Comment diviser des fractions en multipliant par l'inverse, et pourquoi ça marche

Le devoir de votre enfant demande 3 ÷ 1⁄2, le corrigé dit 6, et votre enfant a écrit 1 + 1⁄2. Diviser des fractions fait partie des rares règles d'école dont la plupart des adultes se souviennent comme d'une formule, « on multiplie par l'inverse », sans la raison derrière. La méthode tient en quatre étapes et la raison en un seul dessin, si bien que la division de fractions peut prendre sens pour vous deux en une soirée.

Que signifie diviser des fractions ?

Diviser des fractions, c'est chercher combien de fois une quantité tient dans une autre. Le calcul 3 ÷ 1⁄2 demande « combien de demis tiennent dans 3 ? », et comme chaque unité contient deux demis, trois unités en contiennent six : 3 ÷ 1⁄2 = 6.

L'enfant qui a écrit 1 + 1⁄2 a répondu à une autre question : quelle est la moitié de 3 ? C'est 3 × 1⁄2, une multiplication. Lire le signe de division comme « combien de fois tient dans » sépare les deux questions.

La même lecture marche pour toutes les divisions de nombres entiers que votre enfant connaît déjà : 12 ÷ 3 demande combien de fois 3 tient dans 12. Le guide sur la division posée construit ce sens de « combien de fois » pour de plus grands nombres.

Pourquoi le résultat est souvent plus grand

Le résultat d'une division par une fraction est plus grand que le nombre de départ dès que le diviseur est inférieur à 1. Un petit morceau tient plus de fois dans une quantité qu'une unité entière, donc 3 ÷ 1⁄2 donne 6, et 3 ÷ 1⁄4 donne 12.

Le résultat ne devient plus petit que si le diviseur est supérieur à 1. Cette surprise mérite d'être dite à voix haute avant toute règle, car un enfant qui s'attend à ce qu'une division rapetisse un nombre « corrigera » une bonne réponse.

Comment diviser des fractions, étape par étape

La multiplication par l'inverse divise deux fractions quelconques en quatre étapes, plus une étape de préparation pour les nombres entiers et les nombres mixtes. Prenons 2⁄3 ÷ 3⁄4, l'exemple du standard américain Common Core 6.NS.A.1.

1. Écrivez chaque nombre sous forme de fraction. Un nombre entier s'écrit sur 1, donc 4 devient 4⁄1, et un nombre mixte devient une seule fraction. Les deux nombres de 2⁄3 ÷ 3⁄4 sont déjà des fractions.
2. Gardez la première fraction. Le 2⁄3 reste tel quel. Seul le second nombre, le diviseur, change.
3. Remplacez la division par une multiplication. Le calcul s'écrit maintenant 2⁄3 × quelque chose.
4. Prenez l'inverse de la seconde fraction. Le diviseur 3⁄4 devient son inverse, 4⁄3. Le calcul est maintenant 2⁄3 × 4⁄3.
5. Multipliez et simplifiez. Multipliez les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : 2 × 4 = 8 et 3 × 3 = 9, donc 2⁄3 ÷ 3⁄4 = 8⁄9. Cette fraction est déjà irréductible.

Le standard donne lui-même la vérification : 2⁄3 ÷ 3⁄4 = 8⁄9 « parce que les 3⁄4 de 8⁄9 font 2⁄3 ». Multipliez 3⁄4 × 8⁄9 = 24⁄36, et 24⁄36 se simplifie en 2⁄3.

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L'étape où l'on se trompe

L'étape de préparation est celle où commencent la plupart des erreurs, car un nombre mixte doit devenir une seule fraction avant toute inversion. Pour (2 + 1⁄2) ÷ (1 + 1⁄4), réécrivez 2 + 1⁄2 en 5⁄2 (deux unités font 4 demis, plus 1 demi) et 1 + 1⁄4 en 5⁄4.

Déroulez ensuite les étapes : 5⁄2 × 4⁄5 = 20⁄10 = 2. Vous pouvez aussi simplifier avant de multiplier, puisque le 5 du haut et le 5 du bas s'éliminent, ce qui laisse 4⁄2 = 2. Le jeu du facteur manquant entraîne le raisonnement « combien de fois ceci donne cela » qui sous-tend chaque vérification.

Inverse, dénominateur commun ou modèle de mesure

Trois méthodes divisent correctement des fractions : multiplier par l'inverse est la plus rapide, la méthode du dénominateur commun montre pourquoi le résultat est juste, et le modèle de mesure dessine le sens.

Quelle méthode choisir

Le modèle de mesure vient en premier pour un enfant qui découvre la division de fractions, car compter des morceaux sur une barre rend le résultat visible. Utilisez-le avec des nombres simples comme 3 ÷ 1⁄2 ou 2 ÷ 1⁄3.

La multiplication par l'inverse vient en dernier, une fois que l'enfant sait dire ce que demande la division. La méthode du dénominateur commun fait le pont entre les deux, et c'est elle qu'il faut sortir quand votre enfant demande « mais pourquoi on retourne la fraction ? ».

Pourquoi multiplier par l'inverse fonctionne

Multiplier par l'inverse fonctionne parce que diviser par une fraction donne le même résultat que multiplier par son inverse. Diviser par 1⁄2 compte des demis, chaque unité contient 2 demis, et diviser par 1⁄2 revient donc à multiplier par 2.

C'est pareil pour 1⁄8 : chaque unité contient 8 huitièmes, donc diviser par 1⁄8 revient à multiplier par 8. Pour un diviseur comme 3⁄4, chaque unité contient 4 quarts, et chaque groupe de 3 quarts forme un morceau de 3⁄4 : diviser par 3⁄4 revient à multiplier par 4 puis à diviser par 3, c'est-à-dire à multiplier par 4⁄3.

Le guide du What Works Clearinghouse sur les fractions en fait sa troisième recommandation : « aider les élèves à comprendre pourquoi les procédures de calcul sur les fractions ont du sens ». Un enfant qui connaît la raison peut reconstruire la règle le jour où la formule est oubliée.

La preuve par le dénominateur commun

La méthode du dénominateur commun prouve la règle avec des morceaux de même taille. Écrivez 3⁄4 sous la forme 6⁄8, et le calcul 3⁄4 ÷ 1⁄8 devient 6⁄8 ÷ 1⁄8, qui demande combien de huitièmes il y a dans six huitièmes. La réponse est 6.

La multiplication par l'inverse arrive au même nombre : 3⁄4 × 8⁄1 = 24⁄4 = 6. Montrer les deux chaînes côte à côte, sur une même barre, est souvent le moment où l'inversion cesse de ressembler à un tour de magie.

La méthode marche aussi avec des nombres plus difficiles. Pour 2⁄3 ÷ 3⁄4, écrivez les deux fractions sur 12 : 8⁄12 ÷ 9⁄12 = 8⁄9, le même résultat qu'avec l'inverse. Le guide pour expliquer les fractions à votre enfant couvre les fractions égales sur lesquelles repose cette étape.

Diviser une fraction par un nombre entier, et un nombre entier par une fraction

Une fraction divisée par un nombre entier devient plus petite, et un nombre entier divisé par une fraction inférieure à 1 devient plus grand. Les deux cas suivent la même règle une fois l'entier écrit sur 1.

• Fraction ÷ nombre entier : 2⁄3 ÷ 4 = 2⁄3 × 1⁄4 = 2⁄12 = 1⁄6. Partager les 2⁄3 d'un gâteau entre 4 personnes donne 1⁄6 du gâteau à chacune.
• Nombre entier ÷ fraction : 6 ÷ 2⁄3 = 6⁄1 × 3⁄2 = 18⁄2 = 9. Neuf morceaux de 2⁄3 tiennent dans 6.
• Nombre mixte ÷ nombre mixte : (2 + 1⁄2) ÷ (1 + 1⁄4) = 5⁄2 ÷ 5⁄4 = 5⁄2 × 4⁄5 = 2. Deux morceaux de 1 + 1⁄4 font 2 + 1⁄2.
• Fraction ÷ fraction : 3⁄4 ÷ 1⁄2 = 3⁄4 × 2⁄1 = 6⁄4 = 1 + 1⁄2. Un demi et encore la moitié d'un demi tiennent dans 3⁄4.

Ce qu'on attend en CM2, en 6e et au collège

Aux États-Unis, le grade 5, l'équivalent du CM2, ne couvre que les cas les plus simples. Le standard Common Core 5.NF.B.7 demande de « diviser des fractions unitaires par des nombres entiers et des nombres entiers par des fractions unitaires », avec des exemples comme 1⁄3 ÷ 4 = 1⁄12 et 4 ÷ 1⁄5 = 20, et une note précise que « la division d'une fraction par une fraction n'est pas exigée à ce niveau ». Le grade 6, l'équivalent de la 6e, ajoute fraction ÷ fraction avec le standard 6.NS.A.1, y compris la règle générale (a⁄b) ÷ (c⁄d) = ad⁄bc.

L'Angleterre place la première étape en Year 6 : le programme national anglais de mathématiques demande de « diviser des fractions inférieures à 1 par des nombres entiers », avec l'exemple 1⁄3 ÷ 2 = 1⁄6. En France, le rythme est plus lent : le programme de mathématiques du cycle 3 demande en 6e d'« additionner et soustraire des fractions » et de « multiplier une fraction par un nombre entier », et la division par une fraction n'arrive qu'au collège, en 4e.

Un élève de CM2 ou de 6e qui rencontre 2⁄3 ÷ 3⁄4 travaille donc en avance. Les compétences de chaque niveau sont détaillées sur la page de jeux de maths pour le CM2 et la page de jeux de maths pour la 6e.

Les erreurs fréquentes quand on divise des fractions

Quatre erreurs causent la plupart des mauvaises réponses en division de fractions, et chacune se corrige vite.

• Retourner la première fraction : 2⁄3 ÷ 3⁄4 calculé comme 3⁄2 × 3⁄4 donne 9⁄8. Seul le diviseur est inversé, et la bonne réponse est 8⁄9.
• Inverser avant de convertir un nombre mixte : un enfant qui transforme 1 + 1⁄4 en 4 en retournant 1⁄4 et en oubliant l'unité obtient (2 + 1⁄2) × 4 = 10. Convertissez d'abord en 5⁄4, et la réponse est 2.
• Ne pas simplifier : 20⁄10 est juste mais pas terminé. Divisez le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun, 10, pour obtenir 2.
• S'attendre à un résultat plus petit : un enfant qui pense qu'une division rapetisse toujours se méfie de 3 ÷ 1⁄2 = 6. Demandez combien de demis tiennent dans 3, et le 6 prend sens.

La division par zéro échappe à la règle : une fraction dont le numérateur est 0, comme 0⁄5, vaut 0 et n'a pas d'inverse, donc on ne peut rien diviser par elle.

Vérifier le résultat en remultipliant

Multiplier le résultat par le diviseur doit redonner le nombre de départ, et cette seule ligne attrape toutes les erreurs ci-dessus. Pour 3⁄4 ÷ 1⁄8 = 6, vérifiez 6 × 1⁄8 = 6⁄8 = 3⁄4.

Pour l'erreur de la première fraction retournée, la vérification échoue tout de suite : 9⁄8 × 3⁄4 = 27⁄32, qui n'est pas 2⁄3. La même habitude de vérifier par l'opération inverse se retrouve dans le calcul des pourcentages et dans la division des décimaux, traitée dans le guide des nombres décimaux pour les parents.

Fiche gratuite à imprimerDivision — élèves de 6eFiche · PDF

Votre pense-bête pour diviser des fractions

• Dites ce que demande la division : combien de fois la seconde quantité tient dans la première.
• Convertissez d'abord : les entiers sur 1, les nombres mixtes en une seule fraction.
• Multipliez par l'inverse : gardez la première fraction, remplacez ÷ par ×, retournez seulement la seconde.
• Multipliez et simplifiez : numérateur × numérateur, dénominateur × dénominateur, puis rendez la fraction irréductible.
• Vérifiez en remultipliant : le résultat multiplié par le diviseur doit redonner le nombre de départ.

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