La priorité des opérations, étape par étape

Quelle est la règle, en une phrase ?

Les priorités opératoires font parcourir une expression dans un ordre fixe : les parenthèses d'abord, puis les puissances, puis la multiplication et la division ensemble de gauche à droite, puis l'addition et la soustraction ensemble de gauche à droite. Cette phrase est toute la règle.

La règle est une convention d'écriture, adoptée pour que tout lecteur de 4 + 3 × 5 arrive au même nombre. Les standards de mathématiques du Common Core le disent ainsi, en demandant aux élèves de sixième année (6.EE.2c) de calculer « dans l'ordre conventionnel lorsqu'aucune parenthèse n'indique un ordre particulier ». Sans cet accord, l'un additionne d'abord et trouve 35, l'autre multiplie d'abord et trouve 19. Avec lui, la réponse est 19 : 3 × 5 d'abord, puis on ajoute 4.

Les parenthèses sont l'interrupteur de contournement : quand une ligne prête à confusion, ajouter des parenthèses est toujours la bonne correction.

PEMDAS, BODMAS et BIDMAS : des règles différentes ?

PEMDAS, BODMAS et BIDMAS sont une seule convention sous plusieurs moyens mnémotechniques, et celui que vous avez rencontré dépend du pays où vous êtes allé à l'école. En France, on parle de priorités opératoires ; les sigles anglais circulent aussi, et les lettres changent sans que l'ordre du travail bouge.

Trois détails comptent :

• Parenthèses et crochets désignent la même chose, et puissances, exposants et indices veulent tous dire 3² ou 2³.
• PEMDAS place le M avant le D et BODMAS le D avant le M, ce qui ne change rien, parce que les deux opérations sont de même rang.
• Chaque version masque la partie la plus importante de la règle, le départage de gauche à droite.

Les moyens mnémotechniques sont une habitude de classe et n'apparaissent pas dans les textes officiels. Le programme de mathématiques du cycle 3 n'imprime aucun sigle : il demande, « dans un calcul en ligne, [d']utiliser des parenthèses pour indiquer ou respecter une chronologie dans les calculs ». Le programme national de mathématiques en Angleterre n'imprime jamais BIDMAS non plus : il demande aux élèves de Year 6 « d'utiliser leur connaissance de l'ordre des opérations pour mener des calculs mettant en jeu les 4 opérations ».

Qu'est-ce que la plupart des gens ratent ?

L'erreur la plus fréquente sur les priorités opératoires consiste à lire le sigle comme six étapes. Il y en a quatre, parce que multiplication et division en partagent une, et addition et soustraction une autre.

1. Les parenthèses, la paire la plus interne d'abord.
2. Les puissances.
3. Multiplication et division, de gauche à droite.
4. Addition et soustraction, de gauche à droite.

À l'intérieur d'une étape, on lit la ligne de gauche à droite. Trois lignes courtes suffisent à le montrer, chacune avec la réponse fausse que le sigle appelle :

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. Le piège : 10 − 7 = 3.
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. Le piège : 100 ÷ 2,5 = 40.
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. Le piège : 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.

Chaque réponse fausse vient du sigle suivi lettre à lettre au lieu d'une lecture de gauche à droite. Quand une ligne contient à la fois × et ÷, ou à la fois + et −, dites laquelle est la plus à gauche avant de calculer quoi que ce soit.

Cinq exemples traités pas à pas

Ces cinq exemples vont par difficulté croissante, d'une simple multiplication jusqu'aux parenthèses imbriquées avec puissance, chacun écrit une étape par ligne.

1. 4 + 3 × 5

La multiplication passe avant l'addition, donc elle vient en premier.

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

Réponse : 19.

2. 8 + 2 × (7 − 3)

Les parenthèses viennent en premier, quel que soit leur contenu.

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

Réponse : 16.

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

L'expression 20 − 12 ÷ 4 × 2 n'a ni parenthèses ni puissances : le travail commence à l'étape 3 et se lit de gauche à droite. La division est la plus à gauche.

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

Réponse : 14.

4. 5 + 2 × 3²

La puissance porte sur le 3 seul et n'atteint pas le 2.

1. 3² = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

Réponse : 23. Les carrés reviennent sans cesse dès que les puissances entrent en jeu ; le jeu des nombres carrés les travaille.

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

Les parenthèses imbriquées se traitent de l'intérieur vers l'extérieur : la paire la plus interne, puis la parenthèse externe avec les quatre mêmes étapes, puis la puissance, la multiplication, la soustraction.

1. 10 − 4 = 6, la ligne devient 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
2. Dans la parenthèse, la division avant l'addition : 6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6, la ligne devient 2 × 6² − 7
4. 6² = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

Réponse : 65.

Écrire une étape par ligne empêche les glissements de gauche à droite, et le jeu des priorités opératoires utilise cette présentation quand il montre une réponse ratée.

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Pourquoi 6 ÷ 2(1 + 2) déchaîne internet ?

L'expression 6 ÷ 2(1 + 2) déchaîne internet parce qu'elle est écrite de façon ambiguë, alors que le calcul qu'elle contient est facile. Tous les deux ou trois ans, une ligne de ce genre devient virale, la moitié des commentaires répond 1 et l'autre 9 ou 16, et chaque camp peut citer une règle.

Appliquez la convention comme elle est enseignée et vous obtenez :

• 6 ÷ 2(1 + 2) devient 6 ÷ 2 × 3, puis 3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2) devient 8 ÷ 2 × 4, puis 4 × 4 = 16

Dans les deux lignes, la parenthèse porte une multiplication dont le signe a été omis. La lecture standard lui donne le même rang que la division, donc c'est la lecture de gauche à droite qui décide.

L'autre camp lit 2(1 + 2) comme une seule quantité soudée, parce qu'une multiplication écrite sans signe paraît plus serrée qu'un signe de division. Cela donne 6 ÷ 6 = 1 et 8 ÷ 8 = 1, et cette lecture est sérieusement défendue : Oliver Knill, du département de mathématiques de Harvard, retrace les deux conventions et conclut qu'une telle ligne est réellement ambiguë. Texas Instruments documente que ses TI-80, TI-81, TI-82 et TI-85 donnaient la priorité la plus haute à la multiplication implicite, alors que les familles TI-83, TI-84 Plus, TI-89 et TI-Nspire la classent à égalité, ce qui explique que deux calculatrices dans la même pièce affichent des résultats différents.

La dispute porte sur un trou de notation qu'aucun sigle n'a couvert. Quiconque écrit des mathématiques sérieusement emploierait plutôt l'une des deux formes sans ambiguïté :

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

La leçon pratique : si un lecteur peut raisonnablement obtenir deux réponses, ajoutez des parenthèses.

Les quatre erreurs classiques

Quatre erreurs expliquent presque toutes les réponses fausses, et trois viennent du sigle qu'on fait passer avant la lecture de gauche à droite.

1. Traiter le M et le D comme deux étapes. Dans 20 − 12 ÷ 4 × 2, faire 4 × 2 = 8 d'abord donne 18,5 ; la réponse est 14.
2. Traiter le A et le S comme deux étapes. Dans 10 − 4 + 3, additionner 4 + 3 d'abord donne 3 ; la réponse est 9.
3. Laisser une puissance avaler son voisin. Dans 2 × 3², la puissance appartient au 3 seul, donc la ligne fait 2 × 9 = 18. Élever d'abord 2 × 3 au carré donne 36.
4. Oublier une parenthèse qu'on avait en tête. Une barre de fraction regroupe tout ce qui est au-dessus et en dessous ; un signe de division sur une ligne, non. Écrivez 12 ÷ 3 + 1 alors que vous vouliez 3 + 1 au dénominateur, et vous obtenez 5 au lieu de 3. Tapez 12 ÷ (3 + 1).

Comment rendre la règle automatique ?

La règle devient automatique en travaillant des expressions courtes et variées, les quatre étapes sous les yeux. Lire la règle prend deux minutes ; l'appliquer sous pression est une autre compétence.

Quatre habitudes accélèrent cela :

1. Travaillez des lignes à trois opérations. 20 − 12 ÷ 4 × 2 apprend plus qu'une demi-page, parce que l'ordre est la seule chose qu'elle teste.
2. Écrivez l'étape que vous venez de faire, une par ligne, comme le font les cinq exemples traités.
3. Rendez d'abord les faits de base rapides. Si 12 ÷ 4 coûte trois secondes, il ne reste plus d'attention pour la règle, et les astuces de calcul mental qui marchent couvrent cette couche.
4. Mélangez les opérations dans une même séance. Une page de multiplications pures ne teste jamais l'ordre ; une page mélangée, si, et la fiche mixte pour le CM2 arrive avec son corrigé.

Fiche gratuite à imprimerOpérations mixtes — élèves de CM2Fiche · PDF

Les programmes introduisent cela vers le CM2 et la 6e, juste avant que l'algèbre ne le rende incontournable : une ligne comme 3(x + 4) − 2 ne se lit plus que d'une seule façon, et le jeu résoudre pour x suppose que vous savez la lire. La page jeux de maths pour le CM2 regroupe les jeux de navigateur à ce niveau.

Vingt-deux des quelque 90 types de jeux MathIt s'ouvrent gratuitement dans un navigateur sans inscription, et l'application gratuite pour iOS et Android ajoute une difficulté adaptative : les expressions ne s'allongent que lorsque les courtes sont réussies.