Asal sayılar: nasıl tanınır, neden önemlidir

Çocuğunuz eve hangi sayıların asal olduğunu soran bir çalışma kâğıdı getiriyor, 9 ile 51'i yuvarlak içine alıyor, 2'yi ise boş bırakıyor. Asal sayılar 91 gibi bir sayı çıkana kadar apaçık görünür; sonra tahmin başlar. Asal sayının arkasında tek bir kural ve 100'ün altındaki her sayıyı yaklaşık bir dakikada bitiren kısa bir test vardır.

Asal sayı nedir?

Asal sayı, 1'den büyük olan ve bölenleri yalnızca 1 ile kendisi olan doğal sayıdır. Bileşik sayının en az bir böleni daha vardır; bu da onun birden çok şekilde eş gruplara ayrılmasına imkân verir.

Sayma pulları bunu görünür kılar: yedi pul yalnızca 7'lik tek bir sıra olur, on iki pul ise 1 × 12, 2 × 6 ve 3 × 4 dizilişlerini verir.

50'den küçük asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 ve 47'dir. On beş sayı; çarpım tablosu gibi görür görmez tanınmayı hak eder.

2, tek çift asal sayıdır. Diğer her çift sayının 1 ve kendisinin yanında bir de 2 böleni vardır; bu üçüncü bölen onu bileşik yapar.

1 neden asal sayı değildir?

1 sayısı ne asal ne de bileşiktir, çünkü tek bir böleni vardır. Tanım tam olarak iki farklı bölen ister, 1 ise bir tane verir.

Matematikçiler 1'i bilerek dışarıda bırakır. 1'den büyük her doğal sayı, asal sayıların çarpımı biçiminde tam olarak tek bir şekilde yazılır; bu sonuca aritmetiğin temel teoremi denir. 1 asal sayılsaydı 12 sayısı 2 × 2 × 3, 1 × 2 × 2 × 3 ya da 1 × 1 × 2 × 2 × 3 diye yazılabilir, "tek bir şekilde" sözü anlamını yitirirdi.

Soran çocuğa verilecek cevap budur: asal çarpanlara ayırma tek kalsın diye 1 listeye alınmaz.

Asal sayılar okulda ve okul dışında neden önemli?

Asal sayılar, ilkokul ve ortaokul programının bütün çarpan dizisini taşır. MEB'in Matematik Dersi Öğretim Programı konuyu 6. sınıfa koyar: M.6.1.2.3 öğrencinin "asal sayıları özellikleriyle" belirlemesini ister ve açıklamasında 100'e kadar asal sayıların Eratosten kalburu yardımıyla bulunmasını söyler. Hemen ardından gelen M.6.1.2.4 ise doğal sayıların asal çarpanlarını belirlemeyi getirir.

ABD'de aynı içerik bir iki yıl erken gelir: Common Core 4.OA.B.4 standardı dördüncü sınıf öğrencisinden 1–100 aralığındaki bir sayının bütün çarpan çiftlerini bulmasını ve sayının asal mı bileşik mi olduğuna karar vermesini ister. İngiltere konuyu 5. yıla koyar: İngiltere ulusal matematik programı öğrencilerin 100'e kadar bir sayının asal olup olmadığını belirlemesini ve 19'a kadar asal sayıları ezbere bilmesini bekler.

Okulun dışında asal sayılar, bir internet ödemesinin gizli kalmasının sebebidir. Açık anahtarlı şifreleme çok büyük iki asal sayıyı çarpar ve çarpımı yayımlar; güvenlik, o çarpımı tekrar parçalara ayırmanın ne kadar zor olduğuna dayanır.

Çarpanlar ve kesirlerle bağlantısı

Asal çarpanlara ayırma, bir kesri en sade biçimine indiren araçtır; kesir çalışmasından önce gelmesinin sebebi budur. 84/126 kesrini sadeleştirmek için iki sayıyı da asal çarpanlarına ayırın: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 ve 126 = 2 × 3 × 3 × 7. Ortak çarpanlar 2 × 3 × 7 = 42 verir; 84 ÷ 42 = 2, 126 ÷ 42 = 3 ve 84/126 = 2/3.

Common Core 6.NS.B.4 standardı bu işi altıncı sınıfta açıkça ister: öğrenciler 100'den küçük veya 100'e eşit iki doğal sayının en büyük ortak bölenini ve 12'den küçük veya 12'ye eşit iki doğal sayının en küçük ortak katını bulur. Katlar oyunu aynı ilişkiyi ters yönden çalıştırır: verilen bir çarpanın hangi sayılara ulaştığını sorar.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınKatlar Yarışı3–5. sınıf

Bir sayının asal olup olmadığı adım adım nasıl sınanır?

100'ün altındaki bir sayı, 2, 3, 5 ve 7'den hiçbiri onu tam bölmüyorsa asaldır. Bu dört kontrol 120'ye kadar her şeyi kapsar, çünkü sonraki asal olan 11 ilk kez 11 × 11 = 121'de ısırır.

1. Önce 0, 1 ve 2'yi bitirin. 0 ile 1 ne asal ne de bileşiktir, 2 asaldır ve 3'ten sonra her çift sayı bileşiktir.
2. 2'ye bölün. nrich bölünebilme kuralları sayfasının dediği gibi, son rakamı çift olan her sayı 2'ye bölünür; yani 0, 2, 4, 6 veya 8 ile biten her sayı elenir.
3. 3'e bölün. Rakamları toplayın: toplam 3'ün katıysa sayı da 3'ün katıdır. 51'de rakam toplamı 6'dır ve 51 = 3 × 17; 57'de 12'dir ve 57 = 3 × 19.
4. 5'e bölün. Son rakamı 0 ya da 5 olan sayı 5'e bölünür; bu tek bakışlık bir kontroldür.
5. 7'ye, 120'nin üstünde 11'e bölün. İkisinin de tek bakışta işleyen kuralı yoktur; bölme işlemini yapın ve sonucun tam olup olmadığına bakın. 91'i yakalayan adım budur, çünkü 91 ÷ 7 = 13.
6. Karekökte durun. Denenen bölen kendisiyle çarpıldığında sayıyı geçtiğinde bulunacak bölen kalmamıştır ve sayı asaldır.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınÇarpan Çiftleri3–5. sınıf

Nerede durmalı: karekök

Karekök kuralı testi kısa tutar: bir sayının asal olduğunu kanıtlamak için yalnızca kareköküne kadar olan bölenleri denemeniz yeter. Bir sayının kökünden büyük bir çarpanı varsa, o çiftteki diğer çarpan daha küçüktür; onunla zaten karşılaşmış olurdunuz.

97'yi ele alalım: 10 × 10 = 100 sayıyı geçtiği için kontroller 10'un altında biter ve geriye 2, 3, 5 ile 7 kalır. Hiçbiri 97'yi bölmez, dolayısıyla 97 asaldır. Kare sayılar oyunu her karenin nerede durduğuna dair sezgiyi kurar.

Asal sayı bulmanın üç yolu: deneme bölmesi, Eratosten kalburu ve çarpan çiftleri

Asal sayıları bulan üç yöntem vardır: deneme bölmesi tek bir sayıya karar verir, kalbur bütün bir liste üretir, çarpan çiftleri ise bileşik bir sayının neden bileşik olduğunu gösterir.

Hangi yöntemi seçmeli

Çocuğun 100'e kadar bütün asal sayılara ihtiyacı varsa Eratosten kalburu kazanır, çünkü tek geçiş 25'inin hepsini üretir. 1'den 100'e kadar sayıları on çarpı onluk bir tabloya yazın, 1'i çizin, sonra 2'yi yuvarlak içine alıp 2'nin diğer bütün katlarını çizin. 3'ü yuvarlak içine alıp katlarını çizin, aynısını 5 ve 7 için yapın.

Yüzlük tabloda 2, 3, 5 ve 7'nin katlarını çizmek yeter, çünkü sonraki asal olan 11, çizilmemiş bir sayıya ilk kez 11 × 11 = 121'de ulaşır. Ayakta kalan her sayı asaldır.

Çarpan çiftleri, tanımı bilen ama ona dair sezgisi olmayan çocuğa uyar. Çarpan çiftleri oyunu bu yöntemi işler; 1 × 24'ün yanında 4 × 6'yı görmek, 24'ün bileşik olduğunu duymaktan fazlasını yapar.

Asal çarpanlara ayırma, çözümlü

Asal çarpanlara ayırma, bir sayıyı asal sayıların çarpımı olarak yazar ve 1'den büyük her doğal sayının böyle tam olarak tek bir çarpımı vardır. 84 için bu çarpım, hangi yoldan gidilirse gidilsin, 2 × 2 × 3 × 7'dir.

Birinci yol, uyan en küçük asala tekrar tekrar bölmektir: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7 ve 7 asaldır. Bölenleri okumak 2 × 2 × 3 × 7 verir; bu çoğu zaman 2² × 3 × 7 diye yazılır.

Daha büyük bir sayı da aynı şekilde davranır: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5; yani 360 = 2³ × 3² × 5.

Çarpan ağaçları

Çarpan ağacı bir sayıyı herhangi iki çarpana ayırır, sonra onları ayırır; her dal bir asal sayıda bitene kadar sürer. 84'e 4 × 21 diye başlamak 4 = 2 × 2 ve 21 = 3 × 7 verir, dal uçları 2, 2, 3, 7 okunur.

Aynı 84'e 12 × 7 diye başlamak 12 = 3 × 4 ve 4 = 2 × 2 verir, dal uçları yine 2, 2, 3, 7 okunur. Ağacın biçimi değişir, asal sayılar değişmez; bu, aritmetiğin temel teoreminin kâğıda çizilmiş hâlidir. Çocuğunuzdan iki ağacı da kurmasını isteyin; iki listenin eşleştiği an, fikrin yerine oturduğu andır.

Çocuğunuzun kavradığını nasıl anlarsınız?

Asal sayıların yerine oturup oturmadığını beş işaret gösterir ve her biri bir dakikadan kısa sürer.

• Tanımı sesli söylemek: Örnek vermeden asal sayının ne olduğunu sorun. "Tam olarak iki bölen, 1 ve kendisi" doğru cevaptır; "bölünemeyen sayı" değildir.
• İstisnayı adlandırmak: Bir çift sayının asal olup olamayacağını sorun. Cevap 2'dir, yalnızca 2.
• 50'ye kadar asallar, 30 saniyede: Sırayla isteyin. 2'den 47'ye on beş sayı; 1 yok, 9 yok.
• Zor bir sayı, gerekçesiyle: 91'i verin, kararını ve işlemini isteyin. "7 × 13, yani bileşik" diyen çocukta yöntem vardır; "asal" diyen çocuk örüntüye bakarak tahmin ediyordur.
• Doğrulanan bir çarpanlara ayırma: 60'ın asal çarpanlarını, sonra çarpımı geri isteyin. 2 × 2 × 3 × 5 = 60 cevabı becerinin iki yönünü birden gösterir.

Beş dakikalık kontrol

Beş dakikalık bir kontrol uzun bir sınavı yener. Matematikte zorlanan öğrencilere yardım üzerine What Works Clearinghouse uygulama kılavuzu, öğretmenlere matematikte akıcılığı geliştirmenin yollarından biri olarak süreli etkinliklere düzenli yer vermelerini öneriyor.

Aynı kılavuz öğretmenlerden açık ve derli toplu bir matematik dili kullanmalarını istiyor; burada bu, dört sözcüğün yerli yerinde kullanılması demek: asal, bileşik, çarpan ve kat. Çarpan ile katı karıştıran çocuk akıl yürütmede değil, terimlerde düşer.

Bölme işlemi oyunu, yöntemin dayandığı hatırlamayı besler; çünkü her bölünebilme kontrolü bir bölme sorusudur.

Sık yapılan asal sayı hataları ve sınır durumlar

Bir asal sayı çalışma kâğıdındaki yanlış cevapların çoğunu altı hata doğurur ve her birinin tek satırlık bir düzeltmesi vardır.

• 1'i asal işaretlemek: 1'in tek bir böleni vardır, "tam olarak iki" kuralını geçemez; ne asal ne de bileşiktir.
• 2'yi bileşik işaretlemek: 2 tek çift asal sayıdır ve "çift sayı bileşiktir" diye öğrenmiş çocuğun bu istisnayı sayfanın başına yazması gerekir.
• 0'ı denemek: 0 ne asal ne de bileşiktir, çünkü 0'dan büyük her doğal sayı onu böler.
• 9 ile 21'e asal demek: Tek olmak asal olmak demek değildir; 9 = 3 × 3 ve 21 = 3 × 7.
• 51 ile 57'ye asal demek: İkisi de 3 için rakam toplamı kontrolünde düşer; 51 = 3 × 17 ve 57 = 3 × 19.
• 91'e asal demek: 91 sayısı 2, 3 ve 5'i geçer; 5'te biten bir test onu asal ilan eder. 7'ye bölmek 13 verir ve 91 = 7 × 13.

Negatif sayılar ile kesirler sorunun dışında kalır, çünkü asal ve bileşik kavramları 1'den büyük doğal sayılar için tanımlanmıştır.

Asal sayılar kontrol listeniz

• Tanımı söyleyin: tam olarak iki bölen, 1 ve kendisi.
• 2'yi bilin: tek çift asal ve her listeyi yarıya indiren istisna.
• Kontrolleri sırayla yapın: 2, 3, 5, 7; 120'nin üstünde 11.
• Karekökte durun: bölen kendisiyle çarpıldığında sayıyı geçtiğinde sayı asaldır.
• Cevabı kontrol edin: asal çarpanları geri çarpın ve başladığınız sayıyla karşılaştırın.

Son iki satırı, anlatmaktan çok alıştırma düzeltir. 4. sınıflar için yazdırılabilir çarpma çalışma sayfası cevap anahtarıyla gelir; çarpım tablosu hızlı nasıl öğrenilir rehberi ise her bölünebilme kontrolünün arkasındaki hatırlamayı ele alır. Hangi sınıfta hangi matematik konuları var yazısı da asal sayıların programda nereye düştüğünü gösterir.

MathIt'in ücretsiz iOS ve Android uygulamasında uyarlanabilir zorluk vardır; çarpan alıştırmaları ancak kolay sayılar doğru çıktıktan sonra zorlaşır ve yaklaşık 90 oyun türünden 22'si tarayıcıda üyeliksiz ve ücretsiz oynanır.