Máximo común divisor y mínimo común múltiplo (MCD y mcm): cómo calcularlos

Una ficha de fracciones pide el mínimo común múltiplo de 6 y 8, y la línea siguiente pide el máximo común divisor de 12 y 18. Los dos nombres se parecen y los niños los confunden. Los dos se apoyan en los factores primos de cada número, y tres métodos cortos los encuentran.

¿Qué son el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo?

El máximo común divisor (MCD) de dos números es el mayor número que divide a los dos de forma exacta, y el mínimo común múltiplo (mcm) es el menor número que es múltiplo de los dos. Para 12 y 18, el MCD es 6 y el mcm es 36.

Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, y los divisores de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Los divisores comunes son 1, 2, 3 y 6, así que el máximo es 6.

Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48, y los múltiplos de 18 son 18, 36, 54. El primer número que está en las dos listas es 36, así que el mínimo común múltiplo es 36.

Divisores y múltiplos: las dos palabras que hay que separar

Un divisor de un número lo divide sin resto, así que los divisores de un número nunca son mayores que el propio número. Un múltiplo es el número multiplicado por 1, 2, 3 y así sucesivamente, así que los múltiplos nunca son menores que el número y la lista no se acaba.

El estándar Common Core 4.OA.B.4 de Estados Unidos prepara este vocabulario en cuarto grado (9 a 10 años), donde los alumnos buscan todas las parejas de factores de un número del 1 al 100 y reconocen que un número es múltiplo de cada uno de sus divisores. Las parejas de factores de 18 son 1 × 18, 2 × 9 y 3 × 6, y cada número de esas parejas es divisor de 18.

Un niño que distingue «divisor» de «múltiplo» tiene medio problema del MCD y el mcm resuelto. El juego de parejas de factores entrena la primera palabra y el juego de múltiplos entrena la segunda.

Por qué importan el MCD y el mcm entre los 10 y los 13 años

El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo pasan a ser una destreza con nombre propio al final de primaria y al empezar la secundaria. En España, el currículo de Educación Secundaria Obligatoria de la LOMLOE incluye «Factores, múltiplos y divisores. Factorización en números primos para resolver problemas», un saber que se trabaja sobre todo en 1.º de ESO (12 a 13 años), después de los múltiplos y divisores de 5.º y 6.º de primaria. En Estados Unidos, el estándar Common Core 6.NS.B.4 pide en sexto grado (11 a 12 años) el MCD de dos números menores o iguales que 100 y el mcm de dos números menores o iguales que 12.

El mismo estándar une el MCD con la propiedad distributiva, con el ejemplo de escribir 36 + 8 como 4 (9 + 2). El MCD de 36 y 8 es 4, así que 36 + 8 = 4 × 9 + 4 × 2 = 4 × (9 + 2) = 44. En España a ese paso se le llama sacar factor común.

Inglaterra reparte la destreza en varios cursos. El currículo nacional de matemáticas de Inglaterra pide en Year 6 (10 a 11 años) identificar divisores comunes, múltiplos comunes y números primos, y nombra el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en la etapa siguiente.

Cuándo usar el MCD y cuándo el mcm

El MCD responde a «cuántos grupos iguales puedo hacer», y el mcm responde a «cuándo vuelven a coincidir dos cuentas». Un niño que duda cuál necesita un problema puede probar las dos preguntas con el enunciado.

• Grupos iguales (MCD): 18 manzanas y 24 naranjas van en bolsas idénticas sin que sobre nada. El MCD de 18 y 24 es 6, así que salen 6 bolsas, cada una con 3 manzanas y 4 naranjas.
• Simplificar fracciones (MCD): Dividir el numerador y el denominador de 18/24 entre su MCD, 6, da 3/4 en un solo paso. La guía de fracciones explicadas para padres trata las fracciones equivalentes con más detalle.
• Volver a coincidir (mcm): Un autobús sale cada 6 minutos y otro cada 8 minutos, los dos a las 9:00. El mcm de 6 y 8 es 24, así que vuelven a salir juntos a las 9:24.
• Denominadores comunes (mcm): Para sumar 5/6 + 3/8, usa el mcm de 6 y 8 como denominador: 5/6 = 20/24 y 3/8 = 9/24, así que la suma es 29/24.

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Cómo calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor, paso a paso

La descomposición en factores primos encuentra el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de una sola vez, y sirve para cualquier pareja de números. Los pasos usan 24 y 36.

1. Descompón cada número en factores primos. Haz un árbol de factores o divide entre el primo más pequeño que quepa: 24 = 2 × 2 × 2 × 3 y 36 = 2 × 2 × 3 × 3. La guía de los números primos muestra los árboles de factores paso a paso.
2. Escribe los factores con potencias. Agrupa los repetidos: 24 = 2³ × 3 y 36 = 2² × 3². Las potencias convierten los dos pasos siguientes en comparar números pequeños.
3. Saca el MCD de los factores comunes. Toma solo los primos que tienen los dos números, cada uno con su menor exponente: 2² × 3 = 4 × 3 = 12.
4. Saca el mcm de todos los factores. Toma todos los primos que aparecen en cualquiera de los dos números, cada uno con su mayor exponente: 2³ × 3² = 8 × 9 = 72.
5. Comprueba los dos resultados. El MCD tiene que dividir a los dos números (24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3), y los dos números tienen que dividir al mcm (72 ÷ 24 = 3, 72 ÷ 36 = 2).

El capítulo de OpenStax Prealgebra sobre descomposición en factores primos y mínimo común múltiplo explica el mismo método, con los primos comunes contados una sola vez.

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Lo que más se equivoca: menor exponente o mayor exponente

La regla de los exponentes es el paso que los niños intercambian más a menudo. El MCD toma el menor exponente de cada primo común, porque un divisor común no puede usar más doses de los que tiene el número con menos doses.

El mcm toma el mayor exponente de cada primo, porque un múltiplo común tiene que contener todos los doses del número que más tiene. Para 24 y 36, el 24 tiene tres doses, así que cualquier múltiplo de 24 necesita 2³, y el 36 tiene dos treses, así que cualquier múltiplo de 36 necesita 3².

Listas, factores primos o método de la escalera

El método de las listas, la descomposición en factores primos y el método de la escalera dan el mismo MCD y el mismo mcm, y se diferencian en la rapidez.

El método de la escalera, resuelto

El método de la escalera divide los dos números entre un primo que compartan, escribe los cocientes debajo y repite hasta que la pareja de abajo no tenga más divisor común que el 1. Para 24 y 36, divide entre 2 y quedan 12 y 18, otra vez entre 2 y quedan 6 y 9, y entre 3 y quedan 2 y 3.

Los divisores de la columna izquierda se multiplican para dar el MCD: 2 × 2 × 3 = 12. El mcm es el MCD por los números que quedan en la última fila: 12 × 2 × 3 = 72.

El atajo MCD × mcm

El producto del máximo común divisor por el mínimo común múltiplo de dos números es siempre igual al producto de los dos números. Para 12 y 18, el MCD es 6 y el mcm es 36, y 6 × 36 = 216 = 12 × 18.

El atajo convierte un resultado en el otro. Cuando ya conoces el MCD, el mcm es a × b ÷ MCD: para 6 y 8 el MCD es 2, así que el mcm es 48 ÷ 2 = 24.

Con números pequeños, ve diciendo los múltiplos del mayor hasta que el menor lo divida: 8, 16, 24, y el 6 divide a 24. La guía sobre cómo aprenderse las tablas de multiplicar rápido construye el recuerdo que hace falta para esto.

Por qué funciona el atajo

El atajo funciona porque el MCD y el mcm se reparten entre los dos los factores primos de los dos números. Para 12 = 2 × 2 × 3 y 18 = 2 × 3 × 3, el MCD se queda con el 2 y el 3 comunes, y el mcm se queda otra vez con el 2 y el 3 comunes más el 2 y el 3 que sobran.

Los primos de 6 × 36 son 2, 3 y 2, 2, 3, 3, los mismos seis primos que en 12 × 18.

La regla solo vale para dos números. Para tres números como 4, 6 y 8, el MCD es 2 y el mcm es 24, y 2 × 24 = 48 está muy lejos de 4 × 6 × 8 = 192.

Errores frecuentes con el MCD y el mcm

Cuatro errores explican la mayoría de los fallos en una ficha de MCD y mcm, y cada uno tiene un remedio de una línea.

• Confundir los dos: Un MCD nunca puede ser mayor que el número más pequeño, y un mcm nunca puede ser menor que el más grande. Un resultado de 36 para el MCD de 12 y 18 no pasa esa comprobación.
• Creer que el mcm siempre es a × b: Multiplicar da un múltiplo común, pero solo es el mínimo cuando el MCD es 1, como con 4 y 9 (mcm 36). Para 6 y 8, 6 × 8 = 48, mientras que el mcm es 24.
• Cortar la lista demasiado pronto: Escribir 9, 18, 27 y 12, 24 no muestra ninguna coincidencia, y eso tienta a responder 9 × 12 = 108. Un paso más en cada lista llega a 36, el mcm.
• Tratar el 1 como primo: El número 1 no es primo, así que nunca aparece en un árbol de factores. Escribir 12 = 1 × 12 no lleva el árbol a ninguna parte, mientras que 12 = 2 × 6 lo pone en marcha.

Hay dos casos límite que aparecen en estos cursos. Cuando un número divide al otro, como 4 y 12, el MCD es el menor (4) y el mcm es el mayor (12). Cuando dos números no comparten ningún primo, como 8 y 15, el MCD es 1 y el mcm es 8 × 15 = 120.

Cómo comprobar que tu hijo lo ha entendido

Cinco preguntas rápidas muestran si el MCD y el mcm han calado, y cada una lleva menos de un minuto.

• Las definiciones: Pregunta qué son el MCD y el mcm de dos números, sin ejemplos. Las dos respuestas necesitan la idea de «a los dos».
• La pareja famosa: Pide el mcm de 6 y 8. La respuesta es 24, y una respuesta de 48 delata la costumbre de multiplicar.
• Un problema bien clasificado: Pregunta si «18 manzanas y 24 naranjas en bolsas idénticas» necesita el MCD o el mcm. La respuesta es el MCD, 6 bolsas.
• Factores primos: Pide el MCD y el mcm de 24 y 36 con árboles de factores o con la escalera. Los resultados son 12 y 72.
• La comprobación: Pide a tu hijo que demuestre los resultados dividiendo: 12 divide a 24 y a 36, y 24 y 36 dividen a 72.

El juego del factor que falta construye el recuerdo de las divisiones que hay detrás de cada una de estas comprobaciones.

Tu lista de comprobación del MCD y el mcm

• Di las definiciones: el MCD divide a los dos números, y los dos números dividen al mcm.
• Comprueba el tamaño: el MCD es como mucho el número menor, y el mcm es como poco el mayor.
• Elige el método según el tamaño: listas por debajo de 20, factores primos o escalera por encima.
• Usa el atajo: mcm = a × b ÷ MCD para dos números.
• Clasifica el problema: los grupos iguales y la simplificación usan el MCD; las coincidencias en el tiempo y los denominadores comunes usan el mcm.

Las mismas destrezas aparecen en las páginas de juegos de matemáticas para cuarto y de juegos de matemáticas para sexto, que reúnen los juegos de divisores y múltiplos por curso.

La app gratuita de MathIt para iOS y Android tiene unos 90 tipos de juego con dificultad adaptativa, así que la práctica de divisores y múltiplos solo sube de nivel cuando las parejas fáciles salen bien, y 22 de sus juegos se juegan gratis en el navegador sin registro.