Como dividir frações com o inverso da segunda, e por que a regra funciona

A lição de casa do seu filho diz 3 ÷ 1⁄2, o gabarito diz 6, e a criança escreveu 1 1⁄2. A divisão de frações é uma das poucas regras da escola que a maioria dos adultos lembra como um bordão, "repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda", sem o motivo por trás. O método tem quatro passos e o motivo cabe num desenho, então a divisão de frações pode fazer sentido para vocês dois numa noite.

O que significa dividir frações?

Dividir frações é perguntar quantas vezes uma quantidade cabe em outra. A conta 3 ÷ 1⁄2 pergunta "quantas metades cabem em 3?", e como cada inteiro tem duas metades, três inteiros têm seis, então 3 ÷ 1⁄2 = 6.

A criança que escreveu 1 1⁄2 respondeu outra pergunta: quanto é a metade de 3? Isso é 3 × 1⁄2, uma multiplicação. Ler o sinal de divisão como "quantas vezes cabe" separa as duas perguntas.

A mesma leitura vale para toda divisão de números inteiros que a criança já conhece: 12 ÷ 3 pergunta quantos três cabem em 12. O guia de como ensinar a conta de dividir constrói esse sentido de "quantas vezes cabe" para números maiores.

Por que o resultado muitas vezes é maior

O resultado de uma divisão de frações é maior que o número de partida sempre que o divisor é menor que 1. Um pedaço pequeno cabe mais vezes numa quantidade do que um inteiro, então 3 ÷ 1⁄2 dá 6, e 3 ÷ 1⁄4 dá 12.

O resultado só fica menor quando o divisor é maior que 1. Vale dizer essa surpresa em voz alta antes de qualquer regra, porque a criança que espera que a divisão encolha o número vai "corrigir" uma resposta certa.

Como fazer divisão de frações, passo a passo

A regra do inverso divide quaisquer duas frações em quatro passos, mais um passo de preparação para números inteiros e números mistos. Pegue 2⁄3 ÷ 3⁄4, o exemplo usado no padrão 6.NS.A.1 do Common Core.

1. Escreva todo número como fração. Um número inteiro vai sobre 1, então 4 vira 4⁄1, e um número misto vira fração imprópria. Os dois números de 2⁄3 ÷ 3⁄4 já são frações.
2. Repita a primeira fração. O 2⁄3 fica exatamente como está. Só o segundo número, o divisor, muda.
3. Troque o sinal de divisão por multiplicação. A conta agora é 2⁄3 × alguma coisa.
4. Inverta a segunda fração. O divisor 3⁄4 vira o seu inverso, 4⁄3. A conta agora é 2⁄3 × 4⁄3.
5. Multiplique e simplifique. Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador: 2 × 4 = 8 e 3 × 3 = 9, então 2⁄3 ÷ 3⁄4 = 8⁄9. Essa fração já é irredutível.

O próprio padrão dá a conferência: 2⁄3 ÷ 3⁄4 = 8⁄9 porque 3⁄4 de 8⁄9 é 2⁄3. Multiplique 3⁄4 × 8⁄9 = 24⁄36, e 24⁄36 se simplifica para 2⁄3.

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O passo que as pessoas erram

A preparação é onde começa a maioria dos erros, porque o número misto precisa virar fração imprópria antes de qualquer inversão. Em 2 1⁄2 ÷ 1 1⁄4, reescreva 2 1⁄2 como 5⁄2 (dois inteiros são 4 metades, mais 1 metade) e 1 1⁄4 como 5⁄4.

Depois siga os passos: 5⁄2 × 4⁄5 = 20⁄10 = 2. Também dá para simplificar antes de multiplicar, já que o 5 de cima e o 5 de baixo se cancelam, o que deixa 4⁄2 = 2. O jogo do fator que falta treina o raciocínio "o que vezes isto dá aquilo" que está por trás de toda conferência.

Inverso, denominador comum ou modelo de medida

Três métodos dividem frações corretamente: multiplicar pelo inverso é o mais rápido, o denominador comum mostra por que o resultado está certo, e o modelo de medida desenha o significado.

Qual método escolher

O modelo de medida vem primeiro para a criança que está conhecendo a divisão de frações, porque contar pedaços numa barra deixa a resposta visível. Use com números amigáveis como 3 ÷ 1⁄2 ou 2 ÷ 1⁄3.

O método do inverso vem por último, quando a criança já sabe dizer o que a divisão pergunta. O denominador comum é a ponte entre os dois, e é o método a usar quando seu filho pergunta "mas por que a gente inverte?"

Por que a regra do inverso funciona

A regra funciona porque dividir por uma fração dá o mesmo resultado que multiplicar pelo seu inverso. Dividir por 1⁄2 conta metades, cada inteiro tem 2 metades, e por isso dividir por 1⁄2 é o mesmo que multiplicar por 2.

O mesmo vale para 1⁄8: cada inteiro tem 8 oitavos, então dividir por 1⁄8 é multiplicar por 8. Para um divisor como 3⁄4, cada inteiro tem 4 quartos, e cada 3 desses quartos formam um pedaço de 3⁄4, então dividir por 3⁄4 é multiplicar por 4 e depois dividir por 3, ou seja, multiplicar por 4⁄3.

O guia de frações do What Works Clearinghouse faz disso a sua terceira recomendação: ajudar os alunos a entender por que os procedimentos de cálculo com frações fazem sentido. A criança que sabe o motivo reconstrói a regra quando o bordão é esquecido.

A prova pelo denominador comum

O método do denominador comum prova a regra com pedaços do mesmo tamanho. Reescreva 3⁄4 como 6⁄8, e a conta 3⁄4 ÷ 1⁄8 vira 6⁄8 ÷ 1⁄8, que pergunta quantos oitavos há em seis oitavos. A resposta é 6.

O método do inverso chega ao mesmo número: 3⁄4 × 8⁄1 = 24⁄4 = 6. Mostrar as duas cadeias lado a lado, numa barra só, costuma ser o momento em que a inversão deixa de parecer truque.

O método também funciona com números mais difíceis. Em 2⁄3 ÷ 3⁄4, reescreva as duas frações com denominador 12: 8⁄12 ÷ 9⁄12 = 8⁄9, o mesmo resultado da regra do inverso. O guia de frações explicadas para pais trata das frações equivalentes em que esse passo se apoia.

Como dividir frações por números inteiros, e inteiros por frações

Uma fração dividida por um número inteiro fica menor, e um número inteiro dividido por uma fração menor que 1 fica maior. Os dois casos usam a mesma regra quando o inteiro é escrito sobre 1.

• Fração ÷ número inteiro: 2⁄3 ÷ 4 = 2⁄3 × 1⁄4 = 2⁄12 = 1⁄6. Repartir 2⁄3 de um bolo entre 4 pessoas dá 1⁄6 do bolo para cada uma.
• Número inteiro ÷ fração: 6 ÷ 2⁄3 = 6⁄1 × 3⁄2 = 18⁄2 = 9. Nove pedaços de tamanho 2⁄3 cabem em 6.
• Número misto ÷ número misto: 2 1⁄2 ÷ 1 1⁄4 = 5⁄2 ÷ 5⁄4 = 5⁄2 × 4⁄5 = 2. Dois pedaços de tamanho 1 1⁄4 formam 2 1⁄2.
• Fração ÷ fração: 3⁄4 ÷ 1⁄2 = 3⁄4 × 2⁄1 = 6⁄4 = 1 1⁄2. A metade cabe uma vez e meia em 3⁄4.

O que o 5º, o 6º e o 7º ano esperam

No Brasil, a BNCC põe a adição e a subtração de frações no 6º ano (EF06MA10) e a divisão no 7º ano, ao pedir "compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais" (EF07MA11). Muitas coleções didáticas já apresentam a divisão de frações no fim do 6º ano. Nos Estados Unidos, o padrão 5.NF.B.7 do Common Core cobre só os casos mais simples no 5º ano, como 1⁄3 ÷ 4 = 1⁄12 e 4 ÷ 1⁄5 = 20, e avisa numa nota que a divisão de fração por fração não é exigida nesse ano.

O 6º ano americano acrescenta fração ÷ fração pelo padrão 6.NS.A.1, incluindo a regra geral (a⁄b) ÷ (c⁄d) = ad⁄bc. A Inglaterra coloca o primeiro passo no Year 6: o currículo nacional de matemática da Inglaterra pede dividir frações próprias por números inteiros, com o exemplo 1⁄3 ÷ 2 = 1⁄6.

A criança do 5º ano que encontra 2⁄3 ÷ 3⁄4 está trabalhando adiantada. As habilidades de cada ano estão na página do jogo de matemática para o 5º ano e na do jogo de matemática para o 6º ano.

Erros comuns na divisão de frações

Quatro erros causam a maior parte das respostas erradas na divisão de frações, e cada um tem um conserto rápido.

• Inverter a primeira fração: 2⁄3 ÷ 3⁄4 feita como 3⁄2 × 3⁄4 dá 9⁄8. Só o divisor se inverte, e a resposta certa é 8⁄9.
• Inverter antes de transformar o número misto: A criança que transforma 1 1⁄4 em 4 invertendo o 1⁄4 e esquecendo o inteiro chega a 2 1⁄2 × 4 = 10. Transforme em 5⁄4 primeiro, e a resposta é 2.
• Não simplificar: 20⁄10 está certo, mas inacabado. Divida numerador e denominador pelo MDC, 10, para chegar a 2.
• Esperar um resultado menor: A criança que espera que a divisão encolha o número desconfia de 3 ÷ 1⁄2 = 6. Pergunte quantas metades cabem em 3, e o 6 passa a fazer sentido.

A divisão por zero fica fora da regra: uma fração com 0 no numerador, como 0⁄5, vale 0 e não tem inverso, então nada pode ser dividido por ela.

Confira o resultado multiplicando de volta

Multiplicar o resultado pelo divisor tem de devolver o número de partida, e essa linha pega todos os erros acima. Em 3⁄4 ÷ 1⁄8 = 6, confira 6 × 1⁄8 = 6⁄8 = 3⁄4.

No erro de inverter a primeira fração, a conferência falha na hora: 9⁄8 × 3⁄4 = 27⁄32, que não é 2⁄3. O mesmo hábito de conferir pela operação inversa aparece em como calcular porcentagem e na divisão de decimais, tratada em números decimais explicados para pais.

Atividade grátis para imprimirDivisão — Alunos do 6.º anoFicha · PDF

Sua lista de conferência da divisão de frações

• Diga o que a divisão pergunta: quantas vezes a segunda quantidade cabe na primeira.
• Transforme primeiro: inteiros sobre 1, números mistos em frações impróprias.
• Repita, troque, inverta: repita a primeira fração, troque ÷ por × e inverta só a segunda.
• Multiplique e simplifique: numerador × numerador, denominador × denominador, depois chegue à fração irredutível.
• Confira multiplicando de volta: o resultado vezes o divisor tem de dar o número de partida.

A tabuada e a divisão de inteiros na ponta da língua deixam cada um desses passos mais rápido, já que toda simplificação é uma pergunta de divisão. O jogo de fatos da divisão roda de graça no navegador, sem cadastro, e a folha de divisão para o 6º ano para imprimir vem com gabarito.

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