Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum: como encontrar os dois

A lição de frações pede o MMC de 6 e 8, e a linha seguinte pede o MDC de 12 e 18. As duas siglas são parecidas e as crianças trocam uma pela outra. As duas se apoiam nos fatores primos de cada número, e três métodos curtos encontram as respostas.

O que são o MDC e o MMC?

O máximo divisor comum (MDC) de dois números é o maior número que divide os dois sem resto, e o mínimo múltiplo comum (MMC) é o menor número que é múltiplo dos dois. Para 12 e 18, o MDC é 6 e o MMC é 36.

Os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12, e os divisores de 18 são 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Os divisores comuns são 1, 2, 3 e 6, então o maior é 6.

Os múltiplos de 12 são 12, 24, 36, 48, e os múltiplos de 18 são 18, 36, 54. O primeiro número das duas listas é 36, então o mínimo múltiplo comum é 36.

Divisores e múltiplos: as duas palavras que precisam ficar claras

Um divisor de um número o divide sem resto, então os divisores de um número nunca são maiores que o próprio número. Um múltiplo é o número vezes 1, 2, 3 e assim por diante, então os múltiplos nunca são menores que o número e a lista não termina.

No Brasil, a BNCC fixa esse vocabulário no 6º ano, ao pedir relações "expressas pelos termos 'é múltiplo de', 'é divisor de', 'é fator de'" e os critérios de divisibilidade (EF06MA05). Nos Estados Unidos, o padrão 4.OA.B.4 do Common Core já pede no 4º ano todos os pares de fatores de um número de 1 a 100. Os pares de 18 são 1 × 18, 2 × 9 e 3 × 6, e todo número desses pares é divisor de 18.

A criança que separa bem "divisor" de "múltiplo" já resolveu boa parte do problema do MMC e do MDC. O jogo dos pares de fatores treina a primeira palavra e o jogo dos múltiplos treina a segunda.

Por que MMC e MDC importam do 5º ao 7º ano

No Brasil, as ideias de múltiplo e divisor entram nos problemas do 6º ano (EF06MA06), e a BNCC cita o MDC e o MMC pelo nome no 7º ano, em problemas "podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum" (EF07MA01). Na prática, a maioria das coleções didáticas ensina o cálculo do MMC e do MDC já no 6º ano, junto com a soma de frações. Nos Estados Unidos, o padrão 6.NS.B.4 do Common Core pede no 6º ano o MDC de dois números até 100 e o MMC de dois números até 12.

O mesmo padrão liga o MDC à propriedade distributiva, com o exemplo de escrever 36 + 8 como 4 (9 + 2). O MDC de 36 e 8 é 4, então 36 + 8 = 4 × 9 + 4 × 2 = 4 × (9 + 2) = 44.

A Inglaterra espalha a habilidade por vários anos. O currículo nacional de matemática da Inglaterra pede no Year 6 identificar divisores comuns, múltiplos comuns e números primos, e nomeia o MDC e o MMC no key stage 3.

Quando usar o MDC e quando usar o MMC

O MDC responde "quantos grupos iguais consigo formar", e o MMC responde "quando duas contagens coincidem". A criança que pergunta qual dos dois um problema pede pode testar as duas perguntas nele.

• Grupos iguais (MDC): 18 maçãs e 24 laranjas vão em sacolas idênticas, sem sobrar nada. O MDC de 18 e 24 é 6, então são 6 sacolas, cada uma com 3 maçãs e 4 laranjas.
• Simplificar frações (MDC): Dividir o numerador e o denominador de 18/24 pelo MDC, 6, dá 3/4 de uma vez. O guia de frações explicadas para pais trata das frações equivalentes com mais calma.
• Coincidir de novo (MMC): Um ônibus sai a cada 6 minutos e outro a cada 8 minutos, os dois às 9h00. O MMC de 6 e 8 é 24, então os dois saem juntos de novo às 9h24.
• Denominadores comuns (MMC): Para somar 5/6 + 3/8, use o MMC de 6 e 8 como denominador: 5/6 = 20/24 e 3/8 = 9/24, então a soma é 29/24.

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Como calcular o MMC e o MDC, passo a passo

A decomposição em fatores primos acha o MMC e o MDC numa passada só, e funciona para qualquer par de números. Os passos abaixo usam 24 e 36.

1. Decomponha cada número em primos. Monte uma árvore de fatores ou divida pelo menor primo que couber: 24 = 2 × 2 × 2 × 3 e 36 = 2 × 2 × 3 × 3. O guia de números primos explicados mostra as árvores de fatores passo a passo.
2. Escreva os fatores como potências. Agrupe as repetições: 24 = 2³ × 3 e 36 = 2² × 3². As potências fazem dos dois passos seguintes uma comparação de números pequenos.
3. Ache o MDC pelos primos comuns. Pegue só os primos que os dois números têm, cada um com o menor expoente: 2² × 3 = 4 × 3 = 12.
4. Ache o MMC por todos os primos. Pegue todo primo que aparece em qualquer um dos números, cada um com o maior expoente: 2³ × 3² = 8 × 9 = 72.
5. Confira as duas respostas. O MDC tem de dividir os dois números (24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3), e os dois números têm de dividir o MMC (72 ÷ 24 = 3, 72 ÷ 36 = 2).

O capítulo da OpenStax Prealgebra sobre decomposição em primos e o mínimo múltiplo comum apresenta o mesmo método, contando os primos comuns uma vez só.

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O que as pessoas erram: menores expoentes ou maiores expoentes

A regra dos expoentes é o passo que as crianças mais trocam. O MDC pega o menor expoente de cada primo comum, porque um divisor comum não pode usar mais fatores 2 do que o número que tem menos fatores 2.

O MMC pega o maior expoente de cada primo, porque um múltiplo comum precisa conter todos os fatores 2 do número que tem mais deles. Para 24 e 36, o 24 tem três fatores 2, então todo múltiplo de 24 precisa de 2³, e o 36 tem dois fatores 3, então todo múltiplo de 36 precisa de 3².

Listagem, decomposição em primos ou fatoração simultânea

A listagem, a decomposição em primos e a fatoração simultânea dão o mesmo MDC e o mesmo MMC e diferem na rapidez.

A fatoração simultânea, resolvida

Na versão em escada, você divide os dois números por um primo que os dois têm, escreve os quocientes embaixo e repete até o par de baixo não ter fator comum além de 1. Para 24 e 36, divida por 2 para chegar a 12 e 18, por 2 de novo para 6 e 9, e por 3 para 2 e 3.

Os divisores da coluna da esquerda se multiplicam no MDC: 2 × 2 × 3 = 12. O MMC é o MDC vezes os números que sobraram na última linha: 12 × 2 × 3 = 72. Muitas escolas brasileiras usam a variante em que se continua dividindo até os dois números virarem 1, mesmo quando o primo só divide um deles; o produto de todos os divisores dá o MMC, e o produto dos que dividiram os dois ao mesmo tempo dá o MDC.

O atalho MDC × MMC

O produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum de dois números é sempre igual ao produto dos dois números. Para 12 e 18, o MDC é 6 e o MMC é 36, e 6 × 36 = 216 = 12 × 18.

O atalho transforma uma resposta na outra. Sabendo o MDC, o MMC é a × b ÷ MDC: para 6 e 8 o MDC é 2, então o MMC é 48 ÷ 2 = 24.

Com números pequenos, vá contando os múltiplos do maior número até o menor dividi-lo: 8, 16, 24, e 6 divide 24. O guia de como aprender a tabuada rápido constrói a lembrança que isso exige.

Por que o atalho funciona

O atalho funciona porque o MDC e o MMC repartem entre si os fatores primos dos dois números. Para 12 = 2 × 2 × 3 e 18 = 2 × 3 × 3, o MDC fica com o 2 e o 3 comuns, e o MMC fica de novo com o 2 e o 3 comuns, mais o 2 e o 3 que sobram.

Os primos de 6 × 36 são 2, 3 e 2, 2, 3, 3, os mesmos seis primos de 12 × 18.

A regra só vale para dois números. Para três números, como 4, 6 e 8, o MDC é 2 e o MMC é 24, e 2 × 24 = 48 fica longe de 4 × 6 × 8 = 192.

Erros comuns com MMC e MDC

Quatro erros causam a maior parte das respostas erradas numa lista de MMC e MDC, e cada um tem um conserto de uma linha.

• Trocar um pelo outro: O MDC nunca pode ser maior que o menor número, e o MMC nunca pode ser menor que o maior. Uma resposta de 36 para o MDC de 12 e 18 falha nessa conferência na hora.
• Achar que o MMC é sempre a × b: Multiplicar dá um múltiplo comum, mas só dá o menor quando o MDC é 1, como em 4 e 9 (MMC 36). Para 6 e 8, 6 × 8 = 48, enquanto o MMC é 24.
• Parar a lista cedo demais: Listar 9, 18, 27 e 12, 24 não mostra coincidência, o que tenta a criança a responder 9 × 12 = 108. Mais um passo em cada lista chega a 36, o MMC.
• Tratar o 1 como primo: O número 1 não é primo, então nunca aparece numa árvore de fatores. Escrever 12 = 1 × 12 não leva a árvore a lugar nenhum, enquanto 12 = 2 × 6 a começa.

Dois casos especiais aparecem no 6º ano. Quando um número divide o outro, como 4 e 12, o MDC é o menor (4) e o MMC é o maior (12). Quando dois números não têm primo em comum, como 8 e 15, eles são primos entre si: o MDC é 1 e o MMC é 8 × 15 = 120.

Como saber se seu filho entendeu

Cinco perguntas rápidas mostram se o MMC e o MDC foram entendidos, e cada uma leva menos de um minuto.

• As definições: Pergunte o que são o MDC e o MMC de dois números, sem exemplo. As duas respostas precisam da palavra "os dois".
• O par famoso: Peça o MMC de 6 e 8. A resposta é 24, e uma resposta de 48 mostra o hábito do a × b.
• Um problema classificado: Pergunte se "18 maçãs e 24 laranjas em sacolas idênticas" pede o MDC ou o MMC. A resposta é o MDC, 6 sacolas.
• Decomposição em primos: Peça o MDC e o MMC de 24 e 36 pela árvore de fatores ou pela fatoração simultânea. As respostas são 12 e 72.
• A conferência: Peça que seu filho prove as respostas dividindo: 12 divide 24 e 36, e 24 e 36 dividem 72.

O jogo do fator que falta constrói a lembrança da divisão por trás de cada uma dessas conferências.

Sua lista de conferência de MMC e MDC

• Diga as definições: o MDC divide os dois números, e os dois números dividem o MMC.
• Confira o tamanho da resposta: o MDC é no máximo o menor número, e o MMC é no mínimo o maior.
• Escolha o método pelo tamanho: listagem abaixo de 20, decomposição em primos ou fatoração simultânea acima disso.
• Use o atalho: MMC = a × b ÷ MDC para dois números.
• Classifique o problema: grupos iguais e simplificação usam o MDC; encontros no tempo e denominadores comuns usam o MMC.

As mesmas habilidades aparecem nas páginas por ano, nos jogos de matemática para o 4º ano e nos jogos de matemática para o 6º ano, que listam os jogos de divisores e múltiplos por ano.

O app gratuito do MathIt para iOS e Android tem cerca de 90 tipos de jogo com dificuldade adaptativa, então o treino de divisores e múltiplos só fica mais difícil depois que os pares mais fáceis saem certos, e 22 dos jogos rodam de graça no navegador, sem cadastro.