Qu'est-ce que le PPCM et le PGCD, et comment les calculer ?

Le PPCM, plus petit commun multiple, est le plus petit nombre qui est un multiple de deux nombres, et le PGCD, plus grand commun diviseur, est le plus grand nombre qui divise les deux. Pour 12 et 18, le PGCD vaut 6 et le PPCM vaut 36. On les trouve en listant diviseurs et multiples, par la décomposition en facteurs premiers ou par la méthode de l'échelle.

Quel est le PPCM de 6 et 8 ?

Le PPCM de 6 et 8 est 24. Les multiples de 6 sont 6, 12, 18, 24 et 30, et les multiples de 8 sont 8, 16, 24 et 32, donc 24 est le premier nombre présent dans les deux listes. Le produit 6 × 8 donne 48, qui est un multiple commun mais pas le plus petit.

Quelle est la différence entre PGCD et PPCM ?

La différence entre PGCD et PPCM est une question de sens : le PGCD est le plus grand nombre qui divise les deux nombres, il n'est donc jamais plus grand que le plus petit des deux. Le PPCM est le plus petit nombre multiple des deux, il n'est donc jamais plus petit que le plus grand des deux. Pour 12 et 18, le PGCD vaut 6 et le PPCM vaut 36.

Comment trouver rapidement le PPCM ?

Le moyen le plus rapide de trouver le PPCM de deux nombres est de les multiplier puis de diviser par leur PGCD. Pour 6 et 8, le PGCD vaut 2, donc le PPCM vaut 6 × 8 ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24. Pour de petits nombres, on peut aussi parcourir les multiples du plus grand jusqu'à en trouver un divisible par le plus petit.

Que veulent dire les sigles PGCD et PPCM ?

PGCD veut dire plus grand commun diviseur, et PPCM plus petit commun multiple. On rencontre aussi les formes « plus grand diviseur commun » et « plus petit multiple commun », qui désignent exactement les mêmes nombres. Dans les manuels anglophones, le PGCD s'appelle GCF, GCD ou HCF selon le pays, et le PPCM s'appelle LCM.

PPCM et PGCD : définition et méthodes de calcul

Une fiche sur les fractions demande le PPCM de 6 et 8, et la ligne suivante demande le PGCD de 12 et 18. Les deux sigles se ressemblent et les enfants les confondent. Tous deux reposent sur les facteurs premiers de chaque nombre, et trois méthodes courtes permettent de les trouver.

Que sont le PGCD et le PPCM ?

Le PGCD de deux nombres, leur plus grand commun diviseur, est le plus grand nombre qui les divise tous les deux sans reste, et le PPCM, leur plus petit commun multiple, est le plus petit nombre qui est un multiple des deux. Pour 12 et 18, le PGCD vaut 6 et le PPCM vaut 36.

Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, et ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Les diviseurs communs sont 1, 2, 3 et 6, donc le plus grand est 6.

Les multiples de 12 sont 12, 24, 36, 48, et ceux de 18 sont 18, 36, 54. Le premier nombre présent dans les deux listes est 36, donc le plus petit commun multiple est 36.

Diviseurs et multiples : les deux mots à ne pas confondre

Un diviseur d'un nombre le divise sans reste, donc les diviseurs d'un nombre ne sont jamais plus grands que lui. Un multiple est le nombre fois 1, 2, 3 et ainsi de suite, donc les multiples ne sont jamais plus petits que le nombre, et leur liste ne s'arrête jamais.

Le standard américain Common Core 4.OA.B.4 installe ce vocabulaire en grade 4, l'équivalent du CM1, où les élèves « trouvent tous les couples de facteurs d'un nombre entier compris entre 1 et 100 » et « reconnaissent qu'un nombre entier est un multiple de chacun de ses facteurs ». Les couples de diviseurs de 18 sont 1 × 18, 2 × 9 et 3 × 6, et chaque nombre de ces couples est un diviseur de 18.

Un enfant qui sépare bien « diviseur » et « multiple » a déjà résolu l'essentiel du problème du PGCD et du PPCM. Le jeu des couples de facteurs entraîne le premier mot, et le jeu des multiples le second.

Des arbres de facteurs décomposent 12 en 2, 2 et 3 et 18 en 2, 3 et 3 ; un diagramme de Venn place les facteurs communs 2 et 3 dans l'intersection, ce qui donne 2 × 3 = 6 et 2 × 2 × 3 × 3 = 36.

Pourquoi le PGCD et le PPCM comptent, du CM1 à la 6e

Aux États-Unis, le PGCD et le PPCM deviennent une compétence nommée en grade 6, l'équivalent de la 6e. Le standard Common Core 6.NS.B.4 demande de « trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres entiers inférieurs ou égaux à 100 et le plus petit multiple commun de deux nombres entiers inférieurs ou égaux à 12 ».

Le même standard relie le PGCD à la distributivité, avec l'exemple « écrire 36 + 8 sous la forme 4 (9 + 2) ». Le PGCD de 36 et 8 est 4, donc 36 + 8 = 4 × 9 + 4 × 2 = 4 × (9 + 2) = 44.

En France, le travail commence dès le cours moyen, sans les sigles. Le programme de mathématiques du cycle 3 demande au CM2 de « déterminer les diviseurs communs à deux nombres entiers inférieurs ou égaux à 30 » et de « déterminer des multiples communs à deux nombres entiers inférieurs à 15 », en vue du calcul sur les fractions. La décomposition en facteurs premiers et les fractions irréductibles viennent ensuite au collège. Le programme national anglais suit un rythme proche : la Year 6 doit « identifier des facteurs communs, des multiples communs et des nombres premiers », et les termes « highest common factor » et « lowest common multiple » arrivent au key stage 3.

Quand utiliser le PGCD et quand utiliser le PPCM

Le PGCD répond à « combien de groupes égaux puis-je faire ? », et le PPCM à « quand deux comptages tombent-ils ensemble ? ». Un enfant qui se demande lequel un problème réclame peut tester les deux questions sur l'énoncé.

Groupes égaux (PGCD) : 18 pommes et 24 oranges vont dans des sacs identiques, sans rien laisser. Le PGCD de 18 et 24 est 6, donc on obtient 6 sacs de 3 pommes et 4 oranges.
Simplifier des fractions (PGCD) : diviser le numérateur et le dénominateur de 18/24 par leur PGCD, 6, donne 3/4 en une seule étape. Le guide pour expliquer les fractions à votre enfant détaille les fractions égales.
Se retrouver (PPCM) : un bus part toutes les 6 minutes et un autre toutes les 8 minutes, tous deux à 9 h 00. Le PPCM de 6 et 8 est 24, donc ils repartent ensemble à 9 h 24.
Dénominateurs communs (PPCM) : pour calculer 5/6 + 3/8, prenez le PPCM de 6 et 8 comme dénominateur : 5/6 = 20/24 et 3/8 = 9/24, donc la somme vaut 29/24.

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Comment calculer le PPCM et le PGCD, étape par étape

La décomposition en facteurs premiers trouve le PPCM et le PGCD en un seul passage, et elle marche pour n'importe quel couple de nombres. Les étapes ci-dessous utilisent 24 et 36.

Décomposez chaque nombre en facteurs premiers. Construisez un arbre de facteurs ou divisez par le plus petit nombre premier qui convient : 24 = 2 × 2 × 2 × 3 et 36 = 2 × 2 × 3 × 3. L'article sur les nombres premiers montre les arbres de facteurs pas à pas.
Écrivez les facteurs avec des puissances. Regroupez les répétitions : 24 = 2³ × 3 et 36 = 2² × 3². Les exposants ramènent les deux étapes suivantes à une comparaison de petits nombres.
Trouvez le PGCD avec les facteurs communs. Ne prenez que les nombres premiers présents dans les deux décompositions, chacun avec son plus petit exposant : 2² × 3 = 4 × 3 = 12.
Trouvez le PPCM avec tous les facteurs. Prenez chaque nombre premier présent dans l'une ou l'autre décomposition, avec son plus grand exposant : 2³ × 3² = 8 × 9 = 72.
Vérifiez les deux réponses. Le PGCD doit diviser les deux nombres (24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3), et les deux nombres doivent diviser le PPCM (72 ÷ 24 = 3, 72 ÷ 36 = 2).

Le chapitre d'OpenStax Prealgebra sur la décomposition en facteurs premiers et le plus petit commun multiple expose la même méthode, en comptant une seule fois les facteurs communs.

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Là où l'on se trompe : plus petit ou plus grand exposant

La règle des exposants est l'étape que les enfants inversent le plus souvent. Le PGCD prend le plus petit exposant de chaque facteur commun, car un diviseur commun ne peut pas utiliser plus de 2 que le nombre qui en a le moins.

Le PPCM prend le plus grand exposant de chaque facteur, car un multiple commun doit contenir tous les 2 du nombre qui en a le plus. Pour 24 et 36, 24 contient trois 2, donc tout multiple de 24 a besoin de 2³, et 36 contient deux 3, donc tout multiple de 36 a besoin de 3².

Lister, décomposer en facteurs premiers ou utiliser l'échelle

La liste, la décomposition en facteurs premiers et la méthode de l'échelle donnent le même PGCD et le même PPCM, et diffèrent par leur rapidité.

Méthode	Comment elle marche	Idéale pour	Limites
Lister	Écrire les diviseurs (pour le PGCD) ou les multiples (pour le PPCM) de chaque nombre et prendre la première correspondance	Les petits nombres, CM1 et CM2, les premières leçons	Lente au-delà de 50 ; facile d'arrêter la liste trop tôt
Décomposition en facteurs premiers	Un arbre de facteurs par nombre ; PGCD = facteurs communs au plus petit exposant, PPCM = tous les facteurs au plus grand exposant	À partir de la 6e, trois nombres ou plus, nombres jusqu'à 100 et au-delà	Demande des divisions sûres par 2, 3, 5 et 7
Méthode de l'échelle	Diviser les deux nombres par un nombre premier commun, ligne après ligne, jusqu'à ce qu'il ne reste aucun diviseur commun	Trouver le PGCD et le PPCM ensemble, vite, sur papier	Ne traite que deux nombres à la fois ; l'étape de lecture finale s'oublie facilement

La méthode de l'échelle, pas à pas

La méthode de l'échelle divise les deux nombres par un nombre premier qu'ils partagent, écrit les quotients en dessous, et recommence jusqu'à ce que la dernière paire n'ait plus d'autre diviseur commun que 1. Pour 24 et 36, divisez par 2 pour obtenir 12 et 18, encore par 2 pour obtenir 6 et 9, puis par 3 pour obtenir 2 et 3.

Les diviseurs de la colonne de gauche se multiplient pour donner le PGCD : 2 × 2 × 3 = 12. Le PPCM est le PGCD multiplié par les nombres restés sur la dernière ligne : 12 × 2 × 3 = 72.

La méthode de l'échelle pour 24 et 36 : les divisions par 2, 2 et 3 laissent 2 et 3 sur la dernière ligne, donc le PGCD vaut 2 × 2 × 3 = 12 et le PPCM vaut 12 × 2 × 3 = 72, et 12 × 72 = 24 × 36 = 864.

Le raccourci PGCD × PPCM

Le produit du PGCD et du PPCM de deux nombres est toujours égal au produit de ces deux nombres. Pour 12 et 18, le PGCD vaut 6 et le PPCM vaut 36, et 6 × 36 = 216 = 12 × 18.

Ce raccourci transforme une réponse en l'autre. Une fois le PGCD connu, le PPCM vaut a × b ÷ PGCD : pour 6 et 8, le PGCD vaut 2, donc le PPCM vaut 48 ÷ 2 = 24.

Pour de petits nombres, parcourez les multiples du plus grand jusqu'à ce que le plus petit le divise : 8, 16, 24, et 6 divise 24. Le guide pour apprendre vite les tables de multiplication construit la mémoire dont ce geste a besoin.

Pourquoi le raccourci fonctionne

Le raccourci fonctionne parce que le PGCD et le PPCM se partagent les facteurs premiers des deux nombres. Pour 12 = 2 × 2 × 3 et 18 = 2 × 3 × 3, le PGCD prend le 2 et le 3 communs, et le PPCM reprend ce 2 et ce 3 communs, plus le 2 et le 3 en trop.

Les facteurs premiers de 6 × 36 sont 2, 3 et 2, 2, 3, 3, les six mêmes que dans 12 × 18.

La règle ne vaut que pour deux nombres. Pour trois nombres comme 4, 6 et 8, le PGCD vaut 2 et le PPCM vaut 24, et 2 × 24 = 48 est loin de 4 × 6 × 8 = 192.

Les erreurs fréquentes sur le PGCD et le PPCM

Quatre erreurs causent la plupart des mauvaises réponses sur une fiche de PGCD et de PPCM, et chacune a une correction en une ligne.

Confondre les deux : un PGCD ne peut jamais dépasser le plus petit nombre, et un PPCM ne peut jamais être inférieur au plus grand. Une réponse de 36 pour le PGCD de 12 et 18 échoue tout de suite à ce test.
Croire que le PPCM vaut toujours a × b : le produit donne un multiple commun, mais le plus petit seulement quand le PGCD vaut 1, comme pour 4 et 9 (PPCM 36). Pour 6 et 8, 6 × 8 = 48 alors que le PPCM vaut 24.
Arrêter la liste trop tôt : lister 9, 18, 27 et 12, 24 ne montre aucune correspondance, ce qui pousse l'enfant à répondre 9 × 12 = 108. Un pas de plus dans chaque liste atteint 36, le PPCM.
Traiter 1 comme un nombre premier : 1 n'est pas premier, il n'apparaît donc jamais dans un arbre de facteurs. Écrire 12 = 1 × 12 ne fait pas avancer l'arbre, alors que 12 = 2 × 6 le lance.

Deux cas limites reviennent souvent. Quand un nombre divise l'autre, comme 4 et 12, le PGCD est le plus petit (4) et le PPCM le plus grand (12). Quand deux nombres n'ont aucun facteur premier commun, comme 8 et 15, le PGCD vaut 1 et le PPCM vaut 8 × 15 = 120 : on dit que les deux nombres sont premiers entre eux.

Comment vérifier que votre enfant a compris

Cinq questions rapides montrent si le PGCD et le PPCM sont acquis, et chacune prend moins d'une minute.

Les définitions : demandez ce que sont le PGCD et le PPCM de deux nombres, sans exemple. Les deux réponses doivent contenir le mot « deux » ou « les deux ».
Le couple célèbre : demandez le PPCM de 6 et 8. La réponse est 24, et une réponse de 48 trahit l'habitude du a × b.
Un problème trié : demandez si « 18 pommes et 24 oranges dans des sacs identiques » réclame le PGCD ou le PPCM. La réponse est le PGCD, soit 6 sacs.
La décomposition : demandez le PGCD et le PPCM de 24 et 36 avec des arbres de facteurs ou l'échelle. Les réponses sont 12 et 72.
La vérification : demandez à votre enfant de prouver ses réponses par des divisions : 12 divise 24 et 36, et 24 et 36 divisent tous deux 72.

Le jeu du facteur manquant construit la mémoire des divisions derrière chacune de ces vérifications.

Votre pense-bête du PGCD et du PPCM

Dites les définitions : le PGCD divise les deux nombres, et les deux nombres divisent le PPCM.
Vérifiez la taille de la réponse : le PGCD est au plus le plus petit nombre, le PPCM au moins le plus grand.
Choisissez la méthode selon la taille : la liste sous 20, la décomposition ou l'échelle au-delà.
Utilisez le raccourci : PPCM = a × b ÷ PGCD pour deux nombres.
Identifiez le problème : groupes égaux et simplification utilisent le PGCD ; rendez-vous et dénominateurs communs utilisent le PPCM.

Les mêmes compétences reviennent sur les pages de jeux de maths pour le CM1 et de jeux de maths pour la 6e, qui classent par niveau les jeux sur les diviseurs et les multiples.

L'application gratuite MathIt pour iOS et Android propose environ 90 types de jeux à difficulté adaptative : l'entraînement sur les diviseurs et les multiples ne se corse qu'une fois les couples plus simples réussis, et 22 de ces jeux se jouent gratuitement dans le navigateur, sans inscription.