Les types de triangles et les types d'angles : le guide des parents

Vous coupez un sandwich carré en diagonale, et votre enfant de CM1 demande quel genre de triangles forment les deux moitiés. Les devoirs veulent deux noms pour chaque triangle et un angle manquant, et aigu, obtus et isocèle finissent par se ressembler après l'école. Les types de triangles et les types d'angles tiennent sur une page dès qu'on connaît les deux questions derrière chaque nom : combien de côtés sont égaux, et quelle est la taille du plus grand angle ?

Quels sont les types d'angles ?

Les cinq types d'angles sont l'angle aigu, droit, obtus, plat et rentrant, et chacun se définit par sa mesure en degrés. Le standard américain Common Core 4.MD.C.5 définit le degré lui-même : un angle qui tourne de 1/360 de tour est un angle d'un degré, donc un tour complet fait 360°.

• Angle aigu : moins de 90°. Les aiguilles d'une horloge à 1 h ou à 2 h forment des angles aigus (30° et 60°).
• Angle droit : exactement 90°, un coin carré. Les aiguilles à 3 h en forment un.
• Angle obtus : plus de 90° et moins de 180°. Les aiguilles à 4 h forment 120°.
• Angle plat : exactement 180°, une ligne droite. Les aiguilles à 6 h pointent dans des directions opposées.
• Angle rentrant : plus de 180° et moins de 360°. L'extérieur de l'angle de 4 h, par le grand côté, mesure 360° − 120° = 240°.

Une porte montre la même échelle : entrouverte, elle forme un angle aigu avec son cadre ; ouverte à angle droit, un angle droit.

Reconnaître un angle sans rapporteur

Le coin d'une feuille d'imprimante est un angle droit, et il classe n'importe quel angle en une seconde. Glissez le coin de la feuille dans l'angle : si l'angle se cache dans le coin, il est aigu ; si les deux coïncident, il est droit ; si l'angle s'ouvre plus que la feuille, il est obtus.

C'est aussi la méthode de l'école primaire. Le programme de mathématiques du cycle 3 précise qu'au CM2 « l'unité degré est introduite à partir de la mesure de l'angle droit », que « l'utilisation d'un instrument de mesure des angles (rapporteur) ne relève pas du CM2 et sera introduite au collège », et qu'au cours moyen les élèves ne travaillent qu'avec des angles saillants, c'est-à-dire de moins de 180°. En 6e, le même programme demande de connaître le lexique : « angle droit, angle plat, angle plein, angle nul, angle aigu, angle obtus ».

Comment classer un triangle, étape par étape

Un triangle se classe selon ses côtés et selon ses angles, donc son nom complet a deux mots. Quatre étapes donnent les deux.

1. Comptez les côtés égaux. Trois côtés égaux font un triangle équilatéral, deux côtés égaux un triangle isocèle, et aucun côté égal un triangle quelconque. Sur une figure, les côtés égaux portent le même codage, de petits traits identiques.
2. Trouvez le plus grand angle. Le plus grand angle est en face du plus long côté. Vérifiez-le avec le coin de la feuille de la section précédente.
3. Nommez le type d'angle. Si le plus grand angle mesure moins de 90°, le triangle est acutangle ; s'il mesure exactement 90°, le triangle est rectangle ; s'il mesure plus de 90°, le triangle est obtusangle.
4. Assemblez les deux noms. Votre sandwich carré, coupé en diagonale, donne deux triangles rectangles isocèles : deux côtés égaux, des angles de 90°, 45° et 45°. Un sandwich rectangulaire coupé de la même façon donne deux triangles rectangles quelconques.

Le dessin montre les six noms dans l'ordre. La rangée du haut, de gauche à droite, donne équilatéral, isocèle et quelconque ; celle du bas, acutangle (plus grand angle 70°), rectangle (90°) et obtusangle (120°).

L'erreur la plus fréquente

Un triangle ne peut avoir qu'un seul angle droit ou un seul angle obtus, et les enfants dessinent souvent un « triangle » qui en a deux. Deux angles droits font déjà 90° + 90° = 180°, le total du triangle entier, donc le troisième angle mesurerait 0° et les côtés resteraient parallèles à l'infini.

Le même fait signifie que tout triangle a au moins deux angles aigus, et c'est pourquoi le nom ne dépend que du plus grand angle.

Les types de triangles côte à côte

Les six types de triangles se répartissent en deux familles de trois, l'une selon les côtés, l'autre selon les angles. Chaque triangle porte un nom de chaque famille.

Certaines combinaisons n'existent jamais. Un triangle équilatéral est toujours acutangle, car ses angles mesurent tous 60°, donc un triangle « rectangle équilatéral » ou « obtusangle équilatéral » ne peut pas exister. Le triangle rectangle isocèle (90°, 45°, 45°) et le triangle obtusangle isocèle (120°, 30°, 30°) existent bel et bien.

Quels noms votre enfant doit connaître, et dans quelle classe

En France, les noms de triangles arrivent au CM1 : le programme du cycle 3 demande de « reconnaître et nommer » le triangle, le triangle rectangle, le triangle isocèle et le triangle équilatéral « en faisant référence à leur définition ». Les mots « acutangle » et « obtusangle » ne figurent pas dans le programme ; en classe, on dit plutôt « triangle qui a un angle obtus ». Le mot « quelconque » est le terme de l'école pour un triangle sans côté égal.

En 6e, l'élève apprend à « connaître la valeur de la somme des mesures des angles d'un triangle », puis en 5e le programme de mathématiques du cycle 4 demande de « connaitre la somme des angles d'un triangle et savoir la démontrer » et de calculer le troisième angle à partir des deux autres. Les angles supplémentaires figurent au programme de 6e ; les angles complémentaires n'y sont pas nommés. Aux États-Unis, les noms d'angles arrivent en grade 4 (4.G.A.1), l'équivalent du CM1, et la preuve des 180° attend le grade 8 (8.G.A.5). Voir ce que chaque classe doit savoir en maths pour le reste de chaque année.

La règle des 180° et les angles manquants

Les trois angles d'un triangle font toujours 180° au total. OpenStax Prealgebra l'énonce ainsi : pour tout triangle ABC, la somme des mesures des angles est 180°.

Un angle manquant vaut 180° moins les deux angles connus. Avec des angles de 50° et 60°, le troisième angle mesure 180° − 50° − 60° = 70°. Vérifiez en additionnant : 50° + 60° + 70° = 180°.

Un triangle rectangle n'a besoin que d'un seul angle connu. L'angle droit prend 90°, donc un triangle rectangle qui a un angle de 35° a un troisième angle de 180° − 90° − 35° = 55°.

Deux autres faits sur les angles utilisent la même soustraction. Deux angles complémentaires font 90°, donc le complément de 35° est 90° − 35° = 55° ; deux angles supplémentaires font 180°, donc le supplément de 50° est 180° − 50° = 130°. OpenStax les définit de la même façon : si la somme des mesures de deux angles vaut 180°, les angles sont supplémentaires.

Trouver le troisième angle, c'est une soustraction à deux chiffres, souvent avec retenue, comme 180 − 65 = 115. Le guide sur la soustraction avec retenue aide quand le zéro de 180 pose problème.

Jouer gratuitement dans le navigateurSoustraire des nombres à deux chiffresCP–CE1

Le test des coins déchirés prouve la règle des 180° à la maison. Dessinez un triangle, coloriez ses coins, découpez-le, déchirez les trois coins et alignez leurs pointes le long d'une règle : ils remplissent toujours une ligne droite, soit 180°. Le standard Common Core 8.G.A.5 propose la même idée, avec trois copies du même triangle dont les trois angles semblent former une ligne.

Comment calculer l'aire d'un triangle

L'aire d'un triangle est la moitié de la base multipliée par la hauteur : A = b × h : 2. La hauteur se mesure perpendiculairement à la base jusqu'au sommet opposé, donc elle n'est égale à un côté que dans un triangle rectangle.

La formule vient du rectangle. Coupez un rectangle de 8 cm sur 5 cm en diagonale, comme le sandwich, et chaque moitié est un triangle de 8 cm de base et 5 cm de hauteur. Le rectangle couvre 8 × 5 = 40 cm², donc chaque triangle couvre 40 : 2 = 20 cm².

OpenStax écrit la formule A = ½bh, où b est la base et h la hauteur. Diviser par 2 et multiplier par ½, c'est la même étape (voir les fractions expliquées aux parents). En France, le programme du cycle 4 place l'aire du triangle en 5e, après le travail sur le rectangle décrit dans l'aire et le périmètre.

Comment vérifier les progrès sur les triangles et les angles

Cinq questions rapides montrent si un enfant connaît les noms ou s'il devine.

• La question de l'horloge : quel angle forment les aiguilles à 3 h, à 6 h et à 2 h ? Droit (90°), plat (180°) et aigu (60°).
• La question des deux noms : quels sont les deux noms d'un triangle qui a des angles de 90°, 45° et 45° ? Rectangle isocèle.
• L'angle manquant : un triangle a des angles de 40° et 75°. Le troisième mesure 180° − 40° − 75° = 65°.
• Le triangle impossible : un triangle peut-il avoir des angles de 100° et de 90° ? Non, car 100° + 90° = 190°, déjà plus que 180°.
• La question de l'aire : un triangle a 10 cm de base et 6 cm de hauteur. Son aire est 10 × 6 : 2 = 30 cm².

Un test de cinq minutes à la maison

Un test de cinq minutes à la maison marche mieux avec de vrais objets. Pliez une serviette, coupez une tartine, montrez un cintre, et demandez deux noms pour chaque triangle, avec le coin de la feuille pour seul outil.

Si les noms sont acquis mais que les angles manquants bloquent, la lacune est la soustraction à partir de 180. Le jeu de maths pour le CM1 entraîne le calcul de cette classe, et le jeu de maths parents-enfants transforme l'entraînement en partie à jouer ensemble.

Erreurs fréquentes et cas particuliers

Quatre erreurs causent la plupart des mauvaises réponses sur les triangles et les angles.

• Nommer à l'œil : un triangle qui a l'air rectangle est déclaré rectangle sans vérification. Utilisez le coin de la feuille ou l'angle donné, car 85° et 90° se ressemblent.
• Lire « acutangle » comme un seul angle aigu : tout triangle a au moins deux angles aigus. Un triangle acutangle doit avoir ses trois angles sous 90°.
• Soustraire à partir de 360° : un enfant calcule l'angle manquant d'un triangle comme 360° − 50° − 60° = 250°. Les angles d'un triangle font 180° ; 360°, c'est le tour complet autour d'un point.
• Prendre le côté penché pour la hauteur : dans un triangle acutangle ou obtusangle, la hauteur est perpendiculaire à la base, et elle est plus courte que le côté penché.

Un triangle équilatéral est-il aussi isocèle ?

Un triangle équilatéral est aussi isocèle selon la définition large, qui dit qu'un triangle isocèle a au moins deux côtés égaux. Les manuels ne sont pas tous d'accord : certains définissent l'isocèle comme ayant exactement deux côtés égaux, et OpenStax écrit qu'un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Vérifiez la définition du manuel de votre enfant. La lecture large correspond à l'idée qu'un cas particulier garde toutes les propriétés de sa famille.

Votre liste de contrôle sur les triangles et les angles et la suite

• Coin de feuille : gardez une feuille à portée de main pour vérifier les angles droits.
• Deux questions : pour chaque triangle, comptez les côtés égaux, puis trouvez le plus grand angle.
• Deux noms : dites les deux, comme rectangle quelconque ou isocèle obtusangle.
• Vérification des 180° : additionnez les trois angles après chaque angle manquant.
• Aire divisée par 2 : multipliez la base par la hauteur, divisez par 2 et écrivez le résultat en unités d'aire.
• Problèmes : quand une question d'angle se présente sous forme d'histoire, les étapes de comment résoudre un problème de maths aident à choisir l'opération.

MathIt est une application gratuite pour iOS et Android, avec environ 90 types de jeux, une difficulté adaptative et un court entraînement quotidien qui garde la soustraction, la multiplication et la division par 2 rapides pour les angles manquants et les aires. Les enfants peuvent aussi défier de 1 à 4 amis ou membres de la famille dans des duels de calcul en temps réel, dans l'une des 33 langues de l'application.