Dele brøker: behold, bytt, snu, og hvorfor det virker

I leksene til barnet ditt står det 3 : 1⁄2, fasiten sier 6, og barnet har skrevet 1 1⁄2. Å dele brøker er en av de få skolereglene de fleste voksne husker som en regle, «behold, bytt, snu», uten grunnen bak. Metoden tar fire steg, og grunnen tar én tegning, så divisjon med brøk kan gi mening for dere begge på én kveld.

Hva betyr det å dele brøker?

Å dele brøker betyr å spørre hvor mange ganger én mengde får plass i en annen. Regnestykket 3 : 1⁄2 spør «hvor mange halve får plass i 3?», og siden hver hel rommer to halve, rommer tre hele seks, så 3 : 1⁄2 = 6.

Barnet som skrev 1 1⁄2, svarte på et annet spørsmål: hva er halvparten av 3? Det er 3 × 1⁄2, en multiplikasjon. Leser du deletegnet som «hvor mange ganger får plass i», skiller du de to spørsmålene.

Den norske skolen kaller dette målingsdivisjon, og læreplanen i matematikk (LK20) sier at eleven etter 4. trinn skal kunne «utforske og bruke målings- og delingsdivisjon i praktiske situasjoner». Den samme lesingen virker for hver divisjon med hele tall barnet allerede kan: 12 : 3 spør hvor mange treere som får plass i 12. Guiden om hvordan du lærer bort lang divisjon bygger den samme betydningen for større tall.

Hvorfor svaret ofte blir større

Svaret i en brøkdivisjon er større enn tallet du startet med når divisoren er mindre enn 1. En liten bit får plass i en mengde flere ganger enn en hel gjør, så 3 : 1⁄2 gir 6, og 3 : 1⁄4 gir 12.

Svaret blir mindre bare når divisoren er større enn 1. Den overraskelsen er verdt å si høyt før noen regel, fordi et barn som venter at divisjon gjør tall mindre, vil «rette» et riktig svar.

Slik deler du brøker, steg for steg

Metoden behold, bytt, snu deler to vilkårlige brøker i fire steg, pluss ett forberedende steg for hele tall og blandede tall. Ta 2⁄3 : 3⁄4, eksemplet som brukes i den amerikanske standarden Common Core 6.NS.A.1.

1. Skriv hvert tall som en brøk. Et helt tall får nevner 1, så 4 blir 4⁄1, og et blandet tall blir en uekte brøk. Begge tallene i 2⁄3 : 3⁄4 er allerede brøker.
2. Behold den første brøken. 2⁄3 blir stående akkurat som den er. Bare det andre tallet, divisoren, endres.
3. Bytt deletegnet med et gangetegn. Regnestykket lyder nå 2⁄3 × noe.
4. Snu den andre brøken. Divisoren 3⁄4 blir den omvendte brøken, 4⁄3. Regnestykket er nå 2⁄3 × 4⁄3.
5. Gang og forkort. Gang teller med teller og nevner med nevner: 2 × 4 = 8 og 3 × 3 = 9, så 2⁄3 : 3⁄4 = 8⁄9. Den brøken kan ikke forkortes mer.

Standarden gir selv kontrollen: 2⁄3 : 3⁄4 = 8⁄9 fordi 3⁄4 av 8⁄9 er 2⁄3. Gang 3⁄4 × 8⁄9 = 24⁄36, og 24⁄36 forkortes til 2⁄3.

Spill gratis i nettleserenManglende faktor3.–4. trinn

Steget folk gjør feil

Det forberedende steget er der de fleste feilene starter, fordi et blandet tall må bli en uekte brøk før noe snus. For 2 1⁄2 : 1 1⁄4 skriver du 2 1⁄2 som 5⁄2 (to hele er 4 halve, pluss 1 halv) og 1 1⁄4 som 5⁄4.

Så kjører du stegene: 5⁄2 × 4⁄5 = 20⁄10 = 2. Du kan også forkorte før du ganger, siden 5 i telleren og 5 i nevneren går mot hverandre, og da står 4⁄2 = 2 igjen. Spillet med den manglende faktoren trener tenkningen «hva ganger dette gir det», som ligger bak hver kontroll.

Omvendt brøk, fellesnevner eller målingsmodell

Tre metoder deler brøker riktig: ganging med den omvendte brøken er raskest, fellesnevnermetoden viser hvorfor svaret er riktig, og målingsmodellen tegner betydningen.

Hvilken metode du skal velge

Målingsmodellen kommer først for et barn som møter brøkdivisjon, fordi det å telle biter på en stav gjør svaret synlig. Bruk den med vennlige tall som 3 : 1⁄2 eller 2 : 1⁄3.

Metoden med omvendt brøk kommer sist, når barnet kan si hva divisjonen spør om. Fellesnevnermetoden er broen mellom de to, og det er den du tar fram når barnet spør «men hvorfor snur vi?»

Hvorfor behold, bytt, snu virker

Behold, bytt, snu virker fordi deling på en brøk gir samme svar som ganging med den omvendte brøken. Deling på 1⁄2 teller halve, hver hel rommer 2 halve, og derfor er deling på 1⁄2 det samme som ganging med 2.

Det samme gjelder 1⁄8: hver hel rommer 8 åttendeler, så deling på 1⁄8 er ganging med 8. For en divisor som 3⁄4 rommer hver hel 4 firedeler, og hver tredje av de firedelene blir én bit på 3⁄4, så deling på 3⁄4 er ganging med 4 og så deling på 3, altså ganging med 4⁄3.

Veilederen om brøk fra What Works Clearinghouse gjør dette til sin tredje anbefaling: hjelp elevene å forstå hvorfor framgangsmåtene for regning med brøk gir mening. Et barn som kjenner grunnen, kan bygge opp regelen igjen når regla er glemt.

Beviset med fellesnevner

Fellesnevnermetoden beviser regelen med biter av samme størrelse. Skriv 3⁄4 som 6⁄8, og regnestykket 3⁄4 : 1⁄8 blir 6⁄8 : 1⁄8, som spør hvor mange åttendeler det er i seks åttendeler. Svaret er 6.

Metoden med omvendt brøk når det samme tallet: 3⁄4 × 8⁄1 = 24⁄4 = 6. Å vise begge kjedene side om side, på én stav, er som regel øyeblikket da snuingen slutter å føles som et triks.

Metoden virker også med vanskeligere tall. For 2⁄3 : 3⁄4 skriver du begge med nevner 12: 8⁄12 : 9⁄12 = 8⁄9, det samme svaret som behold, bytt, snu ga. Guiden om brøk forklart for foreldre dekker de likeverdige brøkene dette steget bygger på.

Slik deler du brøker på hele tall, og hele tall på brøker

En brøk delt på et helt tall blir mindre, og et helt tall delt på en brøk mindre enn 1 blir større. Begge tilfellene bruker den samme regelen når det hele tallet er skrevet med nevner 1.

• Brøk : helt tall: 2⁄3 : 4 = 2⁄3 × 1⁄4 = 2⁄12 = 1⁄6. Deler fire personer 2⁄3 av en kake, får hver av dem 1⁄6 av kaka.
• Helt tall : brøk: 6 : 2⁄3 = 6⁄1 × 3⁄2 = 18⁄2 = 9. Ni biter på 2⁄3 får plass i 6.
• Blandet tall : blandet tall: 2 1⁄2 : 1 1⁄4 = 5⁄2 : 5⁄4 = 5⁄2 × 4⁄5 = 2. To biter på 1 1⁄4 blir 2 1⁄2.
• Brøk : brøk: 3⁄4 : 1⁄2 = 3⁄4 × 2⁄1 = 6⁄4 = 1 1⁄2. Halvannen halv får plass i 3⁄4.

Hva 5., 6. og 7. trinn forventer

I Norge skal eleven etter 5. trinn kunne beskrive brøk som en divisjon og utvikle strategier for regning med brøk, og etter 7. trinn bruke hensiktsmessige strategier i hoderegning og skriftlig regning med brøk. Divisjon med brøk dukker som regel opp på 6. og 7. trinn med enkle tall, og den generelle regelen sitter først på ungdomsskolen.

I USA tar femte skoleår bare de enkleste tilfellene. Common Core-standarden 5.NF.B.7 ber elevene dele stambrøker på hele tall og hele tall på stambrøker, med eksempler som 1⁄3 : 4 = 1⁄12 og 4 : 1⁄5 = 20, og en fotnote sier at brøk delt på brøk ikke kreves på det trinnet. Sjette skoleår legger til brøk delt på brøk gjennom 6.NS.A.1, med den generelle regelen (a⁄b) : (c⁄d) = ad⁄bc. England legger det første steget i Year 6: den engelske læreplanen i matematikk ber elevene dele ekte brøker på hele tall, med eksemplet 1⁄3 : 2 = 1⁄6.

Et barn på 5. trinn som møter 2⁄3 : 3⁄4, ligger et par år foran. Ferdighetene hvert trinn forventer, står på siden med mattespill for 5. trinn og siden med mattespill for 6. trinn.

Vanlige feil når du deler brøker

Fire feil står bak de fleste gale svarene i brøkdivisjon, og hver av dem har en rask løsning.

• Å snu den første brøken: 2⁄3 : 3⁄4 regnet som 3⁄2 × 3⁄4 gir 9⁄8. Bare divisoren snus, og riktig svar er 8⁄9.
• Å snu før det blandede tallet er gjort om: Et barn som gjør 1 1⁄4 om til 4 ved å snu 1⁄4 og droppe den hele, får 2 1⁄2 × 4 = 10. Gjør om til 5⁄4 først, så blir svaret 2.
• Å ikke forkorte: 20⁄10 er riktig, men ikke ferdig. Del teller og nevner på deres største felles faktor, 10, og du får 2.
• Å vente et mindre svar: Et barn som venter at divisjon gjør tall mindre, stoler ikke på 3 : 1⁄2 = 6. Spør hvor mange halve som får plass i 3, så gir 6 mening.

Deling på null ligger utenfor regelen: en brøk med 0 i telleren, som 0⁄5, er lik 0 og har ingen omvendt brøk, så ingenting kan deles på den.

Kontroller svaret ved å gange tilbake

Ganger du svaret med divisoren, må du få tilbake tallet du startet med, og den ene linjen fanger hver feil over. For 3⁄4 : 1⁄8 = 6 kontrollerer du 6 × 1⁄8 = 6⁄8 = 3⁄4.

For feilen der den første brøken ble snudd, slår kontrollen ut med en gang: 9⁄8 × 3⁄4 = 27⁄32, som ikke er 2⁄3. Den samme vanen med å kontrollere med motsatt regneart dukker opp i hvordan du regner prosent og i divisjon med desimaltall, som dekkes i desimaltall forklart for foreldre.

Gratis utskriftsarkDivisjon — 6.-klassingerArbeidsark · PDF

Sjekklisten din for å dele brøker

• Si hva divisjonen spør om: hvor mange ganger den andre mengden får plass i den første.
• Gjør om først: hele tall med nevner 1, blandede tall til uekte brøker.
• Behold, bytt, snu: behold den første brøken, bytt : med ×, snu bare den andre.
• Gang og forkort: teller × teller, nevner × nevner, og forkort så langt det går.
• Kontroller ved å gange tilbake: svaret ganger divisoren må bli tallet du startet med.

Sikre divisjons- og multiplikasjonsfakta med hele tall gjør hvert av de stegene raskere, siden hver forkorting er et divisjonsspørsmål. Spillet med divisjonsfakta spilles gratis i nettleseren uten innlogging, og det utskrivbare oppgavearket i divisjon for 6. trinn kommer med fasit.

Appen MathIt, gratis på iOS og Android, har adaptiv vanskegrad, så den daglige øvingen går opp et nivå først når de lettere faktaene kommer riktig ut.