Les puissances expliquées : ce que signifie l'exposant et les règles qui en découlent

Votre enfant doit calculer 2⁵, et la réponse sur sa feuille est 10. Une puissance ressemble à un détail, un chiffre écrit en petit et en haut, et pourtant ce détail transforme 10 en 32. Une seule idée porte toutes les règles de calcul sur les puissances, et une fois qu'elle est claire, ces règles cessent d'être une liste à apprendre par cœur.

Qu'est-ce qu'une puissance ?

Une puissance s'écrit avec un petit nombre en haut, l'exposant, qui indique combien de fois le nombre est utilisé comme facteur. Dans 2⁵, le nombre est 2 et l'exposant est 5, donc 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. L'écriture entière s'appelle une puissance, et on la lit « 2 puissance 5 » ou « 2 exposant 5 ».

Le manuel OpenStax Prealgebra le dit en une ligne : « l'exposant nous dit combien de fois on utilise le nombre a comme facteur ». La multiplication répétée est aux puissances ce que l'addition répétée est à la multiplication : 2 × 5 additionne cinq 2, et 2⁵ multiplie cinq 2.

Les puissances de 2 grandissent en doublant. Chaque pas multiplie par un 2 de plus, la suite donne donc 2, 4, 8, 16, 32, et dix pas mènent à 2¹⁰ = 1 024.

Au carré et au cube : d'où viennent ces noms

Les exposants 2 et 3 ont un nom à eux, parce qu'ils décrivent des formes. Un carré de 4 de côté contient 4 × 4 = 16 petits carrés, et 4² se lit « 4 au carré ». Un cube de 3 d'arête contient 3 × 3 × 3 = 27 petits cubes, et 3³ se lit « 3 au cube ».

Le programme national anglais de mathématiques place cette notation en Year 5, l'équivalent du CM2, où les élèves « reconnaissent et utilisent les nombres carrés et les nombres cubes, ainsi que la notation au carré (²) et au cube (³) ». En France, les carrés apparaissent d'abord à travers les aires : le programme de mathématiques du cycle 3 demande en 6e de savoir que « 1 m² = 1 m × 1 m = 10 dm × 10 dm = 10 × 10 dm² = 100 dm² », et l'écriture des puissances elle-même arrive au collège, en 4e. Le jeu des nombres carrés entraîne les douze premiers carrés jusqu'à ce que 7² = 49 et 12² = 144 reviennent sans compter.

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Pourquoi les puissances comptent : puissances de 10 et numération

Les puissances apparaissent d'abord à l'école sous la forme des puissances de 10, parce qu'elles décrivent la numération. Chaque rang d'un nombre vaut 10 fois le rang à sa droite, donc les rangs valent 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1 000 et 10⁶ = 1 000 000.

Le standard américain Common Core 5.NBT.A.2 demande aux élèves de grade 5, l'équivalent du CM2, d'« expliquer la régularité du nombre de zéros du produit quand on multiplie un nombre par une puissance de 10 » et d'« utiliser des exposants entiers pour noter les puissances de 10 ». En France, le même travail se fait sans exposant au cours moyen : multiplier et diviser par 10, 100 ou 1 000. L'exposant compte les zéros : 4 × 10³ = 4 000, et 3,7 × 10² = 370, où la virgule se déplace de deux rangs vers la droite.

Le guide sur la numération expliquée aux parents détaille les colonnes qui expliquent cette régularité. Les puissances servent aussi dans la décomposition en facteurs premiers, où 360 s'écrit 2³ × 3² × 5 dans l'article sur les nombres premiers.

Les puissances dans les priorités opératoires

Les puissances passent en deuxième dans les priorités opératoires, après les parenthèses et avant la multiplication et la division. Le standard Common Core 6.EE.A.1 demande aux élèves de grade 6, l'équivalent de la 6e, d'« écrire et de calculer des expressions numériques contenant des exposants entiers », et le standard 6.EE.A.2c fixe l'ordre conventionnel.

Ainsi 3 + 2² × 5 = 3 + 4 × 5 = 23, parce que la puissance se calcule en premier. Les parenthèses changent tout : (3 + 2)² = 5² = 25. L'ordre complet est dans le guide sur les priorités opératoires.

Comment simplifier une expression avec des puissances, étape par étape

Une expression avec des puissances se simplifie dans un ordre fixe : vérifier les nombres, combiner les exposants avec la bonne règle, puis calculer. Prenons 2³ × 2⁴ ÷ 2⁵ comme exemple.

1. Vérifiez que les nombres sont les mêmes. Les trois puissances sont des puissances de 2, donc les règles s'appliquent. Avec des nombres différents, comme 2³ × 3², calculez chaque puissance à part : 8 × 9 = 72.
2. Multipliez en additionnant les exposants. 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷, car trois 2 fois quatre 2 donnent sept 2.
3. Divisez en soustrayant les exposants. 2⁷ ÷ 2⁵ = 2⁷⁻⁵ = 2², car cinq des sept 2 se simplifient.
4. Calculez la puissance. 2² = 2 × 2 = 4.
5. Vérifiez en développant. 2³ × 2⁴ = 8 × 16 = 128, et 128 ÷ 32 = 4. Les deux chemins donnent le même résultat.

L'étape 5 est l'habitude à installer. Une règle qui donne un autre résultat que le calcul long a été mal appliquée.

Jouer gratuitement dans le navigateurPriorités opératoiresCM2 et +

Là où les règles ne marchent plus

Les règles de calcul ne combinent que des puissances d'un même nombre qui se multiplient ou se divisent. Elles ne font rien pour les sommes : 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24, ce qui n'est pas 2⁷ = 128. Une somme élevée à une puissance ne se sépare pas non plus : (3 + 4)² = 7² = 49, alors que 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Un produit élevé à une puissance, lui, se sépare. (2 × 5)³ = 10³ = 1 000, et 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1 000, parce qu'une multiplication se regroupe librement, pas une addition.

Pourquoi tout nombre à la puissance 0 vaut 1

Tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1, et une suite montre pourquoi. Écrivez les puissances de 2 de haut en bas : 2⁴ = 16, 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Chaque pas vers le bas divise par 2, donc le pas suivant donne 2 ÷ 2 = 1, et c'est 2⁰.

La règle du quotient arrive au même endroit. 5⁴ ÷ 5⁴ = 5⁴⁻⁴ = 5⁰, et tout nombre non nul divisé par lui-même vaut 1. OpenStax donne la définition : « si a est un nombre non nul, alors a⁰ = 1 ».

Les exposants négatifs : un aperçu du collège

Les exposants négatifs prolongent la même suite au-delà de zéro. Une division de plus par 2 donne 2⁻¹ = 1⁄2, et la suivante 2⁻² = 1⁄4 : un exposant négatif désigne donc un inverse. En général, 2⁻³ = 1⁄2³ = 1⁄8, et 10⁻² = 1⁄100 = 0,01.

Le standard Common Core 8.EE.A.1 place cela en grade 8, l'équivalent de la 4e, avec l'exemple 3² × 3⁻⁵ = 3⁻³ = 1⁄3³ = 1⁄27. En France aussi, les puissances de 10 à exposant négatif arrivent en 4e, avec l'écriture scientifique. Un élève de CM2 ou de 6e n'a pas encore besoin de la règle, mais voir la suite maintenant fait que la règle arrive comme quelque chose de familier.

Les règles de calcul sur les puissances, côte à côte

Les règles de calcul sur les puissances sont au nombre de cinq, et chacune est un raccourci qui évite d'écrire la multiplication répétée. Le comparatif place chaque règle à côté d'un exemple et de la mauvaise réponse que les élèves écrivent le plus souvent.

La règle de la puissance chez OpenStax la formule ainsi : « pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants ». C'est la règle du produit qui additionne, et confondre ces deux règles explique deux des cinq mauvaises réponses du comparatif.

Comment retrouver une règle oubliée

Une règle oubliée se retrouve en moins d'une minute en développant un petit exemple. Pour (2³)², écrivez 2³ deux fois : (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2). Cela fait six 2, donc les exposants se multiplient, 3 × 2 = 6.

Pour 2³ × 2², écrivez (2 × 2 × 2) × (2 × 2). Cela fait cinq 2, donc les exposants s'additionnent, 3 + 2 = 5. De petits nombres et de petits exposants gardent la vérification courte, et la méthode marche pour toutes les règles du comparatif.

Comment vérifier que les puissances sont acquises

Cinq signaux montrent si les puissances ont du sens pour votre enfant ou pour vous, et chacun se vérifie en moins d'une minute.

• Le sens, dit à voix haute : demandez ce que signifie 4³. « 4 × 4 × 4, ce qui fait 64 » est la réponse ; « 4 × 3 » ne l'est pas.
• Les puissances de 10 au premier coup d'œil : demandez 10⁴ et 6 × 10². Les réponses sont 10 000 et 600.
• Les priorités opératoires : donnez 2 × 3². La réponse est 18, car 3² = 9 se calcule d'abord ; 36 veut dire que la multiplication est passée en premier.
• Une règle, avec sa vérification : donnez 2⁴ × 2³. La réponse 2⁷ = 128 doit venir avec la vérification 16 × 8 = 128.
• L'exposant nul, avec une raison : demandez pourquoi 9⁰ = 1. Une suite ou la règle du quotient est une raison ; « c'est la règle » est un souvenir.

Un test de cinq minutes

Un test de cinq minutes mélange un exercice de chaque type : une puissance à calculer, une puissance de 10, une ligne de priorités opératoires, une règle et un exposant nul. Refaites-le avec de nouveaux nombres deux fois par semaine pendant deux semaines.

Notez la raison autant que la réponse. Un enfant qui écrit 2⁵ = 32 et sait montrer les cinq 2 a compris l'idée ; un enfant qui écrit 32 parce que le nombre lui dit quelque chose peut revenir à 10 un mois plus tard. La page jeu de maths pour la 6e rassemble de l'entraînement au niveau où les puissances entrent dans le Common Core.

Les erreurs fréquentes sur les puissances et les cas limites

Cinq erreurs causent la plupart des mauvaises réponses sur les puissances, et chacune a une correction en une ligne.

• 2³ = 6 : l'exposant a servi de multiplicateur. Écrivez les facteurs, 2 × 2 × 2 = 8, jusqu'à ce que le sens s'installe.
• −3² = 9 : sans parenthèses, l'exposant ne s'applique qu'au 3, donc −3² = −(3 × 3) = −9, alors que (−3)² = (−3) × (−3) = 9.
• 2³ × 3² = 6⁵ : les nombres ont été combinés. Des nombres différents se calculent séparément, donc la réponse est 8 × 9 = 72, alors que 6⁵ = 7 776.
• (a + b)² = a² + b² : une somme ne se sépare pas. Testez avec (3 + 4)² = 49 contre 3² + 4² = 25.
• 2⁻³ = −8 : un exposant négatif donne un inverse, donc 2⁻³ = 1⁄8, qui est positif.

Trois cas limites sont bons à connaître. Le nombre 1 à n'importe quelle puissance vaut 1, donc 1¹⁰⁰ = 1, et 0 à une puissance positive vaut 0, donc 0⁵ = 0. Les manuels scolaires laissent 0⁰ de côté, et c'est pourquoi la règle de l'exposant nul précise « a ≠ 0 ».

Votre pense-bête des puissances

• Dites le sens : l'exposant compte combien de fois le nombre est un facteur.
• Comptez les zéros : 10ⁿ s'écrit 1 suivi de n zéros.
• Respectez l'ordre : les puissances passent après les parenthèses et avant la multiplication.
• Vérifiez d'abord les nombres : les règles du produit et du quotient exigent le même nombre.
• Vérifiez par le calcul long : développez un petit exemple quand une règle vous semble incertaine.

Les adultes qui reprennent l'algèbre retrouvent les puissances dans l'écriture scientifique et les intérêts composés, et le guide pour progresser en maths à l'âge adulte décrit la routine qui reconstruit l'aisance. La page jeu de maths pour adultes propose un entraînement pensé pour les apprenants adultes.

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