Le repère du plan : placer un point, lire ses coordonnées et repérer les quatre quadrants

Le devoir de votre enfant montre un quadrillage, un point et la consigne « lire les coordonnées du point », ce qui revient à une carte au trésor qui dit « 4 pas vers l'est, 3 pas vers le nord ». Alors, qu'est-ce qu'un repère ? Un repère du plan donne à chaque point d'un quadrillage une adresse exacte, et tout le chapitre repose sur une seule règle : d'abord on avance, ensuite on monte ou on descend.

Qu'est-ce qu'un repère du plan ?

Un repère du plan est formé de deux droites graduées qui se coupent à angle droit. La droite horizontale est l'axe des abscisses, la droite verticale est l'axe des ordonnées, et leur point de rencontre est l'origine, souvent notée O. Aux États-Unis, le standard Common Core 5.G.A.1 le décrit comme « une paire de droites graduées perpendiculaires, appelées axes », dont l'origine coïncide « avec le 0 de chaque droite ». Quand les deux axes ont la même unité, comme sur un quadrillage, on parle de repère orthonormé.

L'axe des abscisses compte vers la droite de l'origine avec des nombres positifs et vers la gauche avec des nombres négatifs. L'axe des ordonnées compte vers le haut avec des nombres positifs et vers le bas avec des nombres négatifs. Un enfant qui connaît la droite graduée connaît déjà chaque axe, et le guide sur les nombres négatifs couvre les moitiés gauche et basse.

Ce système porte le nom de repère cartésien, d'après René Descartes, dont La Géométrie a paru à Leyde en 1637. La biographie de Descartes sur MacTutor fait remonter la géométrie cartésienne à son « application de l'algèbre à la géométrie », tout en notant que des mathématiciens plus anciens avaient eu des idées voisines.

Les coordonnées s'écrivent (x ; y), et l'abscisse vient d'abord

Les coordonnées sont l'adresse d'un point, écrite sous la forme de deux nombres entre parenthèses : (x ; y). En France, on sépare les deux nombres par un point-virgule et on écrit A(4 ; 3). Le manuel OpenStax Prealgebra le définit ainsi : « un couple (x, y) donne les coordonnées d'un point dans un repère cartésien ». Le premier nombre, l'abscisse, dit de combien se déplacer vers la gauche ou la droite ; le second, l'ordonnée, dit de combien monter ou descendre.

Le mot « couple » contient la règle : l'ordre compte. Le point (2 ; 5) est à 2 vers la droite et 5 vers le haut, et le point (5 ; 2) est à 5 vers la droite et 2 vers le haut, donc ce sont deux endroits différents. L'origine elle-même est (0 ; 0).

Sur la figure, le point A a pour coordonnées (4 ; 2), le point B (−3 ; 2), le point C (−2 ; −3) et le point D (3 ; −4). Chaque point est dans un quadrant différent, et les signes de ses deux nombres indiquent lequel.

Comment placer un point dans un repère, étape par étape

Placer un point dans un repère consiste à partir de l'origine, à se déplacer le long de l'axe des abscisses du premier nombre, puis parallèlement à l'axe des ordonnées du second nombre. Prenons le point P(4 ; 3).

1. Trouvez l'origine. Posez la pointe du crayon sur (0 ; 0), là où les deux axes se croisent. Chaque déplacement part d'ici.
2. Lisez l'abscisse. Le premier nombre est 4. Une abscisse positive veut dire aller à droite ; une abscisse négative, aller à gauche.
3. Avancez le long de l'axe des abscisses. Comptez 4 unités vers la droite. Comptez les sauts entre les lignes du quadrillage, en partant de zéro.
4. Lisez l'ordonnée. Le second nombre est 3. Une ordonnée positive veut dire monter ; une ordonnée négative, descendre.
5. Montez ou descendez à partir de là. Depuis le 4 de l'axe des abscisses, comptez 3 unités vers le haut. Gardez le crayon sur la même ligne verticale.
6. Marquez et nommez le point. Faites une croix et écrivez P à côté. Puis vérifiez : P est-il bien à 4 vers la droite et 3 vers le haut depuis l'origine ?

Les coordonnées négatives suivent les mêmes étapes, avec les directions inversées. Le point (−2 ; −3) est à 2 vers la gauche, puis 3 vers le bas. Savoir que −5 est à gauche de −2 sur l'axe, c'est la même compétence que ranger des nombres relatifs, ce que le jeu de comparaison de nombres entraîne dans le navigateur.

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L'erreur classique : inverser abscisse et ordonnée

L'erreur la plus fréquente consiste à inverser les deux nombres, si bien que (4 ; 3) atterrit en (3 ; 4). Les deux points ont l'air plausibles sur le quadrillage, et c'est pour cela que l'erreur passe inaperçue. Deux astuces aident : « x vient avant y dans l'alphabet » et « on marche dans le couloir, puis on monte l'escalier ».

Le Common Core inscrit la règle dans sa formulation : le premier nombre indique de combien se déplacer « dans la direction d'un axe », le second « dans la direction du second axe », en associant « axe des x et coordonnée x, axe des y et coordonnée y » (5.G.A.1). Un enfant qui dit à voix haute « 4 vers la droite, 3 vers le haut » avant de tracer les inverse rarement.

Quels sont les quatre quadrants d'un repère ?

Les quatre quadrants d'un repère sont les quatre zones que l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées découpent dans le plan. OpenStax précise que les quadrants « sont désignés par des chiffres romains, en commençant en haut à droite et en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ». Les manuels français les numérotent plus rarement, mais la convention est la même partout. Les signes des deux coordonnées décident du quadrant.

L'article de Wikipédia sur les quadrants donne les mêmes signes, I (+ ; +), II (− ; +), III (− ; −) et IV (+ ; −), et ajoute que « les axes eux-mêmes ne font en général pas partie des quadrants ».

Trouver le quadrant avec les signes seulement

Le quadrant se lit sur les signes, sans rien tracer. Pour (−3 ; 2), le moins de l'abscisse veut dire à gauche et le plus de l'ordonnée veut dire en haut, donc le point est dans le quadrant II. Pour (5 ; −1), à droite et en bas donne le quadrant IV.

Le standard américain 6.NS.C.6b demande aux élèves de grade 6 de « comprendre que les signes des nombres d'un couple indiquent la position dans les quadrants du repère ». Il note aussi que des couples qui « ne diffèrent que par les signes » sont symétriques par rapport à un axe ou aux deux : (3 ; 2) et (−3 ; 2) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Jeux et activités sur le repère à la maison

Les jeux sur le repère à la maison demandent du papier quadrillé, un crayon et dix minutes. Chacun entraîne la règle « d'abord on avance, ensuite on monte » avec une bonne raison de ne pas se tromper.

• Bataille navale sur papier quadrillé : Chaque joueur trace des axes de −5 à 5 et cache trois « bateaux » sous forme de points. Les joueurs annoncent des coordonnées comme (−2 ; 4), et une annonce dans le mauvais ordre fait perdre un tour. Avec les quatre quadrants, le jeu devient un entraînement de 5e.
• Le dessin mystère : Donnez une liste de points à placer puis à relier dans l'ordre : (0 ; 0), (4 ; 0), (4 ; 3), (2 ; 5), (0 ; 3), (0 ; 0). Le résultat est une maison, et un couple inversé se voit tout de suite comme un mur tordu.
• La carte au trésor : Marquez l'origine comme « la maison » sur un croquis du jardin ou d'une pièce, cachez un jouet et écrivez son adresse sous forme de coordonnées pour que votre enfant le retrouve.
• Tableaux de proportionnalité dans un repère : Placez les couples d'un tableau de recette, (1 ; 2), (2 ; 4), (3 ; 6). Le standard 6.RP.A.3a demande de « placer les couples de valeurs dans le repère », et le guide sur les ratios montre pourquoi les points sont alignés.

Cases de la bataille navale ou coordonnées

Les cases d'une carte et les coordonnées se ressemblent, mais elles ne désignent pas la même chose. Une case comme « B7 » nomme un carré, et tout ce qui est à l'intérieur compte. Des coordonnées comme (2 ; 7) nomment un seul point, là où deux lignes du quadrillage se croisent.

La bataille navale et les plans de ville utilisent le système des cases, le cours de maths utilise celui des points. Signalez-le une fois et la différence ne crée plus de confusion.

Comment vérifier les progrès sur le repère

Cinq petites tâches montrent si un enfant comprend le repère ou s'il devine.

• La relecture : Placez vous-même un point et demandez ses coordonnées. Un enfant qui répond (3 ; 4) pour un point à 4 vers la droite et 3 vers le haut a inversé les nombres.
• Le placement croisé : Demandez (3 ; 4) et (4 ; 3) dans le même repère. Deux points différents montrent que la règle de l'ordre est acquise.
• L'annonce du quadrant : Lisez (−1 ; −6), (7 ; −2) et (−4 ; 9) et demandez les quadrants sans tracer. Les réponses sont III, IV et II.
• Le piège de l'axe : Demandez dans quel quadrant se trouve (0 ; −3). La bonne réponse est « aucun, il est sur l'axe des ordonnées ».
• La distance : Demandez quelle distance sépare (2 ; 1) de (2 ; 6). La réponse est 5 unités, car seule l'ordonnée change.

Un test de cinq minutes à la table de la cuisine

Un test de cinq minutes sur le repère mélange trois points à placer, deux quadrants à trouver et une distance. Le programme de mathématiques du cycle 4 place en 5e les nombres relatifs et, « dans le plan muni d'un repère orthogonal », l'objectif de « lire les coordonnées d'un point donné » et de « placer un point de coordonnées données ». Avant la 5e, restez dans le premier quadrant, sans nombres négatifs.

Le panorama de ce que chaque niveau doit savoir en maths montre où le repère se situe à côté des fractions et des nombres décimaux. Le jeu de maths pour le CM2 et le jeu de maths pour la 6e travaillent le calcul qui se cache dessous.

Erreurs fréquentes et cas particuliers sur le repère

Quatre erreurs causent la plupart des réponses fausses sur le repère, et chacune se corrige vite.

• Inverser abscisse et ordonnée : (4 ; 3) est placé en (3 ; 4). Dites « d'abord j'avance, ensuite je monte » avant chaque point.
• Compter les lignes au lieu des espaces : l'enfant compte la ligne de l'origine comme 1 et s'arrête une unité trop tôt. Comptez les sauts entre les lignes, en partant de zéro.
• Partir du coin : dans un repère à quatre quadrants, le coin en bas à gauche est (−5 ; −5). Chaque déplacement part de l'origine.
• Donner un quadrant à un point d'un axe : (0 ; 5) est sur l'axe des ordonnées et (−2 ; 0) sur l'axe des abscisses. Aucun des deux n'appartient à un quadrant.

Cas particulier : la distance entre deux points de même abscisse ou de même ordonnée

Deux points qui partagent une coordonnée ont une distance qui se trouve sans règle. Le standard 6.NS.C.8 demande d'utiliser « les coordonnées et la valeur absolue pour trouver la distance entre des points de même première coordonnée ou de même seconde coordonnée ». Les points A(4 ; 2) et B(−3 ; 2) ont la même ordonnée 2, donc la distance est l'écart entre les abscisses.

Quand les points sont de part et d'autre d'un axe, additionnez les distances à zéro : 4 + 3 = 7 unités. Quand ils sont du même côté, soustrayez : (2 ; 1) et (2 ; 6) sont à 6 − 1 = 5 unités l'un de l'autre. Le standard 6.G.A.3 applique la même méthode aux longueurs des côtés d'un polygone tracé dans le repère, ce qui mène à l'aire et au périmètre.

Votre liste de contrôle sur le repère et la suite

• L'origine d'abord : partez de (0 ; 0) pour chaque point.
• Abscisse, puis ordonnée : avancez du premier nombre, puis montez ou descendez du second.
• Les signes donnent la direction : plus, c'est à droite ou en haut ; moins, à gauche ou en bas.
• Quadrants dans le sens inverse des aiguilles d'une montre : I en haut à droite, II en haut à gauche, III en bas à gauche, IV en bas à droite.
• Les axes sont des frontières : un point avec une coordonnée nulle n'appartient à aucun quadrant.
• Même abscisse ou même ordonnée : trouvez la distance avec les coordonnées seules.

L'étape suivante après le placement de points, c'est la représentation graphique d'une fonction comme y = x + 1, où chaque solution devient un point du repère. Le guide sur comment résoudre une équation couvre l'algèbre, et le jeu des équations l'entraîne dans le navigateur.

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