La soustraction avec retenue expliquée aux parents : pourquoi une dizaine devient dix unités

Votre enfant de CE1 bloque sur 52 − 27, et la fiche d'exercices parle de « casser une dizaine » là où vous vous souvenez d'une « retenue ». Les écoles françaises enseignent deux algorithmes de soustraction posée, par cassage et par compensation, et votre enfant apprend peut-être celui que vous n'avez pas appris. Quelques pièces de 10 centimes et de 1 centime sur la table de la cuisine montrent pourquoi la méthode par cassage fonctionne, de 52 − 27 jusqu'à la soustraction à trois chiffres avec retenue.

Qu'est-ce que la soustraction posée avec retenue ?

La soustraction posée par cassage est une soustraction en colonnes dans laquelle une unité d'un rang supérieur est échangée contre dix unités du rang juste en dessous, parce que le chiffre du haut d'une colonne est trop petit. Dans 52 − 27, la colonne des unités demande 2 − 7, impossible avec des nombres entiers, donc l'une des 5 dizaines est échangée contre 10 unités. Le nombre 52 devient 4 dizaines et 12 unités, et les deux colonnes peuvent maintenant se soustraire.

L'échange ne change jamais la quantité. Cinquante-deux centimes, c'est la même somme que 5 pièces de 10 centimes et 2 pièces de 1 centime, ou que 4 pièces de 10 centimes et 12 pièces de 1 centime. Casser une dizaine est une autre façon d'écrire le même nombre pour que la soustraction s'y adapte, et cette idée repose sur la valeur positionnelle expliquée aux parents.

Cassage ou compensation : les deux méthodes des écoles françaises

Si vous avez appris à l'école à « ajouter 10 en haut et 1 en bas », vous avez appris la méthode par compensation, la méthode traditionnelle en France : on ajoute dix unités au chiffre du haut et une dizaine au nombre du bas, la fameuse retenue, et l'écart entre les deux nombres reste le même. La méthode par cassage, celle de cet article, est de plus en plus enseignée, car chaque geste se voit avec des cubes ou des pièces. Le programme de mathématiques du cycle 2 admet les deux : au CE1, « l'élève connait un algorithme de soustraction posée (« par cassage » ou « par compensation ») », et « un unique et même algorithme sera privilégié au niveau d'une école pour toutes les classes du CE1 au CM2 ».

Le guide du What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics recommande d'enseigner un langage mathématique clair et précis, et « casser une dizaine » ou « échanger » nomme une action que l'enfant voit avec les cubes. À la maison, demandez quelle méthode la classe utilise et employez les mots de la fiche, pour que votre enfant n'entende qu'un seul vocabulaire.

Comment enseigner la soustraction à deux chiffres avec retenue, étape par étape

La soustraction à deux chiffres avec retenue s'enseigne le plus facilement avec des objets d'abord et des chiffres ensuite. Posez 5 pièces de 10 centimes et 2 pièces de 1 centime sur la table pour 52, et écrivez 52 au-dessus de 27 en colonnes sur une feuille à côté, pour que chaque geste avec les pièces ait sa marque sur la page.

1. Alignez les rangs. Écrivez 27 sous 52, les unités sous les unités et les dizaines sous les dizaines. Une colonne de travers cause plus d'erreurs que la retenue elle-même.
2. Commencez par la colonne des unités. Demandez si 2 centimes suffisent pour payer 7 centimes. Non, donc cette colonne demande un échange, et la décision se prend avant de soustraire quoi que ce soit.
3. Échangez une dizaine contre dix unités. Remplacez une pièce de 10 centimes par 10 pièces de 1 centime. Sur la feuille, barrez le 5 et écrivez 4 au-dessus, puis barrez le 2 et écrivez 12 au-dessus. La table montre maintenant 4 pièces de 10 centimes et 12 pièces de 1 centime.
4. Soustrayez les unités. Retirez 7 pièces de 1 centime : 12 − 7 = 5. Écrivez 5 sous la colonne des unités.
5. Soustrayez les dizaines. Retirez 2 pièces de 10 centimes : 4 − 2 = 2. Écrivez 2 sous la colonne des dizaines, et lisez la réponse : 25.
6. Vérifiez par l'addition. Ajoutez le résultat et le nombre retiré : 25 + 27 = 52. Si la somme redonne le nombre du haut, la soustraction est juste.

Les six mêmes étapes couvrent les nombres à trois chiffres ; la seule différence est que la colonne des dizaines peut aussi demander un échange avec les centaines.

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La décision que les enfants sautent

L'étape que les enfants sautent est l'étape 2 : décider s'il faut un échange. Certains échangent à chaque calcul, d'autres jamais, et les deux habitudes viennent du fait de traiter la retenue comme un rituel.

Avant que le crayon bouge, posez une question par colonne : « Le chiffre du haut est-il au moins aussi grand que celui du bas ? ». Si la réponse est non, on échange. La même question marche à l'envers pour la retenue de l'addition, et c'est pourquoi entraîner l'addition avec retenue en même temps que la soustraction aide les deux.

Colonnes, calcul en avançant, compensation ou droite graduée

La soustraction posée par cassage est l'une des quatre façons dont l'école enseigne la soustraction, et le Common Core américain demande en grade 2, l'équivalent du CE1, d'expliquer pourquoi les stratégies d'addition et de soustraction fonctionnent, en s'appuyant sur la numération et les propriétés des opérations (2.NBT.B.9). Voici 52 − 27 calculé de quatre façons :

Quelle méthode choisir

Passez aux colonnes une fois que votre enfant sait expliquer l'échange avec des pièces ou des cubes, car la méthode s'adapte à des nombres de n'importe quelle taille. Le calcul en avançant est la méthode de la plupart des adultes au moment de rendre la monnaie, et il vaut la peine de le garder comme vérification. La compensation repose sur les compléments à 10 connus par cœur, la compétence construite par les compléments à 10, et c'est exactement le principe de la soustraction posée par compensation : ajouter le même nombre en haut et en bas ne change pas l'écart.

La soustraction à trois chiffres avec retenue et les zéros

La soustraction à trois chiffres avec retenue suit la même règle, colonne par colonne : les unités, puis les dizaines, puis les centaines, avec un échange chaque fois que le chiffre du haut est plus petit. Le standard Common Core de grade 2, 2.NBT.B.7, précise que pour soustraire des nombres à trois chiffres, on soustrait les centaines des centaines, les dizaines des dizaines et les unités des unités, et qu'« il est parfois nécessaire de composer ou de décomposer des dizaines ou des centaines ».

Le cas difficile est un zéro au milieu, comme dans 403 − 168. La colonne des unités demande un échange, mais il n'y a pas de dizaines à échanger.

L'échange va donc un rang plus loin : l'une des 4 centaines devient 10 dizaines, puis l'une de ces 10 dizaines devient 10 unités. Le nombre du haut se lit maintenant 3 centaines, 9 dizaines et 13 unités, ce qui fait toujours 403 (300 + 90 + 13).

Une fois les échanges faits, chaque colonne est un seul calcul : 13 − 8 = 5, 9 − 6 = 3 et 3 − 1 = 2. La réponse est 235, et 235 + 168 = 403 le confirme.

Un raccourci pour les zéros : lire 403 comme 40 dizaines

Un raccourci pour les zéros consiste à lire les deux premiers chiffres comme un seul nombre de dizaines. Le nombre 403, c'est 40 dizaines et 3 unités ; prenez une dizaine et il reste 39 dizaines et 13 unités, ce qui donne les mêmes 3, 9 et 13 en un seul geste. Un jeu de valeur positionnelle qui demande combien de dizaines contient un nombre installe cette habitude.

La compensation règle aussi le zéro : enlevez 4 aux deux nombres, et 403 − 168 devient 399 − 164, qui ne demande aucun échange et donne toujours 235. La soustraction posée par compensation évite elle aussi le double échange : 13 − 8 = 5 avec une retenue sur le 6, puis 10 − 7 = 3 avec une retenue sur le 1, puis 4 − 2 = 2.

Comment suivre les progrès de votre enfant

Les progrès en soustraction avec retenue se voient à quelques signaux observables, que vous pouvez tester en cinq minutes.

• Le test de l'explication : votre enfant sait-il dire pourquoi le 5 est devenu un 4 dans 52 − 27, avec les mots « dizaine » et « unités » ? Un enfant qui répond « parce qu'on fait une retenue » sans parler d'échange a une règle mais pas de modèle.
• La série mélangée : donnez six calculs, trois qui demandent un échange et trois qui n'en demandent pas, comme 52 − 27 et 58 − 23. Les bonnes décisions sur les six comptent plus que la vitesse.
• Le rejeu avec les pièces : votre enfant peut-il jouer 43 − 18 avec des pièces de 10 centimes et de 1 centime et tomber sur 25 ? Si les pièces marchent et pas le papier, le problème est dans l'écriture.
• Le cas du zéro : essayez 300 − 147 (réponse 153). Un enfant qui gère le double échange est prêt pour de plus grands nombres.
• La vérification par l'addition : votre enfant vérifie-t-il de lui-même ? Cette habitude attrape la plupart des étourderies.

En quelle classe apprend-on la soustraction avec retenue

En France, un algorithme de soustraction posée est introduit au CE1, au plus tard en période 3, avec des nombres jusqu'à 1 000 ; au CE2, les soustractions posées sont utilisées régulièrement jusqu'à 10 000, et le CM1 les étend aux décimaux. Le Common Core place le même travail en grade 2, l'équivalent du CE1 : l'aisance jusqu'à 100 (2.NBT.B.5) et la soustraction jusqu'à 1 000 avec du matériel et des dessins (2.NBT.B.7). Le grade 3 demande l'aisance jusqu'à 1 000 (3.NBT.A.2), et le grade 4 nomme l'algorithme standard, en demandant d'« additionner et soustraire avec aisance des nombres entiers à plusieurs chiffres avec l'algorithme standard » (4.NBT.B.4).

Le programme national anglais de mathématiques demande en Year 3, l'équivalent du CE2, de soustraire des nombres jusqu'à 3 chiffres avec la méthode en colonnes et de vérifier les réponses par l'opération inverse. Le guide sur les maths du Common Core expliquées aux parents montre pourquoi les stratégies arrivent avant l'algorithme aux États-Unis.

Les erreurs fréquentes de la soustraction avec retenue

La plupart des erreurs viennent d'une poignée d'habitudes, et chacune se corrige vite à la maison.

• Le petit ôté du grand : votre enfant calcule 7 − 2 au lieu de 2 − 7 et écrit 35 pour 52 − 27. Faites-lui lire chaque colonne de haut en bas, à voix haute : « deux moins sept ».
• Oublier de baisser les dizaines : votre enfant fabrique le 12 mais laisse le 5, et trouve encore 35. Exigez que le 5 barré et le nouveau 4 soient écrits avant de soustraire les unités.
• Échanger à chaque fois : votre enfant fait un échange dans 58 − 23 et écrit 15 dans la colonne des unités. Posez d'abord la question de l'étape 2, à chaque colonne.
• Sauter le zéro : dans 403 − 168, votre enfant échange directement des centaines vers les unités et écrit 3 centaines, 0 dizaine et 13 unités, ce qui ne fait que 313. Sortez les pièces ou la lecture en 40 dizaines.
• Des colonnes décalées : dans 403 − 68, un 68 écrit sous le 40 transforme le calcul en 403 − 680. Utilisez du papier à carreaux, un chiffre par carreau.

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Pourquoi 35 est la réponse à repérer

La mauvaise réponse 35 pour 52 − 27 mérite d'être repérée parce que deux erreurs différentes la produisent. Le petit ôté du grand et l'oubli de baisser les dizaines donnent le même 35, et la réponse seule ne dit pas laquelle s'est produite. Demandez à votre enfant d'expliquer le calcul une fois ; l'explication montre la cause en moins d'une minute.

Votre pense-bête de la soustraction avec retenue

• Des pièces ou des cubes la première semaine : chaque échange sur le papier correspond à une pièce de 10 centimes remplacée par 10 pièces de 1 centime sur la table.
• Une question par colonne : « Le chiffre du haut est-il au moins aussi grand ? » décide s'il faut un échange.
• Les chiffres barrés réécrits en entier : le nouveau 4 et le nouveau 12 s'écrivent au-dessus de la colonne avant toute soustraction.
• Des séries mélangées : la moitié des calculs demande un échange, l'autre non, pour que la décision reste active.
• Les zéros une fois les deux chiffres solides : 403 − 168 et 300 − 147 viennent quand 52 − 27 est facile.
• Vérifier par l'addition : le résultat plus le nombre retiré doit redonner le nombre du haut.

De courtes séances quotidiennes gardent les étapes fraîches entre deux soirs de devoirs. Un jeu de maths pour le CE1 ou un jeu de soustraction gratuit en ligne offre un entraînement mélangé rapide, et l'application MathIt ajuste la difficulté aux réponses de votre enfant.