Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność: jak je znaleźć

Karta pracy z ułamków prosi o najmniejszą wspólną wielokrotność 6 i 8, a następna linijka o największy wspólny dzielnik 12 i 18. Te dwa pojęcia brzmią podobnie i dzieci je mylą. Oba opierają się na czynnikach pierwszych każdej liczby, a trzy krótkie metody pozwalają je znaleźć.

Co to jest NWD i NWW?

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb to największa liczba, przez którą obie dzielą się bez reszty, a najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) to najmniejsza liczba, która dzieli się przez obie. Dla 12 i 18 NWD to 6, a NWW to 36.

Dzielniki 12 to 1, 2, 3, 4, 6 i 12, a dzielniki 18 to 1, 2, 3, 6, 9 i 18. Wspólne dzielniki to 1, 2, 3 i 6, więc największy to 6.

Wielokrotności 12 to 12, 24, 36, 48, a wielokrotności 18 to 18, 36, 54. Pierwsza liczba na obu listach to 36, więc najmniejsza wspólna wielokrotność to 36.

Dzielniki i wielokrotności: dwa słowa, których nie wolno pomylić

Dzielnik liczby dzieli ją bez reszty, więc dzielniki liczby nigdy nie są od niej większe. Wielokrotność to liczba pomnożona przez 1, 2, 3 i tak dalej, więc wielokrotności nigdy nie są mniejsze od liczby, a ich lista nie ma końca.

Amerykański standard Common Core 4.OA.B.4 buduje to słownictwo w klasie 4, gdzie uczniowie znajdują wszystkie pary dzielników liczby od 1 do 100 i rozpoznają, że liczba jest wielokrotnością każdego ze swoich dzielników. Pary dzielników 18 to 1 × 18, 2 × 9 i 3 × 6, a każda liczba z tych par jest dzielnikiem 18.

Dziecko, które nie myli „dzielnika” z „wielokrotnością”, ma rozwiązaną większość problemu z NWD i NWW. Gra z parami dzielników ćwiczy pierwsze słowo, a gra z wielokrotnościami drugie.

Po co NWD i NWW w klasach 4–6

Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność stają się w Polsce nazwaną umiejętnością w klasach 4–6. Podstawa programowa matematyki dla szkoły podstawowej wymaga, żeby uczeń „znajduje największy wspólny dzielnik (NWD) i najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) dwóch liczb naturalnych co najwyżej trzycyfrowych metodą rozkładu na czynniki”, a w praktyce przypada to zwykle na klasę 5 lub 6. Amerykański standard Common Core 6.NS.B.4 robi to w klasie 6, ograniczając NWD do liczb nie większych niż 100, a NWW do liczb nie większych niż 12.

Ten sam standard łączy NWD z rozdzielnością mnożenia względem dodawania, z przykładem zapisania 36 + 8 jako 4 (9 + 2). NWD(36, 8) to 4, więc 36 + 8 = 4 × 9 + 4 × 2 = 4 × (9 + 2) = 44.

Anglia rozkłada tę umiejętność na kilka lat. Angielski program nauczania matematyki prosi w Year 6 o rozpoznawanie wspólnych dzielników, wspólnych wielokrotności i liczb pierwszych, a obie nazwy wprowadza dopiero na kolejnym etapie, w key stage 3.

Kiedy używać NWD, a kiedy NWW

NWD odpowiada na pytanie „ile równych grup mogę zrobić”, a NWW na pytanie „kiedy dwa liczenia się spotkają”. Dziecko, które nie wie, czego potrzebuje zadanie tekstowe, może przyłożyć do niego oba pytania.

• Równe grupy (NWD): 18 jabłek i 24 pomarańcze trzeba rozłożyć do jednakowych torebek bez reszty. NWD(18, 24) to 6, więc wychodzi 6 torebek, w każdej 3 jabłka i 4 pomarańcze.
• Skracanie ułamków (NWD): Podzielenie licznika i mianownika 18/24 przez ich NWD, czyli 6, daje 3/4 w jednym kroku. Poradnik ułamki wyjaśnione dla rodziców omawia rozszerzanie i skracanie dokładniej.
• Ponowne spotkanie (NWW): Jeden autobus odjeżdża co 6 minut, a drugi co 8 minut, oba o 9.00. NWW(6, 8) to 24, więc następny raz odjadą razem o 9.24.
• Wspólny mianownik (NWW): Żeby dodać 5/6 + 3/8, użyj NWW liczb 6 i 8 jako mianownika: 5/6 = 20/24 i 3/8 = 9/24, więc suma to 29/24.

Zagraj za darmo w przeglądarceWyścig wielokrotnościKlasa 3–5

Jak obliczyć NWW i NWD krok po kroku

Rozkład na czynniki pierwsze znajduje najmniejszą wspólną wielokrotność i największy wspólny dzielnik za jednym razem i działa dla każdej pary liczb. Kroki poniżej używają 24 i 36.

1. Rozłóż każdą liczbę na czynniki pierwsze. W polskiej szkole robi się to pod pionową kreską, dzieląc przez najmniejszą pasującą liczbę pierwszą, a drzewko czynników daje to samo: 24 = 2 × 2 × 2 × 3 i 36 = 2 × 2 × 3 × 3. Artykuł liczby pierwsze wyjaśnione pokazuje rozkład krok po kroku.
2. Zapisz czynniki z potęgami. Pogrupuj powtórzenia: 24 = 2³ × 3 i 36 = 2² × 3². Potęgi sprowadzają dwa następne kroki do porównania małych liczb.
3. Znajdź NWD ze wspólnych czynników. Weź tylko czynniki, które mają obie liczby, każdy w niższej potędze: 2² × 3 = 4 × 3 = 12.
4. Znajdź NWW ze wszystkich czynników. Weź każdy czynnik, który pojawia się w którejkolwiek liczbie, w wyższej potędze: 2³ × 3² = 8 × 9 = 72.
5. Sprawdź oba wyniki. NWD musi dzielić obie liczby (24 : 12 = 2, 36 : 12 = 3), a obie liczby muszą dzielić NWW (72 : 24 = 3, 72 : 36 = 2).

Rozdział podręcznika OpenStax Prealgebra o rozkładzie na czynniki pierwsze i najmniejszej wspólnej wielokrotności opisuje tę samą metodę, w której wspólne czynniki liczy się raz.

Zagraj za darmo w przeglądarcePary czynnikówKlasa 3–5

Gdzie ludzie się mylą: najniższe czy najwyższe potęgi

Reguła potęg to krok, który dzieci najczęściej zamieniają. NWD bierze najniższą potęgę każdego wspólnego czynnika, bo wspólny dzielnik nie może mieć więcej dwójek niż liczba, która ma ich mniej.

NWW bierze najwyższą potęgę każdego czynnika, bo wspólna wielokrotność musi zawierać wszystkie dwójki liczby, która ma ich najwięcej. Dla 24 i 36: 24 ma trzy dwójki, więc każda wielokrotność 24 potrzebuje 2³, a 36 ma dwie trójki, więc każda wielokrotność 36 potrzebuje 3².

Wypisywanie, rozkład na czynniki czy wspólne dzielenie

Wypisywanie, rozkład na czynniki pierwsze i wspólne dzielenie obu liczb dają te same NWD i NWW, a różnią się szybkością.

Wspólne dzielenie krok po kroku

Wspólne dzielenie dzieli obie liczby przez czynnik pierwszy, który mają obie, zapisuje ilorazy pod spodem i powtarza, aż w dolnej parze nie zostanie wspólny dzielnik poza 1. Dla 24 i 36 podziel przez 2, żeby dostać 12 i 18, znowu przez 2, żeby dostać 6 i 9, i przez 3, żeby dostać 2 i 3.

Dzielniki po lewej stronie mnożą się w NWD: 2 × 2 × 3 = 12. NWW to NWD razy liczby, które zostały w dolnym wierszu: 12 × 2 × 3 = 72.

Skrót NWD × NWW

Iloczyn największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch liczb zawsze równa się iloczynowi tych liczb. Dla 12 i 18 NWD to 6, a NWW to 36, i 6 × 36 = 216 = 12 × 18.

Skrót zamienia jeden wynik w drugi. Gdy znasz NWD, NWW to a × b : NWD: dla 6 i 8 NWD to 2, więc NWW to 48 : 2 = 24.

Przy małych liczbach wypisuj wielokrotności większej liczby, aż mniejsza ją podzieli: 8, 16, 24, a 6 dzieli 24. Poradnik jak szybko nauczyć się tabliczki mnożenia buduje przypominanie, którego to wymaga.

Dlaczego skrót działa

Skrót działa, bo NWD i NWW dzielą między siebie czynniki pierwsze obu liczb. Dla 12 = 2 × 2 × 3 i 18 = 2 × 3 × 3 NWD bierze wspólne 2 i 3, a NWW znowu wspólne 2 i 3 oraz dodatkowe 2 i 3.

Czynniki pierwsze 6 × 36 to 2, 3 oraz 2, 2, 3, 3, czyli te same sześć czynników co w 12 × 18.

Reguła działa tylko dla dwóch liczb. Dla trzech liczb, takich jak 4, 6 i 8, NWD to 2, a NWW to 24, i 2 × 24 = 48 jest daleko od 4 × 6 × 8 = 192.

Najczęstsze błędy przy NWD i NWW

Cztery błędy odpowiadają za większość złych wyników na karcie pracy z NWD i NWW, a każdy ma jednozdaniowe lekarstwo.

• Pomylenie obu pojęć: NWD nigdy nie jest większy od mniejszej liczby, a NWW nigdy nie jest mniejsza od większej. Odpowiedź 36 jako NWD liczb 12 i 18 od razu oblewa to sprawdzenie.
• Przekonanie, że NWW to zawsze a × b: Mnożenie daje wspólną wielokrotność, ale najmniejszą tylko wtedy, gdy NWD to 1, jak dla 4 i 9 (NWW 36). Dla 6 i 8 iloczyn 6 × 8 = 48, a NWW to 24.
• Za wczesne przerwanie listy: Wypisanie 9, 18, 27 oraz 12, 24 nie daje zgodności, co kusi dziecko do odpowiedzi 9 × 12 = 108. Jeszcze jeden krok na każdej liście dochodzi do 36, czyli NWW.
• Traktowanie 1 jak liczby pierwszej: Liczba 1 nie jest pierwsza, więc nigdy nie pojawia się w rozkładzie. Zapis 12 = 1 × 12 niczego nie rozkłada, a 12 = 2 × 6 rozpoczyna rozkład.

Dwa przypadki szczególne pojawiają się w klasie 6. Gdy jedna liczba dzieli drugą, jak 4 i 12, NWD to mniejsza liczba (4), a NWW większa (12). Gdy dwie liczby nie mają wspólnego czynnika pierwszego, jak 8 i 15, NWD to 1, a NWW to 8 × 15 = 120.

Jak sprawdzić, czy dziecko to rozumie

Pięć szybkich pytań pokazuje, czy NWD i NWW się przyjęły, a każde zajmuje mniej niż minutę.

• Definicje: Zapytaj, czym są NWD i NWW dwóch liczb, bez przykładu. Obie odpowiedzi potrzebują słowa „obie”.
• Słynna para: Zapytaj o NWW(6, 8). Odpowiedź to 24, a odpowiedź 48 zdradza nawyk a × b.
• Zadanie tekstowe: Zapytaj, czy „18 jabłek i 24 pomarańcze w jednakowych torebkach” wymaga NWD czy NWW. Odpowiedź to NWD, 6 torebek.
• Rozkład na czynniki: Poproś o NWD i NWW liczb 24 i 36 przez rozkład pod kreską albo wspólne dzielenie. Wyniki to 12 i 72.
• Sprawdzenie: Poproś dziecko o udowodnienie wyników dzieleniem: 12 dzieli 24 i 36, a 24 i 36 dzielą 72.

Gra z brakującym czynnikiem buduje przypominanie dzielenia, na którym opiera się każde z tych sprawdzeń.

Twoja lista kontrolna NWD i NWW

• Powiedz definicje: NWD dzieli obie liczby, a obie liczby dzielą NWW.
• Sprawdź wielkość wyniku: NWD jest co najwyżej mniejszą liczbą, a NWW co najmniej większą.
• Dobierz metodę do wielkości: wypisywanie poniżej 20, rozkład na czynniki albo wspólne dzielenie powyżej.
• Użyj skrótu: NWW = a × b : NWD dla dwóch liczb.
• Dopasuj zadanie tekstowe: równe grupy i skracanie używają NWD; spotkania w czasie i wspólne mianowniki używają NWW.

Te same umiejętności pojawiają się na stronach gry matematyczne dla 4 klasy i gry matematyczne dla 6 klasy, które zbierają gry z dzielnikami i wielokrotnościami według klas.

Darmowa aplikacja MathIt na iOS i Android ma około 90 rodzajów gier z adaptacyjnym poziomem trudności, więc ćwiczenia z dzielnikami i wielokrotnościami stają się trudniejsze dopiero wtedy, gdy łatwiejsze pary wychodzą bezbłędnie, a 22 gry działają za darmo w przeglądarce, bez rejestracji.