Układ współrzędnych na płaszczyźnie: jak zaznaczać punkty i czytać cztery ćwiartki

W zadaniu domowym twojego dziecka jest kratka, kropka i polecenie „podaj współrzędne punktu”, czyli ta sama idea co mapa skarbów z napisem „4 kroki na wschód, 3 kroki na północ”. Czym więc jest układ współrzędnych? Układ współrzędnych daje każdemu punktowi na płaskiej kratce dokładny adres, a cały temat opiera się na jednej zasadzie: najpierw w bok, potem w górę lub w dół.

Co to jest układ współrzędnych?

Układ współrzędnych na płaszczyźnie to płaska kratka utworzona przez dwie osie liczbowe przecinające się pod kątem prostym. Pozioma prosta to oś x, nazywana osią odciętych, pionowa to oś y, czyli oś rzędnych, a punkt ich przecięcia to początek układu współrzędnych. Standard Common Core 5.G.A.1 opisuje go jako parę prostopadłych osi liczbowych, ustawionych tak, by początek układu pokrywał się z zerem na każdej osi.

Oś x liczy w prawo od początku układu liczbami dodatnimi, a w lewo ujemnymi. Oś y liczy w górę liczbami dodatnimi, a w dół ujemnymi. Dziecko, które zna oś liczbową, zna już każdą z osi, a poradnik o liczbach ujemnych omawia lewą i dolną połowę.

Ten układ nazywa się kartezjańskim od René Descartes’a (po łacinie Cartesius), którego La Géométrie ukazała się w Lejdzie w 1637 roku. Biografia Descartes’a w serwisie MacTutor wywodzi geometrię kartezjańską z jego zastosowania algebry w geometrii i zauważa, że wcześniejsi matematycy mieli podobne pomysły.

Współrzędne to (x, y), a x jest pierwsze

Współrzędne to adres jednego punktu, zapisywany jako dwie liczby w nawiasie: (x, y). W polskich zeszytach pisze się zwykle A = (4, 2) albo A(4, 2). Podręcznik OpenStax Prealgebra definiuje to tak: uporządkowana para (x, y) podaje współrzędne punktu w prostokątnym układzie współrzędnych. Pierwsza liczba, odcięta, mówi, o ile przesunąć się w lewo lub w prawo; druga, rzędna, mówi, o ile przesunąć się w górę lub w dół.

Słowo „uporządkowana” niesie całą zasadę. Punkt (2, 5) leży 2 w prawo i 5 w górę, a punkt (5, 2) leży 5 w prawo i 2 w górę, więc to różne miejsca. Sam początek układu to (0, 0).

Na rysunku A = (4, 2), B = (−3, 2), C = (−2, −3) i D = (3, −4). Każdy punkt leży w innej ćwiartce, a znaki jego dwóch liczb mówią, w której.

Jak zaznaczyć punkt w układzie współrzędnych krok po kroku

Zaznaczenie punktu w układzie współrzędnych to start w początku układu, ruch wzdłuż osi x o pierwszą liczbę, a potem ruch równoległy do osi y o drugą liczbę. Weź punkt P = (4, 3).

1. Znajdź początek układu. Postaw ołówek w punkcie (0, 0), gdzie przecinają się osie. Każdy ruch zaczyna się tutaj.
2. Odczytaj pierwszą współrzędną. Pierwsza liczba to 4. Dodatnie x znaczy ruch w prawo, ujemne x ruch w lewo.
3. Przesuń się wzdłuż osi x. Odlicz 4 jednostki w prawo. Licz skoki między liniami kratki, zaczynając od zera.
4. Odczytaj drugą współrzędną. Druga liczba to 3. Dodatnie y znaczy ruch w górę, ujemne y ruch w dół.
5. Przesuń się w górę lub w dół. Od 4 na osi x odlicz 3 jednostki w górę. Trzymaj ołówek na tej samej pionowej linii.
6. Zaznacz i podpisz punkt. Narysuj kropkę i napisz obok P. Potem sprawdź: czy P leży 4 w bok i 3 w górę od początku układu?

Ujemne współrzędne działają tak samo, tylko kierunki się odwracają. Punkt (−2, −3) to 2 w lewo, potem 3 w dół. Ustalenie, że −5 leży na osi na lewo od −2, to ta sama umiejętność co porównywanie liczb ujemnych, którą ćwiczy gra w porównywanie liczb w przeglądarce.

Zagraj za darmo w przeglądarcePorównywanie liczbZerówka–klasa 1

Gdzie pojawia się błąd: zamiana x i y

Najczęstszy błąd przy zaznaczaniu punktów to zamiana liczb miejscami, przez co (4, 3) ląduje w (3, 4). Oba punkty wyglądają na kratce rozsądnie, dlatego błąd przetrwa szybkie spojrzenie. Pomagają dwa haczyki pamięciowe: „x jest w alfabecie przed y” oraz „najpierw idziesz korytarzem, potem wchodzisz po schodach”.

Common Core wpisuje tę zasadę w samo sformułowanie: pierwsza liczba mówi, jak daleko iść w kierunku jednej osi, druga w kierunku drugiej osi, przy czym oś x pasuje do pierwszej współrzędnej, a oś y do drugiej (5.G.A.1). Dziecko, które przed rysowaniem mówi na głos „4 w bok, 3 w górę”, rzadko zamienia liczby.

Jakie są cztery ćwiartki układu współrzędnych?

Cztery ćwiartki to cztery części, na które oś x i oś y dzielą płaszczyznę. OpenStax podaje, że ćwiartki oznacza się cyframi rzymskimi, zaczynając od prawej górnej i idąc przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Tak samo numeruje się je w polskich podręcznikach. O ćwiartce decydują znaki obu współrzędnych.

Artykuł Wikipedii o ćwiartkach podaje te same znaki, I (+, +), II (−, +), III (−, −) i IV (+, −), i dodaje, że same osie na ogół nie należą do żadnej ćwiartki.

Odczytywanie ćwiartki z samych znaków

Ćwiartkę można odczytać ze znaków, nic nie rysując. Dla (−3, 2) minus przy x znaczy w lewo, a plus przy y znaczy w górę, więc punkt leży w ćwiartce II. Dla (5, −1) w prawo i w dół daje ćwiartkę IV.

Standard 6.NS.C.6b prosi amerykańskich szóstoklasistów, by rozumieli znaki liczb w parze jako wskazówkę położenia w ćwiartkach układu. Zauważa też, że pary różniące się tylko znakami to odbicia względem jednej lub obu osi: (3, 2) i (−3, 2) są swoimi lustrzanymi odbiciami względem osi y.

Gry i zabawy z układem współrzędnych w domu

Gry z układem współrzędnych w domu wymagają kartki w kratkę, ołówka i dziesięciu minut. Każda ćwiczy zasadę „najpierw w bok, potem w górę” i daje powód, żeby zrobić to dobrze.

• Statki na kartce w kratkę: Każdy gracz rysuje osie od −5 do 5 i ukrywa trzy „statki” jako punkty. Gracze podają współrzędne, na przykład (−2, 4), a pomylona kolejność kosztuje ruch. Wszystkie cztery ćwiartki zamieniają grę w ćwiczenie z liczb ujemnych.
• Obrazek z punktów: Podaj listę punktów do zaznaczenia i połączenia po kolei: (0, 0), (4, 0), (4, 3), (2, 5), (0, 3), (0, 0). Wychodzi domek, a zamieniona para od razu pokazuje się jako krzywa ściana.
• Mapa skarbów: Na szkicu ogrodu albo pokoju zaznacz początek układu jako „dom”, ukryj zabawkę i zapisz jej adres jako współrzędne, które dziecko ma odnaleźć.
• Tabele proporcji na kratce: Zaznacz pary z przepisu kulinarnego, (1, 2), (2, 4), (3, 6). Standard 6.RP.A.3a prosi o zaznaczanie par wartości w układzie współrzędnych, a poradnik o proporcjach pokazuje, dlaczego punkty układają się w linię.

Siatka na mapie a współrzędne

Siatka na mapie i współrzędne wyglądają podobnie, ale nazywają co innego. Oznaczenie z mapy, takie jak „B-7”, nazywa kwadrat, więc liczy się wszystko w jego środku. Para współrzędnych, taka jak (2, 7), nazywa jeden punkt, w którym przecinają się dwie linie kratki.

Plansze do gry w statki i atlasy drogowe używają nazywania kwadratów, a lekcja matematyki nazywania punktów. Wystarczy raz to pokazać, a różnica przestaje mylić.

Jak sprawdzić postępy z układem współrzędnych

Pięć krótkich zadań pokazuje, czy dziecko rozumie układ współrzędnych, czy zgaduje.

• Odczyt: Zaznacz punkt samodzielnie i zapytaj o jego współrzędne. Dziecko, które dla punktu 4 w bok i 3 w górę odpowiada (3, 4), zamieniło liczby.
• Odwrotne zaznaczanie: Poproś o (3, 4) i (4, 3) na tej samej kratce. Dwie różne kropki znaczą, że zasada kolejności jest opanowana.
• Nazwanie ćwiartki: Przeczytaj (−1, −6), (7, −2) i (−4, 9) i zapytaj o ćwiartki bez rysowania. Odpowiedzi to III, IV i II.
• Pułapka osi: Zapytaj, w której ćwiartce leży (0, −3). Poprawna odpowiedź to „w żadnej, leży na osi y”.
• Odległość: Zapytaj, jak daleko jest (2, 1) od (2, 6). Odpowiedź to 5 jednostek, bo zmienia się tylko y.

Pięciominutowy test przy kuchennym stole

Pięciominutowy test z układu współrzędnych łączy trzy punkty do zaznaczenia, dwa pytania o ćwiartki i jedną odległość. W Polsce podstawa programowa matematyki dla szkoły podstawowej umieszcza układ współrzędnych w klasach VII–VIII: uczeń „rysuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty kratowe o danych współrzędnych całkowitych (dowolnego znaku)”. Młodszym dzieciom daj na początek tylko pierwszą ćwiartkę (w USA standard 5.G.A.2 robi to w klasie 5), a liczby ujemne dodaj później.

Przegląd tego, czego z matematyki dziecko uczy się w każdej klasie, pokazuje, gdzie współrzędne leżą obok ułamków i ułamków dziesiętnych. Gra matematyczna dla 5 klasy i gra matematyczna dla 6 klasy ćwiczą działania, na których to się opiera.

Typowe błędy w układzie współrzędnych i przypadki szczególne

Cztery błędy odpowiadają za większość złych odpowiedzi, a każdy ma krótkie rozwiązanie.

• Zamiana x i y: (4, 3) zostaje zaznaczone w (3, 4). Przed każdym punktem mów „w bok, potem w górę”.
• Liczenie linii zamiast odstępów: Dziecko liczy linię przechodzącą przez początek układu jako 1 i ląduje o jednostkę za blisko. Licz skoki między liniami, zaczynając od zera.
• Start z rogu: Na kratce z czterema ćwiartkami lewy dolny róg to (−5, −5). Każdy ruch zaczyna się w początku układu.
• Przypisanie ćwiartki punktowi na osi: (0, 5) leży na osi y, a (−2, 0) na osi x. Żaden z nich nie należy do ćwiartki.

Przypadek szczególny: odległość między punktami o tym samym x lub y

Punkty, które mają wspólną współrzędną, mają odległość, którą obliczysz bez linijki. Standard 6.NS.C.8 prosi o użycie współrzędnych i wartości bezwzględnej do obliczania odległości między punktami o tej samej pierwszej lub drugiej współrzędnej. Punkty A = (4, 2) i B = (−3, 2) mają wspólne y = 2, więc odległość to różnica w x.

Gdy punkty leżą po przeciwnych stronach osi, dodaj wartości bezwzględne: |4| + |−3| = 4 + 3 = 7 jednostek. Gdy leżą po tej samej stronie, odejmij: (2, 1) i (2, 6) dzieli 6 − 1 = 5 jednostek. Standard 6.G.A.3 używa tej samej metody do długości boków wielokątów narysowanych na kratce, co łączy się z polem i obwodem. Polska podstawa idzie dalej: w klasach VII–VIII uczeń oblicza długość dowolnego odcinka o końcach w punktach kratowych, z twierdzenia Pitagorasa.

Twoja lista kontrolna układu współrzędnych i następne kroki

• Najpierw początek układu: każdy punkt zaczynaj od (0, 0).
• Najpierw x, potem y: przesuń się w bok o pierwszą liczbę, potem w górę lub w dół o drugą.
• Znaki wyznaczają kierunek: plus to w prawo lub w górę, minus w lewo lub w dół.
• Ćwiartki przeciwnie do wskazówek zegara: I prawa górna, II lewa górna, III lewa dolna, IV prawa dolna.
• Osie to granice: punkt ze współrzędną 0 nie należy do żadnej ćwiartki.
• To samo x lub to samo y: odległość obliczysz z samych współrzędnych.

Następny krok po zaznaczaniu punktów to wykresy równań takich jak y = x + 1, gdzie każde rozwiązanie staje się punktem na płaszczyźnie. Poradnik o tym, jak rozwiązywać równania, omawia algebrę, a gra w rozwiązywanie równań ćwiczy ją w przeglądarce.

Zagraj za darmo w przeglądarceRozwiąż równanieKlasa 6+

MathIt to darmowa aplikacja na iOS i Android z około 90 rodzajami gier, adaptacyjnym poziomem trudności i krótkimi codziennymi ćwiczeniami z liczb ujemnych i liczenia w pamięci, na których opiera się każde zadanie z układem współrzędnych. Możesz też wyzwać od 1 do 4 przyjaciół albo członków rodziny na matematyczne pojedynki na żywo, w dowolnym z 33 języków.