcker årskurs 5 bara de enklaste fallen. Common Core-standarden 5.NF.B.7 ber eleverna dividera stambråk med heltal och heltal med stambråk, med exempel som 1⁄3 : 4 = 1⁄12 och 4 : 1⁄5 = 20, och en fotnot slår fast att division av ett bråk med ett bråk inte krävs i den årskursen.

Årskurs 6 lägger till bråk delat med bråk genom standarden 6.NS.A.1, inklusive den allmänna regeln (a⁄b) : (c⁄d) = ad⁄bc. England lägger första steget i Year 6: Englands nationella kursplan i matematik ber eleverna dividera äkta bråk med heltal, med exemplet 1⁄3 : 2 = 1⁄6. I Sverige arbetar årskurs 4–6 med tal i bråk- och decimalform, medan räknemetoder med bråk står i Lgr22:s centrala innehåll för årskurs 7–9, så bråk delat med bråk hör hemma på högstadiet.

Ett barn i årskurs 5 som möter 2⁄3 : 3⁄4 ligger alltså före. Vad varje årskurs förväntar sig finns på sidan med mattespel för årskurs 5 och sidan med mattespel för årskurs 6.

Vanliga misstag när man dividerar bråk

Fyra misstag orsakar de flesta felsvaren i bråkdivision, och vart och ett har en snabb fix.

• Att vända det första bråket: 2⁄3 : 3⁄4 räknat som 3⁄2 × 3⁄4 ger 9⁄8. Bara divisorn vänds, och rätt svar är 8⁄9.
• Att vända innan talet i blandad form skrivs om: Ett barn som gör 1 1⁄4 till 4 genom att vända 1⁄4 och släppa heltalet får 2 1⁄2 × 4 = 10. Skriv först om till 5⁄4, så blir svaret 2.
• Att inte förkorta: 20⁄10 är rätt men inte färdigt. Dividera täljare och nämnare med deras största gemensamma delare, 10, så får du 2.
• Att vänta sig ett mindre svar: Ett barn som väntar sig att division krymper ett tal litar inte på 3 : 1⁄2 = 6. Fråga hur många halvor som ryms i 3, så blir 6 begripligt.

Division med noll ligger utanför regeln: ett bråk med 0 i täljaren, som 0⁄5, är lika med 0 och saknar inverterat värde, så ingenting kan delas med det.

Kontrollera svaret genom att multiplicera tillbaka

Att multiplicera svaret med divisorn måste ge tillbaka starttalet, och den raden fångar varje misstag ovan. För 3⁄4 : 1⁄8 = 6 kontrollerar du 6 × 1⁄8 = 6⁄8 = 3⁄4.

För felet där det första bråket vändes faller kontrollen direkt: 9⁄8 × 3⁄4 = 27⁄32, vilket inte är 2⁄3. Samma vana att kontrollera med det motsatta räknesättet finns i hur man räknar ut procent och i division med decimaltal, som tas upp i decimaltal förklarat för föräldrar.

Gratis övningsblad att skriva utDivision — elever i årskurs 6Arbetsblad · PDF

Din checklista för att dividera bråk

• Säg vad divisionen frågar: hur många av det andra talet som ryms i det första.
• Skriv om först: heltal med nämnaren 1, tal i blandad form i bråkform.
• Behåll, byt, vänd: behåll det första bråket, byt : mot ×, vänd bara det andra.
• Multiplicera och förkorta: täljare × täljare, nämnare × nämnare, förkorta sedan så långt det går.
• Kontrollera genom att multiplicera tillbaka: svaret gånger divisorn ska bli starttalet.

Säkra divisions- och multiplikationsfakta med heltal gör vart och ett av stegen snabbare, eftersom varje förkortning är en divisionsfråga. Spelet med divisionsfakta går att spela gratis i webbläsaren utan konto, och det utskrivbara övningsbladet i division för årskurs 6 kommer med facit.

MathIt-appen, gratis för iOS och Android, har anpassad svårighetsgrad, så den dagliga övningen går uppåt först när de enklare fakta kommer rätt.