Största gemensamma delare och minsta gemensamma multipel: så hittar du dem

Ett läxblad om bråk frågar efter minsta gemensamma multipel för 6 och 8, och nästa rad frågar efter största gemensamma delare för 12 och 18. De två begreppen låter lika och barn blandar ihop dem. Båda vilar på talens primtalsfaktorer, och tre korta metoder hittar dem.

Vad är största gemensamma delare och minsta gemensamma multipel?

Största gemensamma delaren (SGD) för två tal är det största tal som går jämnt upp i båda, och minsta gemensamma multipeln (MGM) är det minsta tal som båda går jämnt upp i. För 12 och 18 är SGD 6 och MGM 36.

Delarna till 12 är 1, 2, 3, 4, 6 och 12, och delarna till 18 är 1, 2, 3, 6, 9 och 18. De gemensamma delarna är 1, 2, 3 och 6, så den största är 6.

Multiplerna av 12 är 12, 24, 36, 48, och multiplerna av 18 är 18, 36, 54. Det första talet på båda listorna är 36, så minsta gemensamma multipeln är 36.

Delare och multipel: de två orden att hålla isär

En delare till ett tal går jämnt upp i talet utan rest, så delarna till ett tal är aldrig större än talet självt. En multipel är talet gånger 1, 2, 3 och så vidare, så multiplerna är aldrig mindre än talet och listan tar aldrig slut.

Common Core-standarden 4.OA.B.4 bygger upp de orden i årskurs 4, där eleverna hittar alla faktorpar för ett heltal mellan 1 och 100 och ser att ett heltal är en multipel av var och en av sina faktorer. Faktorparen för 18 är 1 × 18, 2 × 9 och 3 × 6, och varje tal i paren är en delare till 18.

Ett barn som håller isär ”delare” och ”multipel” har löst det mesta av problemet med SGD och MGM. Spelet med faktorpar nöter det första ordet och spelet med multiplar det andra.

Varför SGD och MGM spelar roll i årskurs 4 till 7

I USA blir största gemensamma delare och minsta gemensamma multipel en namngiven färdighet i årskurs 6. Common Core-standarden 6.NS.B.4 ber eleverna hitta största gemensamma delaren för två heltal upp till 100 och minsta gemensamma multipeln för två heltal upp till 12. I Sverige arbetar årskurs 4–6 med tal i bråkform och talens egenskaper enligt Lgr22:s centrala innehåll, och begreppen SGD och MGM brukar få sina namn i årskurs 6 eller 7, när bråken ska förkortas och förlängas till gemensam nämnare.

Samma standard kopplar SGD till den distributiva lagen, med exemplet att skriva 36 + 8 som 4 (9 + 2). SGD för 36 och 8 är 4, så 36 + 8 = 4 × 9 + 4 × 2 = 4 × (9 + 2) = 44.

England sprider färdigheten över flera år. Englands nationella kursplan i matematik ber elever i Year 6 att hitta gemensamma faktorer, gemensamma multiplar och primtal, och namnger största gemensamma faktor och minsta gemensamma multipel i key stage 3.

När du ska använda SGD och när du ska använda MGM

SGD svarar på ”hur många lika stora grupper kan jag göra”, och MGM svarar på ”när möts två räkningar”. Ett barn som undrar vilken en textuppgift kräver kan pröva båda frågorna mot den.

• Lika stora grupper (SGD): 18 äpplen och 24 apelsiner ska läggas i likadana påsar utan att något blir över. SGD för 18 och 24 är 6, så du får 6 påsar med 3 äpplen och 4 apelsiner i varje.
• Förkorta bråk (SGD): Att dividera täljare och nämnare i 18/24 med deras SGD, 6, ger 3/4 i ett steg. Guiden bråk förklarat för föräldrar går djupare in på likvärdiga bråk.
• Mötas igen (MGM): En buss går var 6:e minut och en annan var 8:e minut, båda klockan 9.00. MGM för 6 och 8 är 24, så nästa gång de går samtidigt är klockan 9.24.
• Gemensamma nämnare (MGM): För att addera 5/6 + 3/8 använder du MGM för 6 och 8 som nämnare: 5/6 = 20/24 och 3/8 = 9/24, så summan är 29/24.

Spela gratis i webbläsarenMultipeljaktÅk 3–5

Så hittar du minsta gemensamma multipel och största gemensamma delare, steg för steg

Primtalsfaktorisering hittar minsta gemensamma multipeln och största gemensamma delaren i ett svep, och den fungerar för varje talpar. Stegen nedan använder 24 och 36.

1. Dela upp varje tal i primtal. Bygg ett faktorträd eller dividera med det minsta primtal som passar: 24 = 2 × 2 × 2 × 3 och 36 = 2 × 2 × 3 × 3. Guiden primtal förklarat visar faktorträd steg för steg.
2. Skriv faktorerna med potenser. Samla upprepningarna: 24 = 2³ × 3 och 36 = 2² × 3². Potenserna gör de två nästa stegen till att jämföra små tal.
3. Hitta SGD från de gemensamma primtalen. Ta bara de primtal som båda talen har, vart och ett med den lägre exponenten: 2² × 3 = 4 × 3 = 12.
4. Hitta MGM från alla primtal. Ta varje primtal som finns i något av talen, vart och ett med den högre exponenten: 2³ × 3² = 8 × 9 = 72.
5. Kontrollera båda svaren. SGD måste gå jämnt upp i båda talen (24 : 12 = 2, 36 : 12 = 3), och båda talen måste gå jämnt upp i MGM (72 : 24 = 3, 72 : 36 = 2).

Kapitlet om primtalsfaktorisering och minsta gemensamma multipel i OpenStax Prealgebra beskriver samma metod, där gemensamma primtal räknas en gång.

Spela gratis i webbläsarenFaktorparÅk 3–5

Det som går fel: lägsta eller högsta exponent

Regeln för exponenterna är steget som barn oftast byter plats på. SGD tar den lägsta exponenten för varje gemensamt primtal, eftersom en gemensam delare inte kan innehålla fler tvåor än det tal som har färst tvåor.

MGM tar den högsta exponenten för varje primtal, eftersom en gemensam multipel måste innehålla alla tvåor från det tal som har flest tvåor. För 24 och 36 har 24 tre tvåor, så varje multipel av 24 behöver 2³, och 36 har två treor, så varje multipel av 36 behöver 3².

Listning, primtalsfaktorisering eller stegmetoden

Listmetoden, primtalsfaktorisering och stegmetoden ger samma SGD och MGM och skiljer sig i snabbhet.

Stegmetoden, räknad

Stegmetoden dividerar båda talen med ett primtal de har gemensamt, skriver kvoterna under och upprepar tills det nedersta paret inte har någon gemensam delare utom 1. För 24 och 36 dividerar du med 2 och får 12 och 18, med 2 igen och får 6 och 9, och med 3 och får 2 och 3.

Delarna längs vänsterkanten multipliceras till SGD: 2 × 2 × 3 = 12. MGM är SGD gånger talen som blir kvar på nedersta raden: 12 × 2 × 3 = 72.

Genvägen SGD × MGM

Produkten av största gemensamma delaren och minsta gemensamma multipeln för två tal är alltid lika med produkten av de två talen. För 12 och 18 är SGD 6 och MGM 36, och 6 × 36 = 216 = 12 × 18.

Genvägen gör det ena svaret till det andra. När du vet SGD är MGM lika med a × b : SGD: för 6 och 8 är SGD 2, så MGM är 48 : 2 = 24.

För små tal kan du räkna uppåt i multiplerna av det större talet tills det mindre går jämnt upp: 8, 16, 24, och 6 går jämnt upp i 24. Guiden om hur man lär sig multiplikationstabellen snabbt bygger upp minnet som det kräver.

Varför genvägen fungerar

Genvägen fungerar eftersom SGD och MGM delar upp de två talens primtalsfaktorer mellan sig. För 12 = 2 × 2 × 3 och 18 = 2 × 3 × 3 tar SGD de gemensamma 2 och 3, och MGM tar de gemensamma 2 och 3 en gång till plus den extra tvåan och den extra trean.

Primtalen i 6 × 36 är 2, 3 och 2, 2, 3, 3, samma sex primtal som i 12 × 18.

Regeln gäller bara för två tal. För tre tal som 4, 6 och 8 är SGD 2 och MGM 24, och 2 × 24 = 48 ligger långt från 4 × 6 × 8 = 192.

Vanliga misstag med SGD och MGM

Fyra misstag orsakar de flesta felsvaren på ett arbetsblad om SGD och MGM, och vart och ett har en fix på en rad.

• Att blanda ihop de två: SGD kan aldrig vara större än det mindre talet, och MGM kan aldrig vara mindre än det större talet. Svaret 36 för SGD av 12 och 18 faller direkt på den kontrollen.
• Att tro att MGM alltid är a × b: Produkten ger en gemensam multipel, men den minsta bara när SGD är 1, som för 4 och 9 (MGM 36). För 6 och 8 är 6 × 8 = 48 medan MGM är 24.
• Att avbryta listan för tidigt: Att lista 9, 18, 27 och 12, 24 ger ingen träff, vilket lockar barnet att svara 9 × 12 = 108. Ett steg till på varje lista når 36, som är MGM.
• Att behandla 1 som ett primtal: Talet 1 är inget primtal, så det dyker aldrig upp i ett faktorträd. Att skriva 12 = 1 × 12 tar trädet ingenstans, medan 12 = 2 × 6 sätter igång det.

Två gränsfall dyker upp. När det ena talet går jämnt upp i det andra, som 4 och 12, är SGD det mindre talet (4) och MGM det större (12). När två tal inte har något primtal gemensamt, som 8 och 15, är SGD 1 och MGM 8 × 15 = 120.

Så kontrollerar du att ditt barn har förstått

Fem snabba frågor visar om SGD och MGM har landat, och var och en tar under en minut.

• Definitionerna: Fråga vad SGD och MGM för två tal är, utan exempel. Båda svaren behöver ordet ”båda”.
• Det kända paret: Fråga efter MGM för 6 och 8. Svaret är 24, och svaret 48 avslöjar vanan med a × b.
• En textuppgift sorterad: Fråga om ”18 äpplen och 24 apelsiner i likadana påsar” kräver SGD eller MGM. Svaret är SGD, 6 påsar.
• Primtalsfaktorisering: Be om SGD och MGM för 24 och 36 med faktorträd eller stegmetoden. Svaren är 12 och 72.
• Kontrollen: Be ditt barn bevisa svaren genom division: 12 går jämnt upp i 24 och 36, och både 24 och 36 går jämnt upp i 72.

Spelet med saknade faktorer bygger upp divisionsminnet bakom var och en av kontrollerna.

Din checklista för SGD och MGM

• Säg definitionerna: SGD går jämnt upp i båda talen, och båda talen går jämnt upp i MGM.
• Kontrollera storleken: SGD är högst det mindre talet, och MGM är minst det större.
• Välj metod efter storlek: listning under 20, primtalsfaktorisering eller stegmetoden över det.
• Använd genvägen: MGM = a × b : SGD för två tal.
• Matcha textuppgiften: lika stora grupper och förkortning använder SGD; mötestider och gemensamma nämnare använder MGM.

Samma färdigheter finns på årskurssidorna med mattespel för årskurs 4 och mattespel för årskurs 6, som listar spelen med delare och multiplar per årskurs.

MathIts gratisapp för iOS och Android har ungefär 90 speltyper med anpassad svårighetsgrad, så övningen på delare och multiplar blir svårare först när de enklare paren kommer rätt, och 22 av spelen går att spela gratis i en webbläsare utan konto.