Subtraksjon av brøk steg for steg: ulike nevnere, hele tall og blandede tall

Tre firedeler av en pai står på bordet, og noen spiser et stykke som er 1/6 av hele paien. Hvor mye er igjen? Spørsmålet virker lett helt til lekseheftet skriver det som 3/4 − 1/6, og firedelene og sjettedelene ikke vil passe sammen. Å trekke fra brøk bygger på én regel, like store biter, og denne guiden viser hvordan du trekker fra brøker med like og ulike nevnere, hvordan du trekker en brøk fra et helt tall og hvordan du regner minus med blandede tall, med hvert steg regnet ut.

Hva betyr det å trekke fra brøk?

Å trekke fra brøk betyr å ta bort noen biter fra biter av samme størrelse, skåret fra den samme helheten. Når bitene allerede passer sammen, trekker du fra antallet: 5/8 − 2/8 = 3/8, fordi fem åttendedeler minus to åttendedeler gir tre åttendedeler.

Nevneren forteller hvor store bitene er, og telleren teller dem. Å ta bort biter endrer antallet, så telleren endres og nevneren blir stående.

Den amerikanske standarden Common Core 4.NF.B.3a sier det på én linje: elevene skal forstå addisjon og subtraksjon av brøk som å sette sammen og skille deler som hører til den samme helheten. I USA arbeider fjerde skoleår med like nevnere, og femte skoleår går videre til ulike nevnere. I Norge står brøkregning i kompetansemålene etter 5. trinn i LK20, der eleven skal kunne «utvikle og bruke ulike strategier for regning med positive tall og brøk og forklare tenkemåtene sine».

Hvorfor bitene må være like store

Firedeler og sjettedeler kan ikke trekkes direkte fra hverandre, fordi en firedel er større enn en sjettedel, og «3 firedeler minus 1 sjettedel» har ingen felles enhet å telle i. Løsningen er å dele begge opp i en mindre bit som går opp i hver av dem.

Tolvdeler passer for begge: hver firedel deles i 3 tolvdeler, og hver sjettedel deles i 2 tolvdeler. Da blir 3/4 til 9/12, 1/6 blir 2/12, og 9/12 − 2/12 = 7/12 av paien er igjen.

Slik trekker du fra brøk, steg for steg

Subtraksjon av brøk tar fem steg, og steg 2 og 3 trengs bare når nevnerne er ulike. OpenStax Prealgebra bruker samme rekkefølge: finn minste felles nevner, skriv om hver brøk, trekk fra og forkort.

1. Sammenlign nevnerne. Er de like, som i 5/8 − 2/8, hopper du til steg 4.
2. Finn minste felles nevner. Minste felles nevner er det minste felles multiplum av nevnerne. For 4 og 6 er multiplene av 4 tallene 4, 8, 12, 16 og multiplene av 6 tallene 6, 12, 18, så minste felles nevner er 12.
3. Utvid hver brøk. Gang telleren og nevneren med det samme tallet: 3/4 = (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12 og 1/6 = (1 × 2)/(6 × 2) = 2/12.
4. Trekk fra tellerne og behold nevneren. 9/12 − 2/12 = 7/12.
5. Forkort svaret. Del telleren og nevneren på største felles faktor; 7 og 12 har bare faktoren 1 felles, så 7/12 er allerede ferdig forkortet.

Spill gratis i nettleserenMultipler i fart3.–5. trinn

Trekke fra brøker med ulike nevnere: to eksempler til

Brøker med ulike nevnere har ofte én nevner som er et multiplum av den andre, og da er den største nevneren fellesnevneren. For 7/10 − 1/2 utvider du 1/2 til 5/10, trekker fra og får 2/10, og forkorter til 1/5.

Når nevnerne ikke har noen felles faktor, er fellesnevneren produktet av dem. For 2/3 − 1/4 er fellesnevneren 3 × 4 = 12, så 8/12 − 3/12 = 5/12, og guiden om største felles faktor og minste felles multiplum viser raskere måter å finne fellesnevneren på når tallene blir større.

Standarden 5.NF.A.1 beskriver akkurat dette grepet: å legge sammen og trekke fra brøker med ulike nevnere, også blandede tall, ved å bytte ut brøkene med like store brøker. Addisjon bruker den samme omskrivingen, og forklaringen om brøk for foreldre går gjennom addisjonssiden.

Fem måter å trekke fra brøk på, sammenlignet

Fem metoder dekker nesten hver subtraksjon av brøk en elev møter på mellomtrinnet. Alle gir det samme svaret, og de skiller seg i hvor store tallene blir underveis.

Hvilken metode du skal velge

Minste felles nevner er det beste utgangspunktet, fordi tallene holder seg små og svaret ofte ikke trenger forkorting. Å gange nevnerne er en trygg reserve når multiplumet ikke er åpenbart, så lenge du forkorter til slutt.

For blandede tall velger du mellom veksling og uekte brøker etter størrelsen. Små hele tall passer for uekte brøker, mens 12 1/5 − 9 3/5 er lettere med veksling (11 6/5 − 9 3/5 = 2 3/5) enn som 61/5 − 48/5.

Slik trekker du fra blandede tall og hele tall

Blandede tall trekkes fra i to deler: brøkene først, så de hele tallene. For 4 3/4 − 1 1/4 gir brøkene 3/4 − 1/4 = 2/4 og de hele tallene 4 − 1 = 3, så svaret er 3 2/4, eller 3 1/2.

Du må veksle når den første brøken er mindre enn den andre. I 3 1/4 − 1 3/4 kan du ikke ta 3/4 fra 1/4, så du tar én hel fra 3-tallet og skriver den som 4/4, og 3 1/4 blir 2 + 4/4 + 1/4 = 2 5/4.

Så trekker du fra som vanlig: 2 5/4 − 1 3/4 = 1 2/4, og 2/4 forkortes til 1/2, så svaret er 1 1/2. Veien med uekte brøker gir det samme: 13/4 − 7/4 = 6/4 = 1 1/2.

Veksling med brøk følger samme idé som subtraksjon med veksling med hele tall, med én forskjell. I posisjonssystemet bytter du 1 tier mot 10 enere; med brøk bytter du 1 hel mot så mange biter som nevneren sier, altså 4/4, 3/3 eller 8/8.

Å trekke en brøk fra et helt tall

Du trekker en brøk fra et helt tall ved å gjøre én av de hele om til en brøk med samme nevner. For 5 − 2/3 skriver du 5 som 4 3/3, og da blir 4 3/3 − 2/3 = 4 1/3.

Blandede tall med ulike nevnere kombinerer begge grepene. For 4 1/3 − 1 1/2 skriver du om til sjettedeler, 4 2/6 − 1 3/6; siden 2/6 er mindre enn 3/6, veksler du til 3 8/6 − 1 3/6 = 2 5/6.

Standarden 4.NF.B.3c ber elevene på fjerde skoleår legge sammen og trekke fra blandede tall med like nevnere, for eksempel ved å bytte ut hvert blandet tall med en like stor brøk. Den engelske læreplanen når hele ferdigheten i Year 6: å legge sammen og trekke fra brøker med ulike nevnere og blandede tall ved hjelp av like store brøker.

Slik sjekker du om subtraksjon av brøk sitter

Fem korte oppgaver viser om det å trekke fra brøk har landet, én for hver ferdighet i denne guiden.

• Like nevnere: 7/9 − 4/9. Svaret er 3/9, som forkortes til 1/3.
• Én nevner er et multiplum av den andre: 5/6 − 1/3. Utvid 1/3 til 2/6; 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2.
• Ulike nevnere: 3/5 − 1/4. Minste felles nevner er 20, så 12/20 − 5/20 = 7/20.
• Et helt tall: 6 − 3/5. Skriv 6 som 5 5/5; svaret er 5 2/5.
• Veksling: 2 1/3 − 1 2/3. Veksle til 1 4/3 − 1 2/3 = 2/3.

Be om utregningen hver gang. Et riktig svar uten omskrevne brøker på arket kan være en heldig gjetning, og neste oppgave med ulike nevnere vil vise det.

Kontroller hvert svar ved å legge sammen

Subtraksjon kontrolleres med addisjon: svaret pluss tallet du tok bort, må bli tallet du startet med. For 3/4 − 1/6 = 7/12 legger du sammen 7/12 + 2/12 = 9/12, og 9/12 forkortes tilbake til 3/4.

Et overslag fanger de store feilene før kontrollen. Standarden 5.NF.A.2 ber elevene bruke kjente brøker og tallforståelse til å gjøre overslag i hodet og vurdere om svarene er rimelige. For 3/4 − 1/6 bør det å ta en liten bit fra 3/4 gi noe mellom 1/2 og 3/4, og 7/12 gjør det, fordi 6/12 < 7/12 < 9/12.

Veilederen om brøkundervisning fra What Works Clearinghouse anbefaler at lærere hjelper elevene å forstå hvorfor framgangsmåtene for regning med brøk gir mening. Å legge sammen for å kontrollere og å gjøre overslag er to raske måter å vise barnet at framgangsmåten gir et fornuftig svar.

Vanlige feil når du trekker fra brøk

Fire feil står bak de fleste gale svarene i minus brøk, og hver av dem har en kort løsning.

• Å trekke fra nevnerne: 3/4 − 1/6 skrevet som (3 − 1)/(4 − 6) gir 2/−2, og 5/8 − 2/8 ville gitt 3/0. Behold nevneren, fordi den forteller hvor store bitene er, og trekk bare fra tellerne.
• Å utvide bare nevneren: Å skrive 3/4 som 3/12 endrer mengden fra tre firedeler til én firedel. Gang telleren med det samme tallet som nevneren: 3/4 = 9/12.
• Å låne 10 i stedet for én hel: I 3 1/4 − 1 3/4 behandler 2 11/4 brøken som en enerkolonne. Én hel er 4/4, så 3 1/4 blir 2 5/4.
• Å bytte om brøkene: I 3 1/4 − 1 3/4 gir det å snu brøkdelen til 3/4 − 1/4 svaret 2 2/4, som er 1 for mye. Veksle i stedet for å bytte om.

Grensetilfelle: når den andre brøken er størst

Et regnestykke som 1/4 − 3/4 tar bort mer enn du har, og svaret blir et negativt tall: 1/4 − 3/4 = −2/4 = −1/2. På mellomtrinnet er det første tallet som regel størst, og negative tall står i kompetansemålene etter 7. trinn.

I en tekstoppgave betyr et negativt svar som regel at tallene står i feil rekkefølge. Les igjen hvilken mengde som er startmengden, og sett den først; oversikten over hva barnet bør kunne i matte på hvert trinn viser hvor brøk hører hjemme i hvert skoleår.

Sjekklisten din for subtraksjon av brøk og neste steg

• Like biter: sjekk nevnerne før du trekker fra noe.
• Finn fellesnevneren: bruk minste felles multiplum av nevnerne, eller gang dem som reserve.
• Utvid begge delene: gang telleren og nevneren med det samme tallet.
• Trekk fra bare tellerne: behold nevneren.
• Veksle med hele: bytt 1 hel mot 4/4, 3/3 eller 8/8, aldri mot 10.
• Forkort og kontroller: forkort svaret, og legg det så til tallet du tok bort.

Subtraksjon av brøk hviler på multipler, så når gangetabellen sitter, blir hver fellesnevner lettere å finne. Oppgavearket for subtraksjon på 5. trinn gir utskrivbar øving med fasit, og siden med mattespill for 5. trinn samler øving på riktig nivå. Når barnet ditt er klart for neste regneart, fortsetter serien med guiden om hvordan du deler brøker.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad og daglig øving på 33 språk. To til fem spillere kan også konkurrere mot hverandre i sanntidsdueller, og 22 av spillene spilles gratis i nettleseren uten innlogging.

Gratis utskriftsarkSubtraksjon — 5.-klassingerArbeidsark · PDF