平面直角坐标系讲解：怎样描点，怎样判断点在第几象限

孩子的作业上画着一张方格图、一个点，题目要求“写出这个点的坐标”，这和藏宝图上写的“向东走 4 步，向北走 3 步”是同一个道理。那么，什么是平面直角坐标系？它让方格平面上的每个点都有一个准确的“地址”，整个内容只靠一条规则：先横着走，再上下走。

什么是平面直角坐标系？

平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成的平面网格。水平的数轴叫 x 轴（横轴），竖直的数轴叫 y 轴（纵轴），两条轴的交点叫原点。美国共同核心标准 5.G.A.1把它描述为一对互相垂直、叫作坐标轴的数轴，并让原点和两条数轴上的 0 重合。

x 轴从原点向右是正数，向左是负数；y 轴从原点向上是正数，向下是负数。认识数轴的孩子其实已经认识了每一条坐标轴，负数讲解讲的就是向左和向下的那两半。

国内小学五年级上册先学用数对表示位置，比如 (3, 2) 表示第 3 列第 2 行；七年级下册再学平面直角坐标系、四个象限和负数坐标。教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》包括数学课程标准，自 2022 年秋季学期起执行。

这种坐标系也叫笛卡儿坐标系，得名于勒内·笛卡儿，他的《几何学》1637 年在荷兰莱顿出版。MacTutor 数学史网站的笛卡儿传记把笛卡儿几何追溯到他“把代数应用于几何”，同时也指出更早的数学家已经有过相近的想法。

有序数对写成 (x, y)，x 在前

有序数对是一个点的“地址”，写成括号里的两个数：(x, y)。OpenStax《Prealgebra》的定义是：有序数对 (x, y) 给出直角坐标系中一个点的坐标。第一个数是横坐标，表示向左或向右走多远；第二个数是纵坐标，表示向上或向下走多远。

“有序”两个字说的就是这条规则。点 (2, 5) 是向右 2、向上 5，点 (5, 2) 是向右 5、向上 2，它们是两个不同的位置。原点本身是 (0, 0)。

图中点 A 是 (4, 2)，点 B 是 (−3, 2)，点 C 是 (−2, −3)，点 D 是 (3, −4)。每个点在不同的象限里，看它两个坐标的符号就知道在哪个象限。

怎样一步一步在坐标系里描点

在坐标系里描点，就是从原点出发，先沿 x 轴按第一个数移动，再沿平行于 y 轴的方向按第二个数移动。以点 P(4, 3) 为例。

1. 找到原点。 把铅笔放在两条轴的交点 (0, 0) 上。每次移动都从这里开始。
2. 读横坐标。 第一个数是 4。横坐标是正数就向右，是负数就向左。
3. 沿 x 轴移动。 向右数 4 个单位。从 0 开始，数格线之间的“跳”。
4. 读纵坐标。 第二个数是 3。纵坐标是正数就向上，是负数就向下。
5. 再向上或向下移动。 从 x 轴上的 4 出发，向上数 3 个单位。铅笔要一直沿着同一条竖线走。
6. 描点并标上字母。 画一个点，在旁边写上 P。再检查一遍：P 是不是在原点右边 4、上面 3？

负数坐标也是同样的步骤，只是方向反过来。点 (−2, −3) 是先向左 2，再向下 3。判断 −5 在数轴上位于 −2 的左边，和比较负数大小是同一种能力，比较数的大小游戏可以在浏览器里练习。

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最容易错的地方：把 x 和 y 弄反

描点最常见的错误是把两个数对调，(4, 3) 被描到了 (3, 4)。两个点在方格图上看起来都说得通，所以粗看一眼很难发现。有两个小口诀可以帮忙：“横坐标在前，纵坐标在后”，以及“先走平路，再上楼梯”。

共同核心标准在措辞里也强调了这条规则：第一个数表示沿一条坐标轴的方向走多远，第二个数表示沿另一条坐标轴的方向走多远，x 轴对应横坐标，y 轴对应纵坐标（5.G.A.1）。描点前先大声说一遍“横着 4，向上 3”的孩子，很少会弄反。

坐标系的四个象限是什么？

坐标系的四个象限，是 x 轴和 y 轴把坐标平面分成的四个区域。OpenStax写道，象限从右上方开始按逆时针方向编号；英文教材用罗马数字 I 到 IV，国内教材叫第一、二、三、四象限。点在哪个象限，由两个坐标的符号决定。

维基百科的象限条目列出了同样的符号：第一象限 (+, +)、第二象限 (−, +)、第三象限 (−, −)、第四象限 (+, −)，并补充说坐标轴本身一般不属于任何象限。

只看符号判断象限

不用画图，只看符号也能判断象限。点 (−3, 2) 的横坐标带负号，表示向左；纵坐标是正数，表示向上，所以在第二象限。点 (5, −1) 向右、向下，在第四象限。

美国标准 6.NS.C.6b 要求六年级学生理解有序数对中数的符号表示点在哪个象限。它还指出，只有符号不同的两个数对，互为关于一条或两条坐标轴的对称点：(3, 2) 和 (−3, 2) 关于 y 轴对称。

在家玩的坐标游戏和小活动

在家玩坐标游戏，只要一张坐标纸、一支铅笔和十分钟。每个游戏都在练“先横后竖”，而且孩子有理由把它做对。

• 坐标纸上的海战棋： 每人画一个两条轴都从 −5 到 5 的坐标系，把三艘“船”藏成三个点。轮流报有序数对，比如 (−2, 4)，报反了顺序就停一轮。用上全部四个象限，就成了七年级的练习。
• 描点画图： 给出一串点，让孩子按顺序描出并连起来：(0, 0)、(4, 0)、(4, 3)、(2, 5)、(0, 3)、(0, 0)。连出来是一座房子，哪个数对弄反了，墙马上就歪了。
• 藏宝图： 在院子或房间的草图上把原点标为“家”，藏一个玩具，把它的位置写成有序数对，让孩子去找。
• 在方格上画比例表： 把食谱比例表里的数对 (1, 2)、(2, 4)、(3, 6) 描出来。美国标准 6.RP.A.3a 要求孩子把成对的数值描在坐标平面上，比讲解说明了这些点为什么在一条直线上。

地图上的格子和坐标

地图上的格子和坐标看起来很像，标的却是不同的东西。地图上的“B-7”这样的格子编号指的是一个方格，方格里的任何地方都算。坐标 (2, 7) 指的是两条格线相交的那一个点。

海战棋的棋盘和交通地图册用的是给方格编号的办法，数学课用的是给点编号的办法。给孩子说清一次，这种混淆就不会再出现。

怎么检查孩子有没有学会坐标系

五个小任务就能看出孩子是真懂坐标系，还是在猜。

• 读坐标： 你先描一个点，让孩子写出它的坐标。一个在右边 4、上面 3 的点，孩子写成 (3, 4)，就是把两个数弄反了。
• 反过来描： 让孩子在同一张图上描出 (3, 4) 和 (4, 3)。描出两个不同的点，说明顺序规则掌握了。
• 说出象限： 读出 (−1, −6)、(7, −2) 和 (−4, 9)，不画图，问它们各在第几象限。答案是第三、第四和第二象限。
• 坐标轴陷阱： 问 (0, −3) 在第几象限。正确答案是“不在任何象限，它在 y 轴上”。
• 距离： 问 (2, 1) 和 (2, 6) 相距多远。答案是 5 个单位，因为只有纵坐标变了。

五分钟小测

五分钟坐标小测包括三次描点、两次判断象限和一次求距离。只学过数对的小学生只在第一象限里练（美国标准 5.G.A.2 也只要求在第一象限描点），负数坐标留到学过负数以后再练。

每个年级应该掌握哪些数学这篇说明了坐标和分数、小数在各年级的位置。五年级数学游戏和六年级数学游戏练的是背后的计算。

坐标系的常见错误和特殊情况

坐标题的错答大多来自四种错误，每种都有简单的纠正办法。

• 把 x 和 y 弄反： (4, 3) 被描成了 (3, 4)。每描一个点之前都说一遍“先横后竖”。
• 数线而不是数格： 孩子把原点那条线数成 1，结果少走一个单位。从 0 开始，数格线之间的“跳”。
• 从角上开始数： 在有四个象限的方格图上，左下角是 (−5, −5)。每次移动都要从原点开始。
• 给坐标轴上的点安排象限： (0, 5) 在 y 轴上，(−2, 0) 在 x 轴上，它们都不属于任何象限。

特殊情况：横坐标或纵坐标相同的两点间的距离

有一个坐标相同的两个点，不用尺子就能求出距离。美国标准 6.NS.C.8 要求学生用坐标和绝对值，求横坐标相同或纵坐标相同的两点之间的距离。点 A(4, 2) 和 B(−3, 2) 的纵坐标都是 2，所以距离就是横坐标之差。

两点在坐标轴两侧时，把绝对值相加：|4| + |−3| = 4 + 3 = 7 个单位。两点在同一侧时，相减：(2, 1) 和 (2, 6) 相距 6 − 1 = 5 个单位。美国标准 6.G.A.3 用同样的方法求坐标纸上多边形的边长，这就和面积和周长联系起来了。

坐标系检查清单和下一步

• 从原点出发： 每个点都从 (0, 0) 开始描。
• 先 x 后 y： 先按第一个数横着走，再按第二个数上下走。
• 符号定方向： 正号是向右或向上，负号是向左或向下。
• 象限按逆时针： 第一象限在右上，第二象限在左上，第三象限在左下，第四象限在右下。
• 坐标轴是分界线： 有一个坐标是 0 的点不属于任何象限。
• 横坐标或纵坐标相同： 只看坐标就能求出两点间的距离。

学会描点之后，下一步是画 y = x + 1 这样的函数图像，方程的每一个解都是坐标平面上的一个点。怎样解方程求 x 讲了其中的代数，解方程游戏可以在浏览器里练习。

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