Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud: zo vind je ze

Een werkblad over breuken vraagt naar het kleinste gemene veelvoud van 6 en 8, en de regel eronder naar de grootste gemene deler van 12 en 18. De twee termen klinken bijna hetzelfde en kinderen halen ze door elkaar. Allebei rusten ze op de priemfactoren van elk getal, en drie korte methoden vinden ze.

Wat zijn de grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud?

De grootste gemene deler (ggd) van twee getallen is het grootste getal dat in allebei past zonder rest, en het kleinste gemene veelvoud (kgv) is het kleinste getal waar ze allebei in passen. Voor 12 en 18 is de ggd 6 en het kgv 36.

De delers van 12 zijn 1, 2, 3, 4, 6 en 12, en de delers van 18 zijn 1, 2, 3, 6, 9 en 18. De gemeenschappelijke delers zijn 1, 2, 3 en 6, dus de grootste is 6.

De veelvouden van 12 zijn 12, 24, 36, 48, en de veelvouden van 18 zijn 18, 36, 54. Het eerste getal op beide lijstjes is 36, dus het kleinste gemene veelvoud is 36.

Delers en veelvouden: de twee woorden die je uit elkaar moet houden

Een deler van een getal gaat er zonder rest in, dus de delers van een getal zijn nooit groter dan het getal zelf. Een veelvoud is het getal keer 1, 2, 3 enzovoort, dus de veelvouden zijn nooit kleiner dan het getal en het lijstje houdt nooit op.

Standaard 4.OA.B.4 van de Amerikaanse Common Core legt die woorden vast in het vierde schooljaar, ongeveer groep 6, waar leerlingen "alle delerparen van een heel getal tussen 1 en 100 vinden" en "inzien dat een heel getal een veelvoud is van elk van zijn delers". De delerparen van 18 zijn 1 × 18, 2 × 9 en 3 × 6, en elk getal in die paren is een deler van 18.

Een kind dat "deler" en "veelvoud" uit elkaar houdt, heeft het grootste deel van de opgave met ggd en kgv al opgelost. Het spel met delerparen oefent het eerste woord en het spel met veelvouden het tweede.

Waarom ggd en kgv ertoe doen in groep 6 tot en met 8

In Nederland staan gemene veelvouden en delers in de kerndoelen voor de bovenbouw. De uitwerking van kerndoel 26 bij SLO noemt voor groep 7 en 8 "bijzondere getallen, zoals kwadraten, gemene veelvouden, delers en priemgetallen"; de afkortingen ggd en kgv en de vaste rekenmethoden komen meestal in de brugklas. Standaard 6.NS.B.4 van de Common Core maakt er in het zesde schooljaar, ruwweg groep 8, een benoemde vaardigheid van: leerlingen "vinden de grootste gemene deler van twee hele getallen tot en met 100 en het kleinste gemene veelvoud van twee hele getallen tot en met 12".

Dezelfde standaard koppelt de ggd aan de verdeelregel, met het voorbeeld "schrijf 36 + 8 als 4 (9 + 2)". De ggd van 36 en 8 is 4, dus 36 + 8 = 4 × 9 + 4 × 2 = 4 × (9 + 2) = 44.

Engeland spreidt de vaardigheid over meerdere jaren. Het nationale curriculum van Engeland vraagt leerlingen in Year 6, ongeveer groep 8, om "gemeenschappelijke delers, gemeenschappelijke veelvouden en priemgetallen te herkennen", en noemt de grootste gemene deler en het kleinste gemene veelvoud bij naam in de eerste jaren van het voortgezet onderwijs.

Wanneer je de ggd gebruikt en wanneer het kgv

De ggd beantwoordt "hoeveel gelijke groepjes kan ik maken", en het kgv beantwoordt "wanneer vallen twee telrijen samen". Een kind dat wil weten wat een redactiesom nodig heeft, kan beide vragen erop loslaten.

• Gelijke groepjes (ggd): 18 appels en 24 sinaasappels gaan in gelijke zakken zonder dat er iets overblijft. De ggd van 18 en 24 is 6, dus je krijgt 6 zakken, elk met 3 appels en 4 sinaasappels.
• Breuken vereenvoudigen (ggd): Teller en noemer van 18/24 delen door hun ggd, 6, geeft in één stap 3/4. De gids over breuken uitgelegd voor ouders gaat dieper in op gelijkwaardige breuken.
• Weer samen (kgv): De ene bus vertrekt elke 6 minuten en de andere elke 8 minuten, allebei om 9.00 uur. Het kgv van 6 en 8 is 24, dus de volgende keer vertrekken ze samen om 9.24 uur.
• Gelijknamig maken (kgv): Om 5/6 + 3/8 op te tellen, neem je het kgv van 6 en 8 als noemer: 5/6 = 20/24 en 3/8 = 9/24, dus de som is 29/24.

Gratis spelen in je browserVeelvouden-raceGroep 5–7

Hoe je het kleinste gemene veelvoud en de grootste gemene deler vindt, stap voor stap

Ontbinden in priemfactoren vindt het kleinste gemene veelvoud en de grootste gemene deler in één keer, en het werkt voor elk paar getallen. De stappen hieronder gebruiken 24 en 36.

1. Splits elk getal in priemgetallen. Bouw een factorboom of deel door het kleinste priemgetal dat past: 24 = 2 × 2 × 2 × 3 en 36 = 2 × 2 × 3 × 3. De gids over priemgetallen uitgelegd laat factorbomen stap voor stap zien.
2. Schrijf de factoren met machten. Neem de herhalingen samen: 24 = 2³ × 3 en 36 = 2² × 3². Met de machten worden de volgende twee stappen een kwestie van kleine getallen vergelijken.
3. Vind de ggd uit de gedeelde priemgetallen. Neem alleen de priemgetallen die beide getallen hebben, elk met de laagste macht: 2² × 3 = 4 × 3 = 12.
4. Vind het kgv uit alle priemgetallen. Neem elk priemgetal dat in een van beide getallen voorkomt, elk met de hoogste macht: 2³ × 3² = 8 × 9 = 72.
5. Controleer beide antwoorden. De ggd moet in beide getallen passen (24 : 12 = 2, 36 : 12 = 3), en beide getallen moeten in het kgv passen (72 : 24 = 3, 72 : 36 = 2).

Het hoofdstuk van OpenStax Prealgebra over ontbinden in priemfactoren en het kleinste gemene veelvoud beschrijft dezelfde methode, waarbij gedeelde priemgetallen één keer meetellen.

Gratis spelen in je browserFactorparenGroep 5–7

Waar het misgaat: laagste machten tegenover hoogste machten

De regel voor de machten is de stap die kinderen het vaakst omdraaien. De ggd neemt de laagste macht van elk gedeeld priemgetal, omdat een gemeenschappelijke deler niet meer tweeën kan gebruiken dan het getal met de minste tweeën heeft.

Het kgv neemt de hoogste macht van elk priemgetal, omdat een gemeen veelvoud alle tweeën moet bevatten van het getal met de meeste tweeën. Bij 24 en 36 heeft 24 drie tweeën, dus elk veelvoud van 24 heeft 2³ nodig, en 36 heeft twee drieën, dus elk veelvoud van 36 heeft 3² nodig.

Opsommen, ontbinden in priemfactoren of de laddermethode

Opsommen, ontbinden in priemfactoren en de laddermethode geven dezelfde ggd en hetzelfde kgv en verschillen in snelheid.

De laddermethode, uitgewerkt

De laddermethode deelt beide getallen door een priemgetal dat ze delen, schrijft de uitkomsten eronder en herhaalt dat tot het onderste paar geen gemeenschappelijke deler meer heeft behalve 1. Bij 24 en 36 deel je door 2 en krijg je 12 en 18, nog eens door 2 en krijg je 6 en 9, en door 3 en krijg je 2 en 3.

De delers aan de linkerkant vermenigvuldigd geven de ggd: 2 × 2 × 3 = 12. Het kgv is de ggd maal de getallen die op de onderste rij overblijven: 12 × 2 × 3 = 72.

De kortere weg: ggd × kgv

De grootste gemene deler maal het kleinste gemene veelvoud van twee getallen is altijd gelijk aan het product van die twee getallen. Voor 12 en 18 is de ggd 6 en het kgv 36, en 6 × 36 = 216 = 12 × 18.

De kortere weg maakt van het ene antwoord het andere. Zodra je de ggd kent, is het kgv a × b : ggd: voor 6 en 8 is de ggd 2, dus het kgv is 48 : 2 = 24.

Bij kleine getallen tel je de veelvouden van het grootste getal op tot het kleinste erin past: 8, 16, 24, en 6 past in 24. De gids over de tafels snel leren bouwt het paraat hebben op dat hiervoor nodig is.

Waarom de kortere weg werkt

De kortere weg werkt omdat de ggd en het kgv de priemfactoren van de twee getallen onder elkaar verdelen. Bij 12 = 2 × 2 × 3 en 18 = 2 × 3 × 3 neemt de ggd de gedeelde 2 en 3, en het kgv neemt de gedeelde 2 en 3 nog een keer, plus de extra 2 en 3.

De priemgetallen van 6 × 36 zijn 2, 3 en 2, 2, 3, 3, dezelfde zes priemgetallen als in 12 × 18.

De regel geldt alleen voor twee getallen. Bij drie getallen zoals 4, 6 en 8 is de ggd 2 en het kgv 24, en 2 × 24 = 48 ligt ver van 4 × 6 × 8 = 192.

Veelgemaakte fouten met ggd en kgv

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden op een werkblad over ggd en kgv, en elk heeft een oplossing van één regel.

• De twee door elkaar halen: Een ggd kan nooit groter zijn dan het kleinste getal, en een kgv nooit kleiner dan het grootste getal. Een antwoord van 36 voor de ggd van 12 en 18 zakt meteen voor die controle.
• Denken dat het kgv altijd a × b is: Vermenigvuldigen geeft een gemeen veelvoud, maar alleen het kleinste als de ggd 1 is, zoals bij 4 en 9 (kgv 36). Bij 6 en 8 is 6 × 8 = 48, terwijl het kgv 24 is.
• Het lijstje te vroeg stoppen: Wie 9, 18, 27 en 12, 24 opschrijft, ziet geen overeenkomst, en dat verleidt een kind om 9 × 12 = 108 te antwoorden. Eén stap verder op elk lijstje komt uit op 36, het kgv.
• 1 als priemgetal behandelen: Het getal 1 is niet priem, dus het komt nooit in een factorboom voor. 12 = 1 × 12 schrijven brengt de boom nergens, terwijl 12 = 2 × 6 hem op gang zet.

Twee randgevallen komen in groep 8 voorbij. Als het ene getal in het andere past, zoals bij 4 en 12, is de ggd het kleinste getal (4) en het kgv het grootste (12). Als twee getallen geen priemgetal delen, zoals 8 en 15, is de ggd 1 en het kgv 8 × 15 = 120.

Hoe je nagaat of je kind het doorheeft

Vijf korte vragen laten zien of ggd en kgv zijn ingedaald, en elk kost minder dan een minuut.

• De definities: Vraag wat de ggd en het kgv van twee getallen zijn, zonder voorbeeld. Beide antwoorden hebben het woord "allebei" nodig.
• Het bekende paar: Vraag naar het kgv van 6 en 8. Het antwoord is 24, en een antwoord van 48 verraadt de gewoonte a × b.
• Een redactiesom ingedeeld: Vraag of "18 appels en 24 sinaasappels in gelijke zakken" de ggd of het kgv nodig heeft. Het antwoord is de ggd, 6 zakken.
• Ontbinden in priemfactoren: Vraag naar de ggd en het kgv van 24 en 36 met factorbomen of de ladder. De antwoorden zijn 12 en 72.
• De controle: Vraag je kind de antwoorden te bewijzen door te delen: 12 past in 24 en 36, en 24 en 36 passen allebei in 72.

Het spel met de ontbrekende factor bouwt het paraat hebben van deelsommen op dat achter elk van die controles zit.

Je checklist voor ggd en kgv

• Zeg de definities: de ggd past in beide getallen, en beide getallen passen in het kgv.
• Controleer de grootte: de ggd is hoogstens het kleinste getal, en het kgv minstens het grootste.
• Kies de methode naar grootte: opsommen onder de 20, ontbinden in priemfactoren of de ladder daarboven.
• Gebruik de kortere weg: kgv = a × b : ggd bij twee getallen.
• Koppel de redactiesom: gelijke groepjes en vereenvoudigen vragen de ggd; samen vertrekken en gelijknamig maken vragen het kgv.

Dezelfde vaardigheden komen terug op de pagina's met rekenspellen voor groep 6 en rekenspellen voor groep 8, die de spellen met delers en veelvouden per groep laten zien.

De gratis app van MathIt voor iOS en Android heeft ongeveer 90 speltypen met een moeilijkheid die zich aanpast, dus het oefenen met delers en veelvouden wordt pas lastiger als de makkelijkere paren goed gaan, en 22 van de spellen spelen gratis in de browser zonder account.