La soustraction de fractions pas à pas : dénominateurs différents, nombres entiers et nombres mixtes

Il reste trois quarts d'une tarte sur la table, et quelqu'un mange une part qui vaut 1/6 de la tarte entière : combien en reste-t-il ? La question paraît simple jusqu'à ce que la fiche d'exercices l'écrive 3/4 − 1/6, et que les quarts et les sixièmes refusent de s'aligner. La soustraction de fractions repose sur une seule règle, des parts de même taille, et ce guide montre comment soustraire des fractions de même dénominateur et de dénominateurs différents, comment soustraire une fraction d'un nombre entier et comment soustraire des nombres mixtes, avec chaque étape détaillée.

Que veut dire soustraire des fractions ?

Soustraire des fractions, c'est retirer des parts à d'autres parts de même taille, toutes découpées dans la même unité. Quand les parts sont déjà les mêmes, on soustrait leur nombre : 5/8 − 2/8 = 3/8, car cinq huitièmes moins deux huitièmes laissent trois huitièmes.

Le dénominateur donne la taille des parts et le numérateur les compte. Retirer des parts change leur nombre, donc le numérateur change et le dénominateur reste le même.

Le standard américain Common Core 4.NF.B.3a le dit en une ligne : les élèves « comprennent l'addition et la soustraction de fractions comme le fait de réunir et de séparer des parts d'une même unité ». En grade 4, l'équivalent du CM1, les élèves travaillent avec des dénominateurs égaux, et en grade 5, l'équivalent du CM2, ils passent aux dénominateurs différents. En France, le programme de mathématiques du cycle 3 demande d'« additionner et soustraire des fractions » dès le CM1, avec des dénominateurs inférieurs ou égaux à 20, puis le programme de mathématiques du cycle 4 fixe en 5e l'objectif d'« additionner et soustraire des fractions de dénominateurs quelconques ».

Pourquoi les parts doivent avoir la même taille

On ne peut pas soustraire directement des quarts et des sixièmes, car un quart est plus grand qu'un sixième, et « 3 quarts moins 1 sixième » n'a pas d'unité commune à compter. La solution est de redécouper les deux en une part plus petite qui tient un nombre entier de fois dans chacune.

Les douzièmes conviennent aux deux : chaque quart se partage en 3 douzièmes et chaque sixième en 2 douzièmes. Donc 3/4 devient 9/12, 1/6 devient 2/12, et il reste 9/12 − 2/12 = 7/12 de la tarte.

Comment soustraire des fractions, étape par étape

La soustraction de fractions se fait en cinq étapes, et les étapes 2 et 3 ne servent que si les dénominateurs sont différents. OpenStax Prealgebra donne le même ordre : trouver le plus petit dénominateur commun, convertir chaque fraction, soustraire, puis simplifier.

1. Comparez les dénominateurs. S'ils sont égaux, comme dans 5/8 − 2/8, passez directement à l'étape 4.
2. Trouvez le plus petit dénominateur commun. Le plus petit dénominateur commun est le PPCM des dénominateurs. Pour 4 et 6, les multiples de 4 sont 4, 8, 12, 16 et les multiples de 6 sont 6, 12, 18, donc le plus petit dénominateur commun est 12.
3. Réécrivez chaque fraction. Multipliez le numérateur et le dénominateur par le même nombre : 3/4 = (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12 et 1/6 = (1 × 2)/(6 × 2) = 2/12.
4. Soustrayez les numérateurs et gardez le dénominateur. 9/12 − 2/12 = 7/12.
5. Simplifiez le résultat. Divisez le numérateur et le dénominateur par leur PGCD ; 7 et 12 n'ont que 1 comme diviseur commun, donc 7/12 est déjà irréductible.

Jouer gratuitement dans le navigateurChasse aux multiplesCE2–CM2

Soustraire des fractions de dénominateurs différents : deux autres exemples

Souvent, un des dénominateurs est un multiple de l'autre, et le plus grand dénominateur est alors le dénominateur commun. Pour 7/10 − 1/2, réécrivez 1/2 en 5/10, soustrayez pour obtenir 2/10, et simplifiez en 1/5.

Quand les dénominateurs n'ont aucun diviseur commun autre que 1, le plus petit dénominateur commun est leur produit. Pour 2/3 − 1/4, c'est 3 × 4 = 12, donc 8/12 − 3/12 = 5/12, et le guide sur le PGCD et le PPCM montre des façons plus rapides de trouver le PPCM quand les nombres grandissent.

Le standard 5.NF.A.1 décrit exactement ce geste : « additionner et soustraire des fractions de dénominateurs différents (y compris des nombres mixtes) en remplaçant les fractions données par des fractions égales ». L'addition utilise la même réécriture, et le guide pour expliquer les fractions à votre enfant détaille le côté addition.

Cinq façons de soustraire des fractions comparées

Cinq méthodes couvrent presque toutes les soustractions de fractions qu'un élève rencontre du CM1 à la 6e. Elles donnent toutes le même résultat, et elles diffèrent par la taille des nombres en cours de route.

Quelle méthode choisir

Le plus petit dénominateur commun est le meilleur choix par défaut, car il garde les nombres petits et le résultat n'a souvent pas besoin d'être simplifié. Multiplier les dénominateurs est une solution de secours sûre quand le PPCM ne saute pas aux yeux, à condition de simplifier à la fin.

Pour les nombres mixtes, choisissez entre casser une unité et passer par les fractions selon la taille des nombres. Les petits entiers se prêtent bien aux fractions, alors que 12 1/5 − 9 3/5 est plus facile en cassant une unité (11 6/5 − 9 3/5 = 2 3/5) qu'en calculant 61/5 − 48/5.

Comment soustraire des nombres mixtes et des nombres entiers

Un nombre mixte, c'est un entier plus une fraction : 4 3/4 veut dire 4 + 3/4. On soustrait des nombres mixtes en deux temps : les fractions d'abord, puis les entiers. Pour 4 3/4 − 1 1/4, les fractions donnent 3/4 − 1/4 = 2/4 et les entiers 4 − 1 = 3, donc la réponse est 3 2/4, soit 3 1/2.

Il faut casser une unité quand la première fraction est plus petite que la seconde. Dans 3 1/4 − 1 3/4, on ne peut pas retirer 3/4 de 1/4 : prenez une unité dans le 3 et écrivez-la 4/4, et 3 1/4 devient 2 + 4/4 + 1/4 = 2 5/4.

Ensuite, soustrayez comme d'habitude : 2 5/4 − 1 3/4 = 1 2/4, et 2/4 se simplifie en 1/2, donc la réponse est 1 1/2. Le passage par les fractions confirme : 13/4 − 7/4 = 6/4 = 1 1/2.

Casser une unité dans une fraction suit la même idée que la soustraction avec retenue sur les nombres entiers, avec une différence. En numération, on échange 1 dizaine contre 10 unités ; avec les fractions, on échange 1 unité contre autant de parts que l'indique le dénominateur, soit 4/4, 3/3 ou 8/8.

Soustraire une fraction d'un nombre entier

On soustrait une fraction d'un nombre entier en transformant une des unités en fraction de même dénominateur. Pour 5 − 2/3, écrivez 5 comme 4 3/3, puis 4 3/3 − 2/3 = 4 1/3.

Les nombres mixtes de dénominateurs différents combinent les deux gestes. Pour 4 1/3 − 1 1/2, passez aux sixièmes : 4 2/6 − 1 3/6 ; comme 2/6 est plus petit que 3/6, cassez une unité pour obtenir 3 8/6 − 1 3/6 = 2 5/6.

Le standard 4.NF.B.3c demande en grade 4 d'« additionner et soustraire des nombres mixtes de même dénominateur, par exemple en remplaçant chaque nombre mixte par une fraction égale ». Le programme national anglais atteint la compétence complète en Year 6 : « additionner et soustraire des fractions de dénominateurs différents et des nombres mixtes, en utilisant la notion de fractions égales ».

Comment vérifier les progrès en soustraction de fractions

Cinq petits calculs montrent si la soustraction de fractions est acquise, un pour chaque compétence de ce guide.

• Même dénominateur : 7/9 − 4/9. La réponse est 3/9, qui se simplifie en 1/3.
• Un dénominateur multiple de l'autre : 5/6 − 1/3. Réécrivez 1/3 en 2/6 ; 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2.
• Dénominateurs différents : 3/5 − 1/4. Le plus petit dénominateur commun est 20, donc 12/20 − 5/20 = 7/20.
• Un nombre entier : 6 − 3/5. Écrivez 6 comme 5 5/5 ; la réponse est 5 2/5.
• Casser une unité : 2 1/3 − 1 2/3. On obtient 1 4/3 − 1 2/3 = 2/3.

Demandez à chaque fois le détail du calcul. Une bonne réponse sans fractions réécrites sur la feuille peut être un coup de chance, et le prochain calcul avec des dénominateurs différents le montrera.

Vérifier chaque réponse par une addition

La soustraction se vérifie par l'addition : le résultat plus le nombre retiré doit donner le nombre de départ. Pour 3/4 − 1/6 = 7/12, ajoutez 7/12 + 2/12 = 9/12, et 9/12 se simplifie en 3/4.

Une estimation repère les grosses erreurs avant la vérification. Le standard 5.NF.A.2 demande d'« utiliser des fractions repères et le sens des fractions pour estimer mentalement et juger si une réponse est vraisemblable ». Pour 3/4 − 1/6, retirer une petite part à 3/4 doit donner un résultat entre 1/2 et 3/4, et c'est le cas de 7/12, car 6/12 < 7/12 < 9/12.

Le guide du What Works Clearinghouse sur l'enseignement des fractions recommande aux enseignants d'« aider les élèves à comprendre pourquoi les procédures de calcul sur les fractions ont du sens ». La vérification par l'addition et l'estimation sont deux façons rapides de montrer à un enfant que la méthode donne une réponse sensée.

Les erreurs fréquentes dans la soustraction de fractions

Quatre erreurs causent la plupart des mauvaises réponses dans la soustraction de fractions, et chacune a une correction rapide.

• Soustraire les dénominateurs : écrire 3/4 − 1/6 comme (3 − 1)/(4 − 6) donne 2/−2, et 5/8 − 2/8 donnerait 3/0. Gardez le dénominateur, car il donne la taille des parts, et ne soustrayez que les numérateurs.
• Ne changer que le dénominateur : écrire 3/4 en 3/12 change la quantité de trois quarts à un quart. Multipliez le numérateur par le même nombre que le dénominateur : 3/4 = 9/12.
• Emprunter 10 au lieu d'une unité : dans 3 1/4 − 1 3/4, écrire 2 11/4 traite la fraction comme une colonne des unités. Une unité vaut 4/4, donc 3 1/4 devient 2 5/4.
• Inverser les fractions : dans 3 1/4 − 1 3/4, retourner la partie fractionnaire en 3/4 − 1/4 donne 2 2/4, soit 1 de trop. Cassez une unité au lieu d'inverser.

Cas limite : quand la seconde fraction est plus grande

Une soustraction comme 1/4 − 3/4 retire plus qu'on n'a, et le résultat est un nombre négatif : 1/4 − 3/4 = −2/4 = −1/2. Au CM1 et au CM2, le premier nombre reste le plus grand, et les nombres relatifs n'arrivent qu'en 5e.

Dans un problème, un résultat négatif veut souvent dire que les nombres ont été placés dans le mauvais ordre. Relisez quelle quantité est celle du départ et mettez-la en premier ; le tour d'horizon de ce que votre enfant doit savoir en maths à chaque niveau montre la place des fractions dans chaque année scolaire.

Votre pense-bête de la soustraction de fractions et la suite

• Des parts identiques : vérifiez les dénominateurs avant de soustraire quoi que ce soit.
• Le dénominateur commun : prenez le PPCM des dénominateurs, ou leur produit en secours.
• Réécrire les deux termes : multipliez le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
• Soustraire les numérateurs seulement : gardez le dénominateur.
• Casser une unité : échangez 1 contre 4/4, 3/3 ou 8/8, jamais contre 10.
• Simplifier et vérifier : réduisez le résultat, puis ajoutez-le au nombre retiré.

La soustraction de fractions repose sur les multiples, donc des tables de multiplication bien sues rendent chaque dénominateur commun plus facile à trouver. La fiche de soustraction pour le CM2 propose un entraînement à imprimer avec son corrigé, et la page jeu de maths pour le CM2 rassemble des exercices adaptés au niveau. Quand votre enfant est prêt pour l'opération suivante, le guide sur la division de fractions poursuit la série.

MathIt est une application gratuite pour iOS et Android, avec environ 90 types de jeux, une difficulté adaptative et un entraînement quotidien en 33 langues. Les joueurs peuvent aussi s'affronter de 2 à 5 en duels en temps réel, et 22 des jeux se jouent gratuitement dans le navigateur, sans inscription.

Fiche gratuite à imprimerSoustraction — élèves de CM2Fiche · PDF