Koordinatsystemet: slik plasserer du punkter og leser de fire kvadrantene

Leksa til barnet ditt viser et rutenett, en prikk og spørsmålet «skriv koordinatene til punktet», og det er den samme ideen som et skattekart der det står «4 skritt østover, 3 skritt nordover». Så hva er et koordinatsystem? Koordinatsystemet gir hvert punkt i et flatt rutenett en nøyaktig adresse, og hele temaet hviler på én regel: først bortover, så opp eller ned.

Hva er et koordinatsystem?

Et koordinatsystem er et flatt rutenett laget av to tallinjer som krysser hverandre i rett vinkel. Den vannrette linjen er x-aksen, den loddrette linjen er y-aksen, og punktet der de krysser hverandre, er origo. Common Core-standarden 5.G.A.1 beskriver det som «et par tallinjer som står vinkelrett på hverandre, kalt akser», med origo «plassert slik at det faller sammen med 0 på hver linje».

I Norge begynner arbeidet tidlig: etter 3. trinn skal eleven kunne «eksperimentere med, navngi og plassere punkter i koordinatsystemet», ifølge kompetansemålene etter 3. trinn i LK20. x-aksen teller mot høyre fra origo med positive tall og mot venstre med negative tall. y-aksen teller oppover med positive tall og nedover med negative tall, og guiden om negative tall dekker venstre- og nedre halvdel.

Systemet kalles det kartesiske koordinatsystemet etter René Descartes, som ga ut La Géométrie i Leiden i 1637. MacTutors biografi om Descartes fører kartesisk geometri tilbake til hans «bruk av algebra på geometri», men nevner at tidligere matematikere hadde lignende ideer.

Et koordinatpar er (x, y), og x kommer først

Et koordinatpar er adressen til ett punkt, skrevet som to tall i parentes: (x, y). OpenStax Prealgebra definerer det slik: «Et ordnet par (x, y) gir koordinatene til et punkt i et rettvinklet koordinatsystem.» Det første tallet, x-koordinaten, sier hvor langt du skal gå mot venstre eller høyre; det andre, y-koordinaten, sier hvor langt du skal gå opp eller ned.

Ordet «ordnet» bærer regelen. Punktet (2, 5) ligger 2 til høyre og 5 opp, og punktet (5, 2) ligger 5 til høyre og 2 opp, så de er to ulike steder. Origo selv er (0, 0).

På tegningen er punkt A (4, 2), punkt B (−3, 2), punkt C (−2, −3) og punkt D (3, −4). Hvert punkt ligger i en egen kvadrant, og fortegnene til de to tallene viser hvilken.

Slik plasserer du et punkt i koordinatsystemet, steg for steg

Å plassere et punkt i koordinatsystemet betyr å starte i origo, gå langs x-aksen med det første tallet, og så gå parallelt med y-aksen med det andre tallet. Ta punktet P(4, 3).

1. Finn origo. Sett blyanten på (0, 0), der de to aksene krysser hverandre. Hver forflytning starter her.
2. Les x-koordinaten. Det første tallet er 4. En positiv x betyr at du går mot høyre; en negativ x betyr at du går mot venstre.
3. Gå langs x-aksen. Tell 4 enheter mot høyre. Tell hoppene mellom rutelinjene, og start på null.
4. Les y-koordinaten. Det andre tallet er 3. En positiv y betyr at du går opp; en negativ y betyr at du går ned.
5. Gå opp eller ned derfra. Fra 4 på x-aksen teller du 3 enheter opp. Hold blyanten på den samme loddrette linjen.
6. Merk og navngi punktet. Tegn en prikk og skriv P ved siden av. Sjekk så: ligger P 4 bortover og 3 opp fra origo?

Negative koordinater følger de samme stegene med motsatt retning. Punktet (−2, −3) ligger 2 til venstre og så 3 ned. Å se at −5 ligger til venstre for −2 på aksen er den samme ferdigheten som å ordne negative tall, og spillet om å sammenligne tall øver på den i nettleseren.

Spill gratis i nettleserenSammenlign tallBarnehage–1. trinn

Delen mange gjør feil: å bytte om x og y

Den vanligste feilen er å bytte om de to tallene, så (4, 3) havner i (3, 4). Begge punktene ser rimelige ut i rutenettet, og derfor overlever feilen et raskt blikk. To huskeregler hjelper: «x kommer før y i alfabetet» og «gå bortover gangen, så opp trappa».

Common Core bygger regelen inn i ordlyden: det første tallet viser hvor langt du skal gå «i retning av den ene aksen», det andre «i retning av den andre aksen», der «x-aksen og x-koordinaten, y-aksen og y-koordinaten» hører sammen (5.G.A.1). Et barn som sier «4 bortover, 3 opp» høyt før det tegner, bytter sjelden om tallene.

Hva er de fire kvadrantene i et koordinatsystem?

De fire kvadrantene er de fire områdene x-aksen og y-aksen deler koordinatsystemet i. OpenStax skriver at kvadrantene «er merket med romertall, med start øverst til høyre og videre mot klokka». Fortegnene til de to koordinatene avgjør kvadranten.

Wikipedia-artikkelen om kvadranter gir de samme fortegnene, I (+, +), II (−, +), III (−, −) og IV (+, −), og legger til at «aksene selv vanligvis ikke er en del av kvadrantene».

Les kvadranten bare ut fra fortegnene

Kvadranten kan leses ut fra fortegnene uten å tegne noe. For (−3, 2) betyr minus på x venstre og pluss på y opp, så punktet ligger i andre kvadrant. For (5, −1) gir høyre og ned fjerde kvadrant.

Standarden 6.NS.C.6b ber elevene i sjette skoleår i USA «forstå fortegnene til tallene i koordinatpar som tegn på plassering i kvadrantene i koordinatsystemet». Den nevner også at par som «bare skiller seg i fortegn», er speilinger om én eller begge aksene: (3, 2) og (−3, 2) er speilbilder av hverandre om y-aksen.

Spill og aktiviteter med koordinatsystemet hjemme

Spill med koordinatsystemet hjemme krever ruteark, en blyant og ti minutter. Hvert av dem øver på regelen «bortover, så opp» med en god grunn til å gjøre det riktig.

• Senke slagskip på ruteark: Hver spiller tegner akser fra −5 til 5 og gjemmer tre «skip» som punkter. Spillerne roper opp koordinatpar som (−2, 4), og et par i feil rekkefølge koster en tur. Med alle fire kvadrantene blir det øving for de eldste på mellomtrinnet.
• Tegn et bilde med punkter: Gi en liste med punkter som skal plasseres og bindes sammen i rekkefølge: (0, 0), (4, 0), (4, 3), (2, 5), (0, 3), (0, 0). Resultatet er et hus, og et ombyttet par viser seg med en gang som en skjev vegg.
• Skattekart: Merk origo som «hjem» på en skisse av hagen eller et rom, gjem en leke og skriv adressen som et koordinatpar som barnet skal finne.
• Forholdstabeller i rutenettet: Plasser parene fra en oppskriftstabell, (1, 2), (2, 4), (3, 6). Standarden 6.RP.A.3a ber barna «plassere verdiparene i koordinatsystemet», og guiden om forhold viser hvorfor punktene ligger på en rett linje.

Kartruter og koordinater

Kartruter og koordinater ser like ut, men de navngir ulike ting. En kartrute som «B-7» navngir en rute, så alt inni den ruten teller. Et koordinatpar som (2, 7) navngir ett enkelt punkt der to rutelinjer møtes.

Senke slagskip-brett og veiatlas bruker systemet som navngir ruter, og mattetimen bruker systemet som navngir punkter. Pek på dette én gang, så slutter forskjellen å skape forvirring.

Slik sjekker du framgangen med koordinatsystemet

Fem korte oppgaver viser om et barn forstår koordinatsystemet eller gjetter.

• Les tilbake: Plasser et punkt selv og spør etter koordinatparet. Et barn som svarer (3, 4) for et punkt 4 bortover og 3 opp, har byttet om tallene.
• Plasser begge veier: Be om (3, 4) og (4, 3) i det samme rutenettet. To ulike prikker betyr at rekkefølgeregelen sitter.
• Finn kvadranten: Les opp (−1, −6), (7, −2) og (−4, 9) og spør etter kvadrantene uten å tegne. Svarene er III, IV og II.
• Aksefella: Spør hvilken kvadrant (0, −3) ligger i. Riktig svar er «ingen, det ligger på y-aksen».
• Avstanden: Spør hvor langt (2, 1) ligger fra (2, 6). Svaret er 5 enheter, fordi bare y endrer seg.

En test på fem minutter ved kjøkkenbordet

En koordinattest på fem minutter blander tre punkter som skal plasseres, to spørsmål om kvadranter og én avstand. Yngre barn arbeider bare i første kvadrant (i USA sier 5.G.A.2 «plassere punkter i første kvadrant»), så vent med negative tall til barnet har lært dem på skolen.

Oversikten over hva barnet skal kunne i matte på hvert trinn viser hvor koordinater hører hjemme ved siden av brøk og desimaltall. Mattespillet for 5. trinn og mattespillet for 6. trinn øver på tallarbeidet under.

Vanlige feil og spesialtilfeller i koordinatsystemet

Fire feil står bak de fleste gale svarene med koordinater, og hver av dem har en kort løsning.

• Å bytte om x og y: (4, 3) blir plassert i (3, 4). Si «bortover, så opp» før hvert punkt.
• Å telle linjer i stedet for mellomrom: Barnet teller linjen i origo som 1 og havner én enhet for kort. Tell hoppene mellom linjene, og start på null.
• Å starte i hjørnet: I et rutenett med fire kvadranter er hjørnet nederst til venstre (−5, −5). Hver forflytning starter i origo.
• Å gi et punkt på en akse en kvadrant: (0, 5) ligger på y-aksen og (−2, 0) på x-aksen. Ingen av dem hører til en kvadrant.

Spesialtilfelle: avstand mellom punkter med samme x eller y

Punkter som har en felles koordinat, har en avstand du kan finne uten linjal. Standarden 6.NS.C.8 ber elevene bruke «koordinater og tallverdi til å finne avstander mellom punkter med samme første koordinat eller samme andre koordinat». Punktene A(4, 2) og B(−3, 2) har begge y = 2, så avstanden er forskjellen i x.

Ligger punktene på hver sin side av en akse, legger du sammen tallverdiene: |4| + |−3| = 4 + 3 = 7 enheter. Ligger de på samme side, trekker du fra: (2, 1) og (2, 6) ligger 6 − 1 = 5 enheter fra hverandre. Standarden 6.G.A.3 bruker den samme metoden for sidelengdene i mangekanter tegnet i rutenettet, og det knytter den til areal og omkrets.

Sjekklisten din for koordinatsystemet og neste steg

• Origo først: start hvert punkt i (0, 0).
• x, så y: gå bortover med det første tallet, og så opp eller ned med det andre.
• Fortegn gir retning: pluss er høyre eller opp, minus er venstre eller ned.
• Kvadranter mot klokka: I øverst til høyre, II øverst til venstre, III nederst til venstre, IV nederst til høyre.
• Aksene er grenser: et punkt med koordinaten 0 hører ikke til noen kvadrant.
• Samme x eller samme y: finn avstanden bare ut fra koordinatene.

Neste steg etter å plassere punkter er å tegne grafen til likninger som y = x + 1, der hver løsning blir et punkt i koordinatsystemet. Guiden om hvordan du løser likninger dekker algebraen, og likningsspillet øver på den i nettleseren.

Spill gratis i nettleserenLøs for x6. trinn+

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad og en kort daglig øving i negative tall og hoderegning, som ligger bak hvert spørsmål om koordinater. Spillerne kan også utfordre 1 til 4 venner eller familiemedlemmer i sanntidsdueller i matte, på hvilket som helst av 33 språk.