Aire et périmètre expliqués : la clôture, le tapis et les formules

Le devoir de CM1 de votre enfant montre un rectangle de 6 cm de long et 4 cm de large, demande l'aire et le périmètre, et les réponses reviennent en 10 et 24, ou en 24 et 24. L'aire et le périmètre sont deux mesures de la même figure, et les enfants les confondent parce que les deux partent des mêmes longueurs de côtés. Une seule image explique ce qu'est le périmètre et ce qu'est l'aire : le périmètre, c'est la clôture autour du jardin, et l'aire, c'est le tapis sur le sol.

Quelle est la différence entre l'aire et le périmètre ?

Le périmètre est la longueur du tour d'une figure, et l'aire est la surface plane qu'elle occupe. OpenStax Prealgebra le résume en deux lignes : le périmètre est « une mesure de la distance autour d'une figure », et l'aire est « une mesure de la surface couverte par une figure ».

Pour un carré potager, la clôture qui l'entoure est son périmètre, en mètres, et la terre à l'intérieur est son aire, en mètres carrés.

Le rectangle de 6 sur 4 du devoir montre les deux à la fois. En faisant le tour, on parcourt 6 + 4 + 6 + 4 = 20 unités ; en comptant les carreaux à l'intérieur, on trouve 4 rangées de 6, soit 6 × 4 = 24 unités carrées.

Pourquoi les enfants confondent les deux

Les enfants confondent l'aire et le périmètre parce que les deux questions utilisent les deux mêmes nombres, et un enfant qui ne s'est pas représenté la figure choisit une opération au hasard. Additionner 6 + 4 donne 10, qui n'est aucune des deux réponses, et multiplier donne 24, qui n'est que l'aire.

Aux États-Unis, les deux notions arrivent en grade 3, l'équivalent du CE2. Le standard Common Core 3.MD.C.7a demande de « trouver l'aire d'un rectangle dont les côtés sont des nombres entiers en le pavant, et de montrer que l'aire est la même que celle obtenue en multipliant les longueurs des côtés ». Le standard 3.MD.D.8 ajoute ensuite le périmètre et demande de montrer « des rectangles de même périmètre et d'aires différentes, ou de même aire et de périmètres différents », puis le 4.MD.A.3 passe à « appliquer les formules de l'aire et du périmètre des rectangles dans des problèmes concrets et mathématiques ».

La France avance un peu plus tard. Le programme de mathématiques du cycle 3 demande au CM1 de « savoir ce qu'est le périmètre d'une figure plane » et précise que « l'aire est introduite au CM1 », d'abord en comparant des surfaces puis avec un quadrillage. Au CM2, l'élève apprend à « déterminer l'aire d'un carré ou d'un rectangle », et ce n'est qu'en 6e que les formules du périmètre et de l'aire « s'installent progressivement ». L'Angleterre suit un chemin proche. Les programmes de mathématiques anglais demandent en Year 4 de « trouver l'aire de figures à angles droits en comptant les carreaux », et en Year 6 de « reconnaître que des figures de même aire peuvent avoir des périmètres différents, et inversement ». Le tour d'horizon de ce que votre enfant doit savoir en maths à chaque niveau montre où ces notions se placent à côté de la multiplication et des fractions.

Comment calculer le périmètre et l'aire d'un rectangle, étape par étape

Le périmètre d'un rectangle vaut 2 × (longueur + largeur), et son aire vaut longueur × largeur. Six étapes mènent un enfant du dessin aux deux réponses, avec les bonnes unités.

1. Notez la longueur de chaque côté. Les côtés opposés d'un rectangle sont égaux, donc un rectangle de 6 sur 4 a des côtés de 6, 4, 6 et 4. Écrivez les quatre nombres sur le dessin.
2. Vérifiez que les unités sont les mêmes. Un côté de 2 m et un côté de 50 cm doivent devenir 200 cm et 50 cm (ou 2 m et 0,5 m) avant d'additionner ou de multiplier.
3. Additionnez les quatre côtés pour le périmètre. 6 + 4 + 6 + 4 = 20. Le raccourci 2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20 donne le même résultat.
4. Écrivez le périmètre avec une unité de longueur. Si les côtés sont en centimètres, le périmètre vaut 20 cm.
5. Multipliez la longueur par la largeur pour l'aire. 6 × 4 = 24. Sur du papier quadrillé, comptez les carreaux pour vérifier : 4 rangées de 6 carreaux font 24.
6. Écrivez l'aire avec une unité carrée. L'aire vaut 24 centimètres carrés, notés 24 cm², car elle compte des carrés de 1 cm de côté.

Trouver un côté manquant

On trouve un côté manquant en faisant marcher la formule à l'envers. Si un rectangle a un périmètre de 30 cm et une longueur de 9 cm, la moitié du périmètre vaut 30 : 2 = 15 cm, soit longueur + largeur, donc la largeur vaut 15 − 9 = 6 cm.

L'aire fonctionne de la même façon avec une division. Prenez une pièce où l'on pose 20 m² de parquet et qui mesure 5 m de long : 20 = 5 × largeur, donc la largeur vaut 20 : 5 = 4 m. Le standard 4.MD.A.3 parle de « voir la formule de l'aire comme une multiplication avec un facteur inconnu », et le guide pour résoudre les problèmes de maths aide les enfants à repérer quelle formule l'énoncé demande.

Périmètre et aire en un coup d'œil

Le périmètre et l'aire répondent à deux questions différentes sur la même figure, donc ils utilisent des unités et des opérations différentes.

Un carré est un rectangle dont les quatre côtés sont égaux, donc ses formules sont des raccourcis de celles du rectangle. Un carré de 5 m de côté a un périmètre de 4 × 5 = 20 m et une aire de 5 × 5 = 25 m².

Peut-on trouver le périmètre à partir de l'aire ?

L'aire seule ne donne pas le périmètre, car beaucoup de rectangles ont la même aire. Une aire de 24 unités carrées convient à tous ces rectangles :

• 4 sur 6 : périmètre 2 × (4 + 6) = 20
• 3 sur 8 : périmètre 2 × (3 + 8) = 22
• 2 sur 12 : périmètre 2 × (2 + 12) = 28
• 1 sur 24 : périmètre 2 × (1 + 24) = 50

Ajoutez la longueur d'un côté et la réponse devient unique. Avec une aire de 24 et une largeur de 3, la longueur vaut 24 : 3 = 8 et le périmètre 22 ; pour un carré d'aire 36, le côté vaut 6, car 6 × 6 = 36, et le périmètre vaut 4 × 6 = 24.

Même périmètre, aire différente : l'expérience de la ficelle

Des rectangles de même périmètre peuvent couvrir des aires très différentes, et une boucle de ficelle le prouve sur la table de la cuisine. Nouez une ficelle de 24 cm, tendez-la en rectangles sur du papier quadrillé et comptez les carreaux à l'intérieur de chacun.

Un périmètre de 24 veut dire que longueur + largeur = 12, donc les rectangles à côtés entiers sont :

• 1 sur 11 : aire 11
• 2 sur 10 : aire 20
• 3 sur 9 : aire 27
• 4 sur 8 : aire 32
• 5 sur 7 : aire 35
• 6 sur 6 : aire 36

Les mêmes 24 cm de clôture entourent 11 unités carrées dans une forme longue et fine, et 36 dans un carré. Parmi les rectangles, le carré gagne toujours, et c'est pourquoi un agriculteur qui a une longueur de clôture fixe obtient le plus de pâture avec un champ carré.

Chaque aire de cette liste est un résultat des tables de multiplication. Le guide sur le comptage par bonds montre comment compter des rangées de carreaux mène à la multiplication, et le jeu des tables de multiplication entraîne les résultats.

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Pièces en L et autres figures composées

On trouve l'aire d'une figure en L en la découpant en rectangles et en additionnant leurs aires. Le standard 3.MD.C.7d demande de « trouver l'aire de figures à angles droits en les décomposant en rectangles qui ne se chevauchent pas et en additionnant les aires de ces parties ».

Prenez un L de 6 unités de large en bas et de 5 unités de haut à gauche. Découpez-le en une bande du bas de 6 × 2 = 12 et une colonne au-dessus de 2 × 3 = 6 : l'aire vaut 12 + 6 = 18 unités carrées.

Le périmètre demande tous les côtés extérieurs, y compris les deux côtés intérieurs qu'un enfant oublie souvent. En faisant le tour du L, les côtés mesurent 2, 3, 4, 2, 6 et 5, soit 22 unités au total ; le 4 est le haut de la bande du bas (6 − 2), et le 3 est la hauteur de la colonne (5 − 2).

Comment vérifier les progrès en aire et en périmètre

Cinq questions courtes montrent si un enfant comprend l'aire et le périmètre ou s'il devine l'opération.

• La question de tri : demandez si une clôture, un tapis, un cadre photo et une pelouse relèvent du périmètre ou de l'aire. La clôture et le cadre relèvent du périmètre ; le tapis et la pelouse, de l'aire.
• Le rectangle de base : donnez un rectangle de 7 sur 3. Le périmètre vaut 20 et l'aire 21, et l'enfant doit ajouter les unités (cm et cm²).
• Le carré : donnez un carré de 9 m de côté. Le périmètre vaut 36 m et l'aire 81 m².
• Le côté manquant : donnez une aire de 40 m² et une longueur de 8 m. La largeur vaut 5 m, trouvée avec 40 : 8.
• La question de raisonnement : demandez quel rectangle de périmètre 20 a la plus grande aire. La réponse est le carré de 5 sur 5, avec 25 unités carrées.

Un test de cinq minutes sur la table de la cuisine

Un test de cinq minutes avec trois questions variées (un rectangle, un côté manquant, une figure en L) en dit plus qu'une page d'un seul type. Demandez à l'enfant de dessiner la figure et de dire « le tour » ou « l'intérieur » avant de calculer.

Les enfants qui appliquent bien la méthode de l'aire mais bloquent sur la multiplication ont plus besoin des tables que de géométrie. Le jeu de maths pour le CE2 et le jeu de maths pour le CM1 couvrent le calcul de leur niveau dont chaque problème d'aire a besoin, et le guide pour enseigner la multiplication posée aide quand les côtés passent à deux chiffres.

Les erreurs fréquentes en aire et en périmètre

Quatre erreurs causent la plupart des mauvaises réponses aux problèmes d'aire et de périmètre, et chacune a une correction en une ligne.

• N'additionner que deux côtés : un rectangle de 6 sur 4 reçoit un périmètre de 10 au lieu de 20. Notez les quatre côtés avant d'additionner, ou utilisez 2 × (longueur + largeur).
• Multiplier pour le périmètre : un enfant écrit 6 × 4 = 24 pour le périmètre. Demandez d'abord « le tour ou l'intérieur ? » ; le tour veut dire additionner.
• Mélanger les unités : un jardin de 2 m sur 50 cm reçoit une aire de 100. Convertissez d'abord : 200 cm × 50 cm = 10 000 cm², ou 2 m × 0,5 m = 1 m².
• Oublier les unités carrées : une aire écrite 24 cm se lit comme une longueur. L'aire compte toujours des carrés, donc la réponse est 24 cm², ou 24 centimètres carrés.

Cas limite : pourquoi l'aire utilise des unités carrées

L'aire utilise des unités carrées parce que la mesure compte des carrés unités. Le standard 3.MD.C.5a dit qu'« un carré de côté 1 unité, appelé "carré unité", a une aire d'"une unité carrée" », donc un rectangle recouvert par 24 de ces carrés a une aire de 24 unités carrées.

L'unité carrée explique aussi pourquoi doubler les côtés ne double pas l'aire. Un rectangle de 2 sur 3 couvre 6 carreaux, et un rectangle de 4 sur 6 en couvre 24, soit 4 fois plus, alors que son périmètre passe de 10 à 20, seulement 2 fois plus.

Votre pense-bête de l'aire et du périmètre et la suite

• Le tour ou l'intérieur : décidez ce que demande la question avant de calculer.
• Les quatre côtés : notez chaque côté du rectangle, y compris les deux que le dessin laisse vides.
• Les mêmes unités : convertissez tous les côtés dans une seule unité avant d'additionner ou de multiplier.
• La bonne unité dans la réponse : cm pour le périmètre, cm² pour l'aire.
• Le papier quadrillé : dessinez le rectangle et comptez les carreaux pour vérifier le produit.
• Carreaux ou biscuits carrés : construisez des rectangles avec des carreaux, puis essayez la boucle de ficelle de 24 cm et cherchez la plus grande aire.

La fiche de multiplication pour le CE2 propose un entraînement à imprimer avec son corrigé.

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