Koordinatsystemet: så markerar du punkter och läser de fyra kvadranterna

Ditt barns läxa visar ett rutnät, en prick och frågan ”skriv punktens koordinater”, vilket är samma idé som en skattkarta där det står ”4 steg österut, 3 steg norrut”. Så vad är ett koordinatsystem? Koordinatsystemet ger varje punkt i ett plant rutnät en exakt adress, och hela området vilar på en enda regel: först i sidled, sedan uppåt eller nedåt.

Vad är ett koordinatsystem?

Ett koordinatsystem är ett plant rutnät av två tallinjer som korsar varandra i rät vinkel. Den vågräta linjen är x-axeln, den lodräta linjen är y-axeln, och punkten där de korsar varandra heter origo. Common Core-standarden 5.G.A.1 beskriver det som ett par vinkelräta tallinjer, kallade axlar, ordnade så att origo sammanfaller med nollan på varje linje. I Sverige står ”koordinatsystem och gradering av koordinataxlar” i Lgr22:s centrala innehåll för årskurs 4–6.

X-axeln räknar åt höger från origo med positiva tal och åt vänster med negativa tal. Y-axeln räknar uppåt med positiva tal och nedåt med negativa tal. Ett barn som kan tallinjen kan redan varje axel, och guiden om negativa tal tar upp den vänstra och den nedre halvan.

Systemet kallas det kartesiska koordinatsystemet efter René Descartes, vars La Géométrie gavs ut i Leiden 1637. MacTutors biografi över Descartes spårar den kartesiska geometrin till hans användning av algebra på geometri, men påpekar att tidigare matematiker hade liknande idéer.

Koordinaterna skrivs (x, y), och x kommer först

Koordinaterna är adressen till en punkt, skrivna som två tal inom parentes: (x, y). OpenStax Prealgebra kallar dem ett ordnat par som anger koordinaterna för en punkt i ett rätvinkligt koordinatsystem. Det första talet, x-koordinaten, säger hur långt du ska gå åt vänster eller höger; det andra, y-koordinaten, säger hur långt du ska gå uppåt eller nedåt.

Ordet ”ordnat” bär regeln. Punkten (2, 5) ligger 2 steg åt höger och 5 upp, och punkten (5, 2) ligger 5 steg åt höger och 2 upp, så de är olika platser. Origo själv är (0, 0).

I bilden är punkt A (4, 2), punkt B (−3, 2), punkt C (−2, −3) och punkt D (3, −4). Varje punkt ligger i en egen kvadrant, och tecknen på dess två tal visar vilken.

Så markerar du en punkt i koordinatsystemet, steg för steg

Att markera en punkt i koordinatsystemet betyder att du börjar i origo, går längs x-axeln så många steg som det första talet säger och sedan parallellt med y-axeln så många steg som det andra talet säger. Ta punkten P (4, 3).

1. Hitta origo. Sätt pennan på (0, 0), där de två axlarna korsar varandra. Varje förflyttning börjar här.
2. Läs x-koordinaten. Det första talet är 4. Ett positivt x betyder åt höger; ett negativt x betyder åt vänster.
3. Gå längs x-axeln. Räkna 4 steg åt höger. Räkna hoppen mellan rutlinjerna, med början i noll.
4. Läs y-koordinaten. Det andra talet är 3. Ett positivt y betyder uppåt; ett negativt y betyder nedåt.
5. Gå uppåt eller nedåt därifrån. Från 4:an på x-axeln räknar du 3 steg uppåt. Håll pennan på samma lodräta linje.
6. Markera och namnge punkten. Rita en prick och skriv P bredvid. Kontrollera sedan: ligger P 4 steg i sidled och 3 steg upp från origo?

Negativa koordinater följer samma steg med riktningarna omvända. Punkten (−2, −3) ligger 2 steg åt vänster och sedan 3 steg ner. Att avgöra att −5 ligger till vänster om −2 på axeln är samma färdighet som att storleksordna negativa tal, och det tränar spelet om att jämföra tal i webbläsaren.

Spela gratis i webbläsarenJämföra talFörskoleklass–åk 1

Där det oftast går fel: att byta plats på x och y

Det vanligaste felet är att byta plats på de två talen, så att (4, 3) hamnar på (3, 4). Båda punkterna ser rimliga ut i rutnätet, och därför överlever felet en snabb blick. Två minnesknep hjälper: ”x kommer före y i alfabetet” och ”gå först längs korridoren, sedan uppför trappan”.

Common Core bygger in regeln i sin formulering: det första talet visar hur långt man ska gå i en axels riktning, det andra i den andra axelns riktning, där x-axeln hör ihop med x-koordinaten och y-axeln med y-koordinaten (5.G.A.1). Ett barn som säger ”4 i sidled, 3 upp” högt innan det ritar byter sällan plats på talen.

Vilka är de fyra kvadranterna i ett koordinatsystem?

De fyra kvadranterna är de fyra områden som x-axeln och y-axeln delar koordinatsystemet i. OpenStax skriver att kvadranterna betecknas med romerska siffror, med början uppe till höger och vidare moturs. Tecknen på de två koordinaterna avgör kvadranten.

Wikipedias artikel om kvadranter anger samma tecken, I (+, +), II (−, +), III (−, −) och IV (+, −), och tillägger att axlarna själva i allmänhet inte räknas till någon kvadrant.

Att läsa av kvadranten bara från tecknen

Kvadranten kan läsas av från tecknen utan att du ritar något. För (−3, 2) betyder minus på x vänster och plus på y uppåt, så punkten ligger i kvadrant II. För (5, −1) ger höger och nedåt kvadrant IV.

Standarden 6.NS.C.6b kräver att amerikanska elever i årskurs 6 förstår tecknen i ett talpar som en anvisning om vilken kvadrant punkten ligger i. Den påpekar också att talpar som bara skiljer sig i tecknen är speglingar i en eller båda axlarna: (3, 2) och (−3, 2) speglar varandra i y-axeln.

Spel och aktiviteter med koordinatsystem hemma

Spel med koordinatsystem hemma kräver rutat papper, en penna och tio minuter. Vart och ett tränar regeln ”först i sidled, sedan upp” och ger en anledning att göra rätt.

• Sänka skepp på rutat papper: Varje spelare ritar axlar från −5 till 5 och gömmer tre ”skepp” som punkter. Spelarna ropar koordinater som (−2, 4), och den som säger talen i fel ordning förlorar sin tur. Med alla fyra kvadranterna blir det övning för högstadiet.
• Rita en bild med punkter: Ge en lista med punkter som ska markeras och bindas ihop i ordning: (0, 0), (4, 0), (4, 3), (2, 5), (0, 3), (0, 0). Resultatet blir ett hus, och ett omkastat talpar syns direkt som en sned vägg.
• Skattkarta: Markera origo som ”hemma” på en skiss över trädgården eller ett rum, göm en leksak och skriv dess adress som koordinater som ditt barn ska hitta.
• Proportionstabeller i ett rutnät: Markera talparen från en tabell i ett recept, (1, 2), (2, 4), (3, 6). Lgr22 nämner grafer för att uttrycka proportionella samband i årskurs 4–6, och guiden om förhållanden visar varför punkterna hamnar på en rak linje.

Kartrutor och koordinater

Kartrutor och koordinater ser likadana ut men anger olika saker. En rutangivelse på en karta, som ”B 7”, namnger en ruta, så allt inuti den rutan räknas. Ett koordinatpar som (2, 7) namnger en enda punkt där två rutlinjer möts.

Spelplanen i sänka skepp och vägkartor använder rutsystemet, och mattelektionen använder punktsystemet. Påpeka det en gång så slutar skillnaden att förvirra.

Så kontrollerar du framstegen med koordinatsystemet

Fem korta uppgifter visar om ett barn förstår koordinatsystemet eller gissar.

• Läs av: Markera själv en punkt och be om dess koordinater. Ett barn som svarar (3, 4) för en punkt 4 steg i sidled och 3 upp har bytt plats på talen.
• Markera åt båda hållen: Be om (3, 4) och (4, 3) i samma rutnät. Två olika prickar betyder att ordningsregeln sitter.
• Ange kvadranten: Läs upp (−1, −6), (7, −2) och (−4, 9) och fråga efter kvadranterna utan att rita. Svaren är III, IV och II.
• Axelfällan: Fråga vilken kvadrant (0, −3) ligger i. Rätt svar är ”ingen, den ligger på y-axeln”.
• Avståndet: Fråga hur långt det är från (2, 1) till (2, 6). Svaret är 5 längdenheter, eftersom bara y ändras.

Ett test på fem minuter vid köksbordet

Ett koordinattest på fem minuter blandar tre punkter att markera, två kvadrantfrågor och ett avstånd. Yngre barn arbetar bara i första kvadranten (den amerikanska standarden 5.G.A.2 talar om att markera punkter i första kvadranten), så vänta med negativa tal tills barnet har mött dem på tallinjen.

Översikten över vilken matte varje årskurs ska kunna visar var koordinater hör hemma bredvid bråk och decimaltal. Mattespelet för årskurs 5 och mattespelet för årskurs 6 tränar taluppfattningen under ytan.

Vanliga fel och gränsfall i koordinatsystemet

Fyra fel orsakar de flesta felsvaren om koordinater, och vart och ett har en snabb lösning.

• Att byta plats på x och y: (4, 3) markeras som (3, 4). Säg ”i sidled, sedan upp” före varje punkt.
• Att räkna linjer i stället för steg: Ett barn räknar linjen i origo som 1 och hamnar ett steg för kort. Räkna hoppen mellan linjerna, med början i noll.
• Att börja i hörnet: I ett rutnät med fyra kvadranter är det nedre vänstra hörnet (−5, −5). Varje förflyttning börjar i origo.
• Att ge en punkt på en axel en kvadrant: (0, 5) ligger på y-axeln och (−2, 0) på x-axeln. Ingen av dem tillhör en kvadrant.

Gränsfall: avståndet mellan punkter med samma x eller y

Punkter som har en koordinat gemensam har ett avstånd som du kan räkna ut utan linjal. Standarden 6.NS.C.8 kräver att eleverna använder koordinater och absolutbelopp för att räkna ut avstånd mellan punkter med samma första eller samma andra koordinat. Punkterna A (4, 2) och B (−3, 2) har båda y = 2, så avståndet är skillnaden i x.

När punkterna ligger på var sin sida om en axel adderar du absolutbeloppen: |4| + |−3| = 4 + 3 = 7 längdenheter. När de ligger på samma sida subtraherar du: (2, 1) och (2, 6) ligger 6 − 1 = 5 längdenheter från varandra. Standarden 6.G.A.3 använder samma metod för sidlängderna i månghörningar ritade i rutnätet, vilket leder vidare till area och omkrets.

Din checklista för koordinatsystemet och nästa steg

• Origo först: börja varje punkt i (0, 0).
• x, sedan y: gå i sidled med det första talet, sedan uppåt eller nedåt med det andra.
• Tecknen anger riktningen: plus är höger eller uppåt, minus är vänster eller nedåt.
• Kvadranter moturs: I uppe till höger, II uppe till vänster, III nere till vänster, IV nere till höger.
• Axlarna är gränser: en punkt med koordinaten 0 tillhör ingen kvadrant.
• Samma x eller samma y: räkna ut avståndet direkt från koordinaterna.

Nästa steg efter att markera punkter är att rita grafer till ekvationer som y = x + 1, där varje lösning blir en punkt i koordinatsystemet. Guiden om hur man löser ut x går igenom algebran, och spelet om att lösa ut x tränar den i webbläsaren.

Spela gratis i webbläsarenLös ut xÅk 6+

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad och en kort daglig övning i de negativa tal och den huvudräkning som varje koordinatfråga vilar på. Spelarna kan också utmana 1 till 4 vänner eller familjemedlemmar i matteduell i realtid, på något av 33 språk.