Dzielenie ułamków zwykłych przez odwrotność i dlaczego ta reguła działa

W zadaniu domowym stoi 3 : 1⁄2, w odpowiedziach na końcu podręcznika 6, a dziecko napisało 1 1⁄2. Dzielenie ułamków to jedna z niewielu szkolnych reguł, którą większość dorosłych pamięta jak formułkę, „mnożymy przez odwrotność”, bez powodu, który za nią stoi. Metoda ma cztery kroki, a powód mieści się na jednym obrazku, więc dzielenie ułamków może nabrać sensu dla was obojga w jeden wieczór.

Co znaczy dzielenie ułamków?

Dzielenie ułamków to pytanie, ile razy jedna wielkość mieści się w drugiej. Działanie 3 : 1⁄2 pyta „ile połówek mieści się w 3?”, a skoro każda całość mieści dwie połówki, trzy całości mieszczą sześć, więc 3 : 1⁄2 = 6.

Dziecko, które napisało 1 1⁄2, odpowiedziało na inne pytanie: ile to połowa z 3? To jest 3 × 1⁄2, czyli mnożenie. Czytanie znaku dzielenia jako „ile razy się mieści” rozdziela te dwa pytania.

To samo odczytanie działa dla każdego dzielenia liczb całkowitych, które dziecko już zna: 12 : 3 pyta, ile trójek mieści się w 12. Poradnik jak uczyć dzielenia pisemnego buduje to znaczenie „ile się mieści” dla większych liczb.

Dlaczego wynik często jest większy

Wynik dzielenia przez ułamek jest większy od liczby początkowej zawsze, gdy dzielnik jest mniejszy od 1. Mały kawałek mieści się w danej wielkości więcej razy niż całość, więc 3 : 1⁄2 daje 6, a 3 : 1⁄4 daje 12.

Wynik robi się mniejszy tylko wtedy, gdy dzielnik jest większy od 1. To zaskoczenie warto powiedzieć na głos przed jakąkolwiek regułą, bo dziecko, które oczekuje, że dzielenie zawsze zmniejsza, „poprawi” dobry wynik.

Dzielenie ułamków krok po kroku

Metoda mnożenia przez odwrotność dzieli dowolne dwa ułamki w czterech krokach, plus jeden krok przygotowawczy dla liczb całkowitych i mieszanych. Weźmy 2⁄3 : 3⁄4, przykład z amerykańskiego standardu Common Core 6.NS.A.1.

1. Zapisz każdą liczbę jako ułamek. Liczba całkowita dostaje mianownik 1, więc 4 to 4⁄1, a liczba mieszana staje się ułamkiem niewłaściwym. Obie liczby w 2⁄3 : 3⁄4 już są ułamkami.
2. Zostaw pierwszy ułamek. 2⁄3 zostaje dokładnie takie, jakie jest. Zmienia się tylko druga liczba, czyli dzielnik.
3. Zamień znak dzielenia na mnożenie. Działanie brzmi teraz 2⁄3 × coś.
4. Odwróć drugi ułamek. Dzielnik 3⁄4 zamienia się w swoją odwrotność, 4⁄3. Działanie to teraz 2⁄3 × 4⁄3.
5. Pomnóż i skróć. Pomnóż licznik przez licznik i mianownik przez mianownik: 2 × 4 = 8 i 3 × 3 = 9, więc 2⁄3 : 3⁄4 = 8⁄9. Tego ułamka nie da się już skrócić.

Sam standard podaje sprawdzenie: 2⁄3 : 3⁄4 = 8⁄9, bo 3⁄4 z 8⁄9 to 2⁄3. Pomnóż 3⁄4 × 8⁄9 = 24⁄36, a 24⁄36 po skróceniu daje 2⁄3.

Zagraj za darmo w przeglądarceBrakujący czynnikKlasa 3–4

Krok, na którym ludzie się mylą

Krok przygotowawczy to miejsce, gdzie zaczyna się większość błędów, bo liczbę mieszaną trzeba zamienić na ułamek niewłaściwy, zanim cokolwiek się odwróci. Dla 2 1⁄2 : 1 1⁄4 zapisz 2 1⁄2 jako 5⁄2 (dwie całości to 4 połówki plus 1 połówka), a 1 1⁄4 jako 5⁄4.

Potem przejdź kroki: 5⁄2 × 4⁄5 = 20⁄10 = 2. Możesz też skrócić przed mnożeniem, bo piątka w liczniku i piątka w mianowniku się znoszą, co zostawia 4⁄2 = 2. Gra z brakującym czynnikiem ćwiczy myślenie „ile razy to daje tamto”, które stoi za każdym sprawdzeniem.

Odwrotność, wspólny mianownik czy model mieszczenia

Trzy metody dzielą ułamki poprawnie: mnożenie przez odwrotność jest najszybsze, metoda wspólnego mianownika pokazuje, dlaczego wynik jest dobry, a model mieszczenia rysuje znaczenie.

Którą metodę wybrać

Model mieszczenia idzie pierwszy, gdy dziecko poznaje dzielenie ułamków, bo liczenie kawałków na pasku sprawia, że wynik widać. Używaj go z przyjaznymi liczbami, jak 3 : 1⁄2 albo 2 : 1⁄3.

Mnożenie przez odwrotność przychodzi na końcu, gdy dziecko umie powiedzieć, o co pyta dzielenie. Metoda wspólnego mianownika jest mostem między nimi i to po nią warto sięgnąć, gdy dziecko pyta: „ale dlaczego odwracamy?”.

Dlaczego mnożenie przez odwrotność działa

Mnożenie przez odwrotność działa, bo dzielenie przez ułamek daje ten sam wynik co mnożenie przez jego odwrotność. Dzielenie przez 1⁄2 liczy połówki, każda całość mieści 2 połówki, więc dzielenie przez 1⁄2 to to samo co mnożenie przez 2.

To samo dotyczy 1⁄8: każda całość mieści 8 ósmych, więc dzielenie przez 1⁄8 to mnożenie przez 8. Dla dzielnika takiego jak 3⁄4 każda całość mieści 4 ćwiartki, a każde 3 z tych ćwiartek tworzą jeden kawałek 3⁄4, więc dzielenie przez 3⁄4 to mnożenie przez 4 i dzielenie przez 3, czyli mnożenie przez 4⁄3.

Poradnik What Works Clearinghouse o ułamkach robi z tego swoje trzecie zalecenie: pomóż uczniom zrozumieć, dlaczego procedury działań na ułamkach mają sens. Dziecko, które zna powód, odtworzy regułę, gdy formułka wyleci z głowy.

Dowód przez wspólny mianownik

Metoda wspólnego mianownika dowodzi reguły kawałkami tej samej wielkości. Zapisz 3⁄4 jako 6⁄8, a działanie 3⁄4 : 1⁄8 staje się 6⁄8 : 1⁄8, czyli pytaniem, ile ósmych jest w sześciu ósmych. Odpowiedź to 6.

Mnożenie przez odwrotność dochodzi do tej samej liczby: 3⁄4 × 8⁄1 = 24⁄4 = 6. Pokazanie obu łańcuchów obok siebie, na jednym pasku, to zwykle chwila, w której odwracanie przestaje wyglądać na sztuczkę.

Metoda działa też z trudniejszymi liczbami. Dla 2⁄3 : 3⁄4 sprowadź oba ułamki do mianownika 12: 8⁄12 : 9⁄12 = 8⁄9, ten sam wynik co przy mnożeniu przez odwrotność. Poradnik ułamki wyjaśnione dla rodziców opisuje rozszerzanie ułamków, na którym opiera się ten krok.

Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą i liczby całkowitej przez ułamek

Ułamek podzielony przez liczbę całkowitą się zmniejsza, a liczba całkowita podzielona przez ułamek mniejszy od 1 się zwiększa. Oba przypadki używają tej samej reguły, gdy liczbę całkowitą zapiszesz z mianownikiem 1.

• Ułamek : liczba całkowita: 2⁄3 : 4 = 2⁄3 × 1⁄4 = 2⁄12 = 1⁄6. Podział 2⁄3 ciasta między 4 osoby daje każdej 1⁄6 ciasta.
• Liczba całkowita : ułamek: 6 : 2⁄3 = 6⁄1 × 3⁄2 = 18⁄2 = 9. W 6 mieści się dziewięć kawałków wielkości 2⁄3.
• Liczba mieszana : liczba mieszana: 2 1⁄2 : 1 1⁄4 = 5⁄2 : 5⁄4 = 5⁄2 × 4⁄5 = 2. Dwa kawałki wielkości 1 1⁄4 dają 2 1⁄2.
• Ułamek : ułamek: 3⁄4 : 1⁄2 = 3⁄4 × 2⁄1 = 6⁄4 = 1 1⁄2. W 3⁄4 mieści się półtorej połówki.

Czego wymaga szkoła w klasach 4–6

W Polsce podstawa programowa matematyki umieszcza wszystkie te przypadki w klasach 4–6: uczeń „dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli ułamki zwykłe o mianownikach jedno- lub dwucyfrowych”, a w praktyce dzielenie ułamków przychodzi zwykle w klasie 5. Amerykański standard Common Core 5.NF.B.7 idzie wolniej: w klasie 5 dzieli tylko ułamki jednostkowe przez liczby całkowite i odwrotnie, z przykładami 1⁄3 : 4 = 1⁄12 i 4 : 1⁄5 = 20, a przypis zaznacza, że dzielenie ułamka przez ułamek nie jest wymagane w tej klasie.

Klasa 6 w USA dokłada dzielenie ułamka przez ułamek w standardzie 6.NS.A.1, razem z ogólną regułą (a⁄b) : (c⁄d) = ad⁄bc. Anglia stawia pierwszy krok w Year 6: angielski program nauczania matematyki prosi o dzielenie ułamków właściwych przez liczby całkowite, z przykładem 1⁄3 : 2 = 1⁄6.

Polski piątoklasista, który dostaje 2⁄3 : 3⁄4, robi więc dokładnie to, czego wymaga program. Umiejętności z poszczególnych klas zbierają strony gra matematyczna dla 5 klasy i gra matematyczna dla 6 klasy.

Najczęstsze błędy przy dzieleniu ułamków

Cztery błędy odpowiadają za większość złych wyników przy dzieleniu ułamków, a każdy ma szybkie lekarstwo.

• Odwrócenie pierwszego ułamka: 2⁄3 : 3⁄4 policzone jako 3⁄2 × 3⁄4 daje 9⁄8. Odwraca się tylko dzielnik, a poprawny wynik to 8⁄9.
• Odwrócenie przed zamianą liczby mieszanej: Dziecko, które zamienia 1 1⁄4 w 4, odwracając 1⁄4 i gubiąc całość, dostaje 2 1⁄2 × 4 = 10. Najpierw zamień na 5⁄4, a wynik to 2.
• Brak skrócenia: 20⁄10 jest poprawne, ale niedokończone. Podziel licznik i mianownik przez ich największy wspólny dzielnik, 10, i dostaniesz 2.
• Oczekiwanie mniejszego wyniku: Dziecko, które oczekuje, że dzielenie zmniejsza liczbę, nie ufa 3 : 1⁄2 = 6. Zapytaj, ile połówek mieści się w 3, a 6 nabierze sensu.

Dzielenie przez zero leży poza regułą: ułamek z 0 w liczniku, taki jak 0⁄5, równa się 0 i nie ma odwrotności, więc nie da się przez niego dzielić.

Sprawdź wynik, mnożąc z powrotem

Pomnożenie wyniku przez dzielnik musi dać liczbę początkową, a ta jedna linijka łapie każdy błąd z listy. Dla 3⁄4 : 1⁄8 = 6 sprawdź 6 × 1⁄8 = 6⁄8 = 3⁄4.

Przy błędzie z odwróceniem pierwszego ułamka sprawdzenie od razu się nie zgadza: 9⁄8 × 3⁄4 = 27⁄32, a to nie jest 2⁄3. Ten sam nawyk sprawdzania działaniem odwrotnym pojawia się w artykule jak obliczać procenty i przy dzieleniu ułamków dziesiętnych, opisanym w poradniku ułamki dziesiętne wyjaśnione dla rodziców.

Darmowa karta pracy do drukuDzielenie — uczniów 6. klasyKarta pracy · PDF

Twoja lista kontrolna dzielenia ułamków

• Powiedz, o co pyta dzielenie: ile razy druga wielkość mieści się w pierwszej.
• Najpierw zamiana: liczby całkowite z mianownikiem 1, liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.
• Zostaw, zamień, odwróć: pierwszy ułamek zostaw, znak : zamień na ×, odwróć tylko drugi.
• Pomnóż i skróć: licznik × licznik, mianownik × mianownik, potem skróć do końca.
• Sprawdź, mnożąc z powrotem: wynik razy dzielnik musi dać liczbę początkową.

Płynne dzielenie liczb całkowitych i znajomość tabliczki mnożenia przyspieszają każdy z tych kroków, bo każde skracanie to pytanie o dzielenie. Gra z dzieleniem działa za darmo w przeglądarce, bez rejestracji, a karta pracy z dzieleniem dla 6 klasy do wydruku ma klucz odpowiedzi.

Aplikacja MathIt, darmowa na iOS i Android, ma adaptacyjny poziom trudności, więc codzienne ćwiczenia idą wyżej dopiero wtedy, gdy łatwiejsze działania wychodzą bezbłędnie.