Plano cartesiano: como marcar pontos e ler os quatro quadrantes

A lição de casa do seu filho mostra um quadriculado, um ponto e a pergunta "escreva o par ordenado", que é a mesma ideia de um mapa do tesouro que diz "4 passos para o leste, 3 passos para o norte". Então, o que é o plano cartesiano? O plano cartesiano dá a cada ponto de um quadriculado um endereço exato, e o assunto todo se apoia numa regra só: primeiro para o lado, depois para cima ou para baixo.

O que é o plano cartesiano?

O plano cartesiano é um quadriculado formado por duas retas numéricas que se cruzam em ângulo reto. A reta horizontal é o eixo x, ou eixo das abscissas, a vertical é o eixo y, ou eixo das ordenadas, e o ponto onde elas se cruzam é a origem. O padrão 5.G.A.1 do Common Core descreve o plano como "um par de retas numéricas perpendiculares, chamadas eixos", com a origem "posicionada de modo a coincidir com o 0 de cada reta". No Brasil, a BNCC pede no 5º ano "interpretar, descrever e representar a localização ou movimentação de objetos no plano cartesiano (1º quadrante), utilizando coordenadas cartesianas" (EF05MA15).

O eixo x conta para a direita da origem com números positivos e para a esquerda com números negativos. O eixo y conta para cima com números positivos e para baixo com números negativos. Quem já conhece a reta numérica já conhece cada eixo, e o guia de números negativos cobre as metades da esquerda e de baixo.

O sistema se chama sistema de coordenadas cartesianas por causa de René Descartes, cujo La Géométrie foi publicado em Leiden em 1637. A biografia de Descartes no MacTutor liga a geometria cartesiana à "aplicação da álgebra à geometria" feita por ele, e lembra que matemáticos anteriores já tinham ideias parecidas.

O par ordenado é (x, y), e o x vem primeiro

O par ordenado é o endereço de um ponto, escrito como dois números entre parênteses: (x, y). O OpenStax Prealgebra define assim: "um par ordenado (x, y) dá as coordenadas de um ponto num sistema de coordenadas retangulares". O primeiro número, a abscissa x, diz quanto andar para a esquerda ou para a direita; o segundo, a ordenada y, diz quanto andar para cima ou para baixo.

A palavra "ordenado" carrega a regra. O ponto (2, 5) fica 2 para a direita e 5 para cima, e o ponto (5, 2) fica 5 para a direita e 2 para cima, então são lugares diferentes. A origem é (0, 0). Os livros brasileiros escrevem o par com vírgula, como A(4, 2); quando as coordenadas têm vírgula decimal, alguns usam ponto e vírgula, como (2,5; 3).

No desenho, o ponto A é (4, 2), o ponto B é (−3, 2), o ponto C é (−2, −3) e o ponto D é (3, −4). Cada ponto fica num quadrante diferente, e os sinais dos dois números dizem qual. O desenho numera os quadrantes em algarismos romanos; na escola brasileira eles costumam ser chamados de 1º, 2º, 3º e 4º quadrante.

Como marcar um ponto no plano cartesiano, passo a passo

Marcar um ponto no plano cartesiano é partir da origem, andar pelo eixo x o valor do primeiro número e depois andar na direção do eixo y o valor do segundo. Pegue o ponto P(4, 3).

1. Ache a origem. Ponha o lápis em (0, 0), onde os dois eixos se cruzam. Todo movimento começa aqui.
2. Leia a abscissa. O primeiro número é 4. Um x positivo manda andar para a direita; um x negativo, para a esquerda.
3. Ande pelo eixo x. Conte 4 unidades para a direita. Conte os saltos entre as linhas do quadriculado, começando do zero.
4. Leia a ordenada. O segundo número é 3. Um y positivo manda subir; um y negativo, descer.
5. Suba ou desça a partir dali. Do 4 no eixo x, conte 3 unidades para cima. Mantenha o lápis na mesma linha vertical.
6. Marque e nomeie o ponto. Faça um ponto e escreva P ao lado. Depois confira: P está 4 para o lado e 3 para cima a partir da origem?

Coordenadas negativas seguem os mesmos passos com as direções invertidas. O ponto (−2, −3) fica 2 para a esquerda e depois 3 para baixo. Saber que −5 fica à esquerda de −2 no eixo é a mesma habilidade de ordenar números negativos, que o jogo de comparar números treina no navegador.

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Onde quase todo mundo erra: trocar o x e o y

O erro mais comum ao marcar pontos é trocar os dois números, e o (4, 3) vai parar em (3, 4). Os dois pontos parecem razoáveis no quadriculado, e por isso o erro passa numa olhada rápida. Duas dicas ajudam: "o x vem antes do y no alfabeto" e "primeiro anda pelo corredor, depois sobe a escada".

O Common Core põe a regra no próprio texto: o primeiro número mostra quanto andar "na direção de um eixo", o segundo "na direção do segundo eixo", com "eixo x e coordenada x, eixo y e coordenada y" combinando (5.G.A.1). A criança que fala "4 para o lado, 3 para cima" em voz alta antes de desenhar raramente troca os números.

Quais são os quatro quadrantes do plano cartesiano?

Os quatro quadrantes do plano cartesiano são as quatro regiões em que o eixo x e o eixo y dividem o plano. O OpenStax diz que os quadrantes "são identificados por algarismos romanos, começando no canto superior direito e seguindo no sentido anti-horário". Os sinais das duas coordenadas decidem o quadrante.

O artigo da Wikipédia sobre quadrantes traz os mesmos sinais, I (+, +), II (−, +), III (−, −) e IV (+, −), e acrescenta que "os próprios eixos, em geral, não fazem parte dos quadrantes".

Ler o quadrante só pelos sinais

Dá para ler o quadrante pelos sinais sem desenhar nada. Em (−3, 2), o menos no x quer dizer esquerda e o mais no y quer dizer cima, então o ponto está no 2º quadrante. Em (5, −1), direita e baixo dão o 4º quadrante.

O padrão 6.NS.C.6b pede que alunos americanos "entendam os sinais dos números nos pares ordenados como indicação de posição nos quadrantes do plano cartesiano". Ele também observa que pares que "diferem só nos sinais" são reflexos em relação a um ou aos dois eixos: (3, 2) e (−3, 2) são simétricos em relação ao eixo y. A BNCC pede o mesmo no 7º ano: "reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem" (EF07MA20).

Jogos e atividades com o plano cartesiano em casa

Os jogos com o plano cartesiano em casa pedem papel quadriculado, um lápis e dez minutos. Cada um treina a regra "primeiro para o lado, depois para cima" com um motivo para acertar.

• Batalha naval no papel quadriculado: Cada jogador desenha eixos de −5 a 5 e esconde três "navios" como pontos. Os jogadores falam pares ordenados como (−2, 4), e um par dito na ordem errada perde a vez. Usar os quatro quadrantes transforma o jogo em prática do 7º ano.
• Desenho com pontos: Dê uma lista de pontos para marcar e ligar em ordem: (0, 0), (4, 0), (4, 3), (2, 5), (0, 3), (0, 0). O resultado é uma casa, e um par trocado aparece na hora como uma parede torta.
• Mapa do tesouro: Marque a origem como "casa" num desenho do quintal ou de um cômodo, esconda um brinquedo e escreva o endereço dele como par ordenado para a criança achar.
• Tabelas de proporção no quadriculado: Marque os pares de uma tabela de receita, (1, 2), (2, 4), (3, 6). O padrão 6.RP.A.3a pede que a criança "marque os pares de valores no plano cartesiano", e o guia de razões mostra por que os pontos ficam alinhados.

Mapa quadriculado e coordenadas

Mapas quadriculados e coordenadas parecem iguais, mas nomeiam coisas diferentes. Uma referência de mapa como "B-7" nomeia um quadradinho, então tudo dentro dele conta. Um par ordenado como (2, 7) nomeia um único ponto, onde duas linhas do quadriculado se cruzam.

O tabuleiro da batalha naval e os guias de ruas usam o sistema que nomeia quadradinhos, e a aula de matemática usa o que nomeia pontos. Mostre isso uma vez e a diferença para de confundir.

Como acompanhar o progresso com o plano cartesiano

Cinco tarefas curtas mostram se a criança entende o plano cartesiano ou está chutando.

• A leitura de volta: Marque você um ponto e peça o par ordenado. A criança que responde (3, 4) para um ponto 4 para o lado e 3 para cima trocou os números.
• A marcação ao contrário: Peça (3, 4) e (4, 3) no mesmo quadriculado. Dois pontos diferentes mostram que a regra da ordem está firme.
• O quadrante falado: Leia em voz alta (−1, −6), (7, −2) e (−4, 9) e peça os quadrantes sem desenhar. As respostas são 3º, 4º e 2º.
• A armadilha do eixo: Pergunte em que quadrante fica (0, −3). A resposta certa é "em nenhum, está sobre o eixo y".
• A distância: Pergunte qual a distância entre (2, 1) e (2, 6). A resposta é 5 unidades, porque só o y muda.

Um teste de cinco minutos na mesa da cozinha

Um teste de coordenadas de cinco minutos mistura três marcações, dois quadrantes e uma distância. No 5º e no 6º ano a criança trabalha só no 1º quadrante (a BNCC fala em "pontos do plano cartesiano do 1º quadrante" no EF06MA16), então deixe os números negativos para o 7º ano.

O panorama do que a criança deve saber de matemática em cada ano mostra onde as coordenadas ficam ao lado das frações e dos decimais. O jogo de matemática para o 5º ano e o jogo de matemática para o 6º ano cobrem as contas por trás.

Erros comuns no plano cartesiano e casos especiais

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas de coordenadas, e cada um tem uma correção curta.

• Trocar o x e o y: O (4, 3) vai parar em (3, 4). Fale "primeiro para o lado, depois para cima" antes de cada ponto.
• Contar linhas em vez de espaços: A criança conta a linha da origem como 1 e para uma unidade antes. Conte os saltos entre as linhas, começando do zero.
• Começar pelo canto: Num quadriculado com os quatro quadrantes, o canto de baixo à esquerda é (−5, −5). Todo movimento começa na origem.
• Dar quadrante a um ponto do eixo: (0, 5) está sobre o eixo y e (−2, 0) está sobre o eixo x. Nenhum dos dois pertence a um quadrante.

Caso especial: distância entre pontos com o mesmo x ou o mesmo y

Pontos que têm uma coordenada em comum têm uma distância que se acha sem régua. O padrão 6.NS.C.8 pede que o aluno use "coordenadas e valor absoluto para achar distâncias entre pontos com a mesma primeira coordenada ou a mesma segunda coordenada". Os pontos A(4, 2) e B(−3, 2) têm y = 2 em comum, então a distância é a diferença no x.

Quando os pontos estão em lados opostos de um eixo, some os módulos: |4| + |−3| = 4 + 3 = 7 unidades. Quando estão do mesmo lado, subtraia: (2, 1) e (2, 6) ficam a 6 − 1 = 5 unidades um do outro. O padrão 6.G.A.3 usa o mesmo método para as medidas dos lados de polígonos desenhados no quadriculado, o que leva a área e perímetro.

Sua lista de verificação do plano cartesiano e próximos passos

• Origem primeiro: comece todo ponto em (0, 0).
• x, depois y: ande para o lado pelo primeiro número e depois para cima ou para baixo pelo segundo.
• Sinais dão a direção: mais é direita ou cima, menos é esquerda ou baixo.
• Quadrantes no sentido anti-horário: 1º em cima à direita, 2º em cima à esquerda, 3º embaixo à esquerda, 4º embaixo à direita.
• Eixos são fronteiras: um ponto com coordenada 0 não pertence a nenhum quadrante.
• Mesmo x ou mesmo y: ache a distância só pelas coordenadas.

O próximo passo depois de marcar pontos é fazer o gráfico de equações como y = x + 1, em que cada solução vira um ponto do plano. O guia de como resolver equações cobre a álgebra, e o jogo de resolver equações treina no navegador.

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