Das Koordinatensystem erklärt: Achsen, Quadranten und Punkte eintragen

Die Hausaufgabe Ihres Kindes zeigt ein Gitter, einen Punkt und die Frage „Gib die Koordinaten an“, und das ist dieselbe Idee wie eine Schatzkarte mit „4 Schritte nach Osten, 3 Schritte nach Norden“. Was ist also ein Koordinatensystem? Das Koordinatensystem gibt jedem Punkt auf einem Gitter eine genaue Adresse, und das ganze Thema beruht auf einer Regel: erst nach rechts oder links, dann nach oben oder unten.

Was ist ein Koordinatensystem?

Ein Koordinatensystem ist ein Gitter aus zwei Zahlenstrahlen, die sich im rechten Winkel schneiden. Die waagerechte Linie ist die x-Achse, die senkrechte die y-Achse, und ihr Schnittpunkt ist der Ursprung. Der Common-Core-Standard 5.G.A.1 aus den USA beschreibt es als zwei senkrecht zueinander stehende Zahlengeraden, die Achsen, deren Nullpunkte im Ursprung zusammenfallen.

Die x-Achse zählt vom Ursprung aus nach rechts mit positiven Zahlen und nach links mit negativen. Die y-Achse zählt nach oben positiv und nach unten negativ. Ein Kind, das den Zahlenstrahl kennt, kennt schon jede Achse, und der Leitfaden zu negativen Zahlen erklärt die linke und die untere Hälfte.

Das System heißt kartesisches Koordinatensystem, nach René Descartes, dessen La Géométrie 1637 in Leiden erschien. Die MacTutor-Biografie von Descartes führt die kartesische Geometrie auf seine Anwendung der Algebra auf die Geometrie zurück und weist darauf hin, dass frühere Mathematiker ähnliche Ideen hatten.

Ein Punkt heißt P(x|y), und x kommt zuerst

Die Koordinaten eines Punktes sind seine Adresse, in deutschen Schulbüchern geschrieben als P(x|y) mit einem senkrechten Strich. OpenStax Prealgebra nennt dieses Zahlenpaar ein geordnetes Paar, das die Koordinaten eines Punktes in einem rechtwinkligen Koordinatensystem angibt. Die erste Zahl, die x-Koordinate, sagt, wie weit es nach rechts oder links geht; die zweite, die y-Koordinate, wie weit nach oben oder unten.

Das Wort „geordnet“ trägt die Regel. Der Punkt (2|5) liegt 2 rechts und 5 oben, der Punkt (5|2) liegt 5 rechts und 2 oben, also sind es verschiedene Orte. Der Ursprung selbst ist O(0|0).

Im Bild liegt A bei (4|2), B bei (−3|2), C bei (−2|−3) und D bei (3|−4). Jeder Punkt liegt in einem anderen Quadranten, und die Vorzeichen seiner beiden Zahlen verraten, in welchem.

Punkte im Koordinatensystem eintragen: Schritt für Schritt

Einen Punkt ins Koordinatensystem eintragen heißt: im Ursprung starten, um die erste Zahl entlang der x-Achse gehen und dann um die zweite Zahl parallel zur y-Achse. Nehmen Sie den Punkt P(4|3).

1. Den Ursprung finden. Setzen Sie den Bleistift auf O(0|0), wo sich die beiden Achsen schneiden. Jede Bewegung beginnt hier.
2. Die x-Koordinate lesen. Die erste Zahl ist 4. Ein positives x heißt nach rechts, ein negatives x nach links.
3. Entlang der x-Achse gehen. Zählen Sie 4 Einheiten nach rechts. Zählen Sie die Sprünge zwischen den Gitterlinien, beginnend bei null.
4. Die y-Koordinate lesen. Die zweite Zahl ist 3. Ein positives y heißt nach oben, ein negatives y nach unten.
5. Von dort nach oben oder unten gehen. Zählen Sie von der 4 auf der x-Achse 3 Einheiten nach oben. Bleiben Sie mit dem Bleistift auf derselben senkrechten Linie.
6. Den Punkt markieren und beschriften. Zeichnen Sie ein kleines Kreuz und schreiben Sie P daneben. Prüfen Sie dann: Liegt P 4 nach rechts und 3 nach oben vom Ursprung?

Negative Koordinaten folgen denselben Schritten mit umgekehrter Richtung. Der Punkt (−2|−3) liegt 2 nach links, dann 3 nach unten. Zu entscheiden, dass −5 auf der Achse links von −2 liegt, ist dieselbe Fähigkeit wie das Ordnen negativer Zahlen, die das Spiel zum Zahlenvergleich im Browser trainiert.

Gratis im Browser spielenZahlen vergleichenVorschule–Klasse 1

Der typische Fehler: x und y vertauschen

Der häufigste Fehler beim Eintragen vertauscht die beiden Zahlen, sodass (4|3) bei (3|4) landet. Beide Punkte sehen auf dem Gitter plausibel aus, deshalb überlebt der Fehler einen kurzen Blick. Zwei Merkhilfen helfen: „x kommt im Alphabet vor y“ und „erst durch den Flur, dann die Treppe hoch“.

Der Common-Core-Standard 5.G.A.1 baut die Regel in seinen Wortlaut ein: Die erste Zahl gibt an, wie weit man in Richtung der einen Achse geht, die zweite, wie weit in Richtung der zweiten Achse, wobei x-Achse und x-Koordinate sowie y-Achse und y-Koordinate zusammengehören. Ein Kind, das vor dem Zeichnen laut „4 rüber, 3 hoch“ sagt, vertauscht sie selten.

Was sind die vier Quadranten im Koordinatensystem?

Die vier Quadranten sind die vier Felder, in die x-Achse und y-Achse das Koordinatensystem teilen. OpenStax beschreibt, dass die Quadranten mit römischen Zahlen bezeichnet werden, beginnend rechts oben und weiter gegen den Uhrzeigersinn. Die Vorzeichen der beiden Koordinaten bestimmen den Quadranten.

Der Wikipedia-Artikel über Quadranten nennt dieselben Vorzeichen, I (+|+), II (−|+), III (−|−) und IV (+|−), und ergänzt, dass die Achsen selbst im Allgemeinen nicht zu den Quadranten gehören.

Den Quadranten allein an den Vorzeichen ablesen

Den Quadranten kann man an den Vorzeichen ablesen, ohne etwas zu zeichnen. Bei (−3|2) bedeutet das Minus bei x links und das Plus bei y oben, also liegt der Punkt im II. Quadranten. Bei (5|−1) ergibt rechts und unten den IV. Quadranten.

Der Standard 6.NS.C.6b verlangt in den USA in Klasse 6, die Vorzeichen der Koordinaten als Hinweis auf den Quadranten zu verstehen. Er hält auch fest, dass Punkte, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, Spiegelbilder an einer oder beiden Achsen sind: (3|2) und (−3|2) liegen spiegelbildlich zur y-Achse.

Koordinatensystem-Spiele und Übungen für zu Hause

Koordinatensystem-Spiele für zu Hause brauchen Karopapier, einen Bleistift und zehn Minuten. Jedes übt die Regel „erst rüber, dann hoch“ mit einem guten Grund, es richtig zu machen.

• Schiffe versenken mit Koordinaten: Jeder zeichnet Achsen von −5 bis 5 und versteckt drei „Schiffe“ als Punkte. Die Spieler rufen Koordinaten wie (−2|4), und ein Ruf in falscher Reihenfolge kostet einen Zug. Mit allen vier Quadranten wird daraus Übung für Klasse 6 und 7.
• Ein Bild zeichnen: Geben Sie eine Liste von Punkten vor, die nacheinander verbunden werden: (0|0), (4|0), (4|3), (2|5), (0|3), (0|0). Heraus kommt ein Haus, und ein vertauschtes Zahlenpaar zeigt sich sofort als schiefe Wand.
• Schatzkarte: Markieren Sie auf einer Skizze vom Garten oder Zimmer den Ursprung als „Zuhause“, verstecken Sie ein Spielzeug und schreiben Sie seine Koordinaten auf, damit Ihr Kind es findet.
• Verhältnistabellen im Gitter: Tragen Sie die Zahlenpaare aus einer Rezepttabelle ein, (1|2), (2|4), (3|6). Der Standard 6.RP.A.3a verlangt, solche Wertepaare ins Koordinatensystem einzutragen, und der Leitfaden zu Verhältnissen zeigt, warum die Punkte auf einer Linie liegen.

Planquadrate und Koordinaten

Planquadrate und Koordinaten sehen ähnlich aus, bezeichnen aber Verschiedenes. Ein Planquadrat wie „B7“ im Stadtplan benennt ein Kästchen, also zählt alles in diesem Kästchen. Ein Punkt wie (2|7) benennt einen einzigen Punkt, an dem sich zwei Gitterlinien kreuzen.

Das klassische Schiffe versenken und Stadtpläne nutzen die Kästchen-Schreibweise, der Mathematikunterricht die Punkt-Schreibweise. Weisen Sie einmal darauf hin, dann sorgt der Unterschied nicht mehr für Verwirrung.

So prüfen Sie den Lernstand beim Koordinatensystem

Fünf kurze Aufgaben zeigen, ob ein Kind das Koordinatensystem versteht oder rät.

• Das Ablesen: Tragen Sie selbst einen Punkt ein und fragen Sie nach seinen Koordinaten. Ein Kind, das für einen Punkt 4 rüber und 3 hoch (3|4) antwortet, hat die Zahlen vertauscht.
• Das Gegenstück: Lassen Sie (3|4) und (4|3) ins selbe Gitter eintragen. Zwei verschiedene Kreuze zeigen, dass die Reihenfolge sitzt.
• Die Quadrantenfrage: Lesen Sie (−1|−6), (7|−2) und (−4|9) vor und fragen Sie ohne Zeichnung nach den Quadranten. Die Antworten sind III, IV und II.
• Die Achsenfalle: Fragen Sie, in welchem Quadranten (0|−3) liegt. Richtig ist „in keinem, er liegt auf der y-Achse“.
• Der Abstand: Fragen Sie, wie weit (2|1) von (2|6) entfernt ist. Die Antwort ist 5 Einheiten, weil sich nur y ändert.

Ein Fünf-Minuten-Test am Küchentisch

Ein Fünf-Minuten-Test zum Koordinatensystem mischt drei Punkte zum Eintragen, zwei Quadrantenfragen und eine Abstandsfrage. Der Bildungsplan Baden-Württemberg für die Klassen 5 und 6 verlangt, „Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und die Koordinaten von Punkten ablesen“ zu können; lassen Sie negative Zahlen weg, bis Ihr Kind sie im Unterricht hatte.

Der Überblick, was Kinder in jeder Klasse in Mathe können sollten, zeigt, wo das Koordinatensystem neben Brüchen und Dezimalzahlen steht. Das Mathespiel für die 5. Klasse und das Mathespiel für die 6. Klasse üben die Rechenarbeit darunter.

Typische Fehler und Sonderfälle im Koordinatensystem

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten im Koordinatensystem, und jeder hat eine kurze Lösung.

• x und y vertauschen: (4|3) wird bei (3|4) eingetragen. Vor jedem Punkt „erst rüber, dann hoch“ sagen.
• Linien statt Abstände zählen: Ein Kind zählt die Linie im Ursprung als 1 und landet eine Einheit zu kurz. Die Sprünge zwischen den Linien zählen, beginnend bei null.
• In der Ecke starten: Bei einem Gitter mit vier Quadranten ist die linke untere Ecke (−5|−5). Jede Bewegung beginnt im Ursprung.
• Einem Achsenpunkt einen Quadranten geben: (0|5) liegt auf der y-Achse und (−2|0) auf der x-Achse. Keiner der beiden gehört zu einem Quadranten.

Sonderfall: Abstand zwischen Punkten mit gleichem x oder y

Punkte mit einer gemeinsamen Koordinate haben einen Abstand, den man ohne Lineal findet. Der Standard 6.NS.C.8 verlangt, mit Koordinaten und Beträgen Abstände zwischen Punkten zu bestimmen, die in der ersten oder der zweiten Koordinate übereinstimmen. Die Punkte A(4|2) und B(−3|2) haben beide y = 2, also ist der Abstand die Lücke in x.

Liegen die Punkte auf verschiedenen Seiten einer Achse, addiert man die Beträge: |4| + |−3| = 4 + 3 = 7 Einheiten. Liegen sie auf derselben Seite, subtrahiert man: (2|1) und (2|6) sind 6 − 1 = 5 Einheiten voneinander entfernt. Der Standard 6.G.A.3 nutzt dieselbe Methode für die Seitenlängen von Vielecken im Gitter, was zu Flächeninhalt und Umfang führt.

Ihre Koordinatensystem-Checkliste und die nächsten Schritte

• Zuerst der Ursprung: jeden Punkt in O(0|0) beginnen.
• Erst x, dann y: um die erste Zahl nach rechts oder links, dann um die zweite nach oben oder unten.
• Vorzeichen geben die Richtung: Plus heißt rechts oder oben, Minus heißt links oder unten.
• Quadranten gegen den Uhrzeigersinn: I rechts oben, II links oben, III links unten, IV rechts unten.
• Achsen sind Grenzen: Ein Punkt mit einer 0 als Koordinate gehört zu keinem Quadranten.
• Gleiches x oder gleiches y: den Abstand allein aus den Koordinaten bestimmen.

Nach dem Eintragen von Punkten kommen Funktionsgraphen wie y = x + 1, bei denen jede Lösung zu einem Punkt im Koordinatensystem wird. Der Leitfaden Gleichungen nach x auflösen erklärt die Algebra dazu, und das Spiel zum Lösen von Gleichungen übt sie im Browser.

Gratis im Browser spielenNach x auflösenKlasse 6+

MathIt ist eine kostenlose App für iOS und Android mit rund 90 Spieltypen, angepasster Schwierigkeit und kurzem täglichem Üben der negativen Zahlen und des Kopfrechnens hinter jeder Aufgabe im Koordinatensystem. Sie können außerdem 1 bis 4 Freunde oder Familienmitglieder zu Mathe-Duellen in Echtzeit herausfordern, in jeder von 33 Sprachen.