Carnet de classe · Par l'équipe MathIt · Publié le · 9 min de lecture
Quel est l'ordre correct des calculs en maths ?
La priorité des opérations indique par quoi commencer : les parenthèses, puis les puissances, puis la multiplication et la division ensemble de gauche à droite, puis l'addition et la soustraction ensemble de gauche à droite. PEMDAS, BODMAS et les priorités opératoires nomment la même règle. Ce qu'on oublie : la multiplication ne passe pas avant la division, ni l'addition avant la soustraction.
Parcourez une expression dans cet ordre : les parenthèses d'abord, puis les puissances, puis la multiplication et la division ensemble de gauche à droite, puis l'addition et la soustraction ensemble de gauche à droite. C'est toute la règle. Tout ce qui suit n'est que cette phrase appliquée avec soin.
Il est utile de savoir ce que la règle n'est pas. Rien ici n'est démontré, et aucune loi de la nature n'est en jeu. C'est une convention d'écriture, adoptée pour que tout lecteur de 4 + 3 × 5 arrive au même nombre. Sans elle, l'un additionne d'abord et trouve 35, l'autre multiplie d'abord et trouve 19, et personne ne peut dire qui a mal lu. Avec elle, la réponse est 19 : 3 × 5 d'abord, puis on ajoute 4.
Les parenthèses sont l'interrupteur de contournement. Tout ce que la règle peut exprimer, elles l'expriment plus clairement — donc quand une ligne prête à confusion, ajouter des parenthèses est toujours la bonne correction.
Non. C'est une seule convention sous plusieurs moyens mnémotechniques, selon le pays où l'on a été à l'école. En France, on parle de priorités opératoires ; les sigles anglais circulent aussi, et les lettres changent sans que l'ordre du travail bouge.
| Sigle | Ce que les lettres désignent | Enseigné surtout en |
|---|---|---|
| PEMDAS | Parenthèses, puissances, multiplication et division, addition et soustraction | États-Unis, Philippines |
| BODMAS | Parenthèses, puissances, division et multiplication, addition et soustraction | Royaume-Uni, Inde, Australie, Afrique du Sud |
| BIDMAS | Parenthèses, indices, division et multiplication, addition et soustraction | Royaume-Uni, Irlande |
| BEDMAS | Parenthèses, exposants, division et multiplication, addition et soustraction | Canada, Nouvelle-Zélande |
Trois remarques valent la peine :
Ils comptent le sigle comme six étapes. Il y en a quatre, parce que multiplication et division en partagent une, et addition et soustraction une autre.
À l'intérieur d'une étape, on lit la ligne comme une phrase, de gauche à droite, en prenant l'opération rencontrée en premier. Trois lignes courtes suffisent à le montrer, chacune avec la réponse fausse que le sigle appelle :
Dans chaque cas, la réponse fausse vient du sigle suivi lettre à lettre au lieu d'une lecture de gauche à droite. Pour vous contrôler : quand une ligne contient à la fois × et ÷, ou à la fois + et −, dites laquelle est la plus à gauche avant de calculer quoi que ce soit.
Cinq lignes par difficulté croissante, d'une simple multiplication jusqu'aux parenthèses imbriquées avec puissance. Chacune est écrite une étape par ligne : c'est la présentation à copier.
La multiplication passe avant l'addition, donc elle vient en premier.
Réponse : 19.
Les parenthèses d'abord, quel que soit leur contenu.
Réponse : 16.
Ni parenthèses ni puissances : on commence à l'étape 3 et on lit de gauche à droite. La division est plus à gauche, donc elle passe en premier.
Réponse : 14.
La puissance porte sur le 3 seul, pas sur 2 × 3.
Réponse : 23. Les carrés reviennent sans cesse dès que les puissances entrent en jeu, et il vaut mieux les reconnaître d'un coup d'œil : le jeu des nombres carrés les travaille.
Parenthèses imbriquées : on résout la paire la plus interne, on finit la parenthèse externe avec les quatre mêmes étapes, puis la puissance, la multiplication, la soustraction.
Réponse : 65.
Écrire une étape par ligne n'est pas une corvée : c'est l'habitude qui empêche les glissements de gauche à droite, et c'est la présentation qu'utilise le jeu des priorités opératoires quand il montre une réponse ratée.
Jouer gratuitement dans le navigateur Priorités opératoires CM2 et +Parce que l'expression est mal écrite, pas parce que le calcul est difficile. Tous les deux ou trois ans, une ligne comme 6 ÷ 2(1 + 2) ou 8 ÷ 2(2 + 2) devient virale, la moitié des commentaires répond 1 et l'autre 9 ou 16, et chaque camp peut citer une règle.
Appliquez la convention exactement comme elle est enseignée et vous obtenez :
Ici, 2(1 + 2) est une multiplication dont le signe a été omis. La lecture standard la traite comme une multiplication ordinaire, de même rang que la division, donc c'est la lecture de gauche à droite qui décide.
L'autre camp lit 2(1 + 2) comme une seule quantité soudée, parce qu'une multiplication écrite sans signe paraît plus serrée qu'un signe de division. Cela donne 6 ÷ 6 = 1 et 8 ÷ 8 = 1. Ce n'est pas sorti de nulle part : c'est ainsi qu'on lit l'algèbre, où 2x forme un bloc, et les calculatrices se contredisent réellement entre modèles, ce qui explique que deux téléphones dans la même pièce affichent des résultats différents.
La dispute ne porte donc pas sur le calcul, mais sur un trou de notation qu'aucun sigle n'a couvert. Personne qui écrit des mathématiques sérieusement ne publierait cette ligne ; il écrirait l'une de celles-ci, et il n'y a plus rien à débattre :
La leçon pratique de tout le sujet : si un lecteur peut raisonnablement obtenir deux réponses, ajoutez des parenthèses.
Quatre erreurs expliquent presque toutes les réponses fausses. Trois viennent du sigle qu'on fait passer avant la lecture de gauche à droite.
En travaillant des expressions courtes et variées, pas des monstres, avec les quatre étapes sous les yeux. Lire la règle prend deux minutes ; l'appliquer sous pression est une autre compétence.
| Étape | À faire | Départage |
|---|---|---|
| 1 | Les parenthèses, la paire la plus interne d'abord | Chaque parenthèse se traite avec ces quatre mêmes étapes |
| 2 | Puissances et racines | Seulement ce sur quoi la puissance porte |
| 3 | Multiplication et division | De gauche à droite |
| 4 | Addition et soustraction | De gauche à droite |
Quatre choses accélèrent cela :
La plupart des programmes introduisent cela vers le CM2 et la 6e, juste avant que l'algèbre ne le rende incontournable : dès que les lettres arrivent, une ligne comme 3(x + 4) − 2 ne se lit plus que d'une seule façon, et le jeu résoudre pour x suppose que vous savez la lire. La page jeux de maths pour le CM2 regroupe les jeux de navigateur à ce niveau.
Vingt-deux des quelque 90 types de jeux MathIt s'ouvrent gratuitement dans un navigateur sans inscription, et l'application gratuite pour iOS et Android ajoute une difficulté adaptative : les expressions ne s'allongent et ne s'imbriquent que lorsque les courtes sont réussies.
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Les deux. C'est la même règle avec d'autres lettres : parenthèses et crochets désignent la même chose, et puissances, exposants et indices aussi. PEMDAS place le M avant le D et BODMAS le D avant le M, ce qui ne change rien, parce que multiplication et division sont de même rang et se départagent de gauche à droite.
Non. C'est la mauvaise lecture la plus répandue. Multiplication et division forment une seule étape et se prennent de gauche à droite, selon celle qui apparaît en premier. Dans 20 − 12 ÷ 4 × 2, la division vient d'abord, ce qui donne 14 et non 18,5.
Selon la convention enseignée à l'école, 9 : 2(1 + 2) est une multiplication ordinaire, de même rang que la division, donc la lecture de gauche à droite s'applique. Les lecteurs qui considèrent la multiplication implicite comme plus serrée trouvent 1. L'expression est réellement ambiguë : écrivez plutôt (6 ÷ 2) × (1 + 2) ou 6 ÷ (2 × (1 + 2)).
Dans la plupart des programmes, la notion est introduite vers le CM2 et reprise en 6e, en même temps que les puissances et les premières expressions littérales. Les enfants rencontrent l'idée plus tôt dès qu'une parenthèse apparaît dans un problème, mais la règle complète en quatre étapes se pose en général à ce moment-là.
Les calculatrices scientifiques et les tableurs, oui. Beaucoup de calculatrices à quatre opérations, non : elles évaluent au fur et à mesure de la frappe, strictement de gauche à droite, si bien que 4 + 3 × 5 affiche 35 au lieu de 19. Les modèles se contredisent aussi sur la multiplication écrite sans signe, ce qui explique les captures d'écran divergentes des équations virales.
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