Jak wygląda odejmowanie ułamków, także o różnych mianownikach i liczb mieszanych?

Żeby odjąć ułamki, sprowadź je do wspólnego mianownika, odejmij liczniki, zostaw mianownik i skróć wynik. Dla 3/4 − 1/6 najmniejszy wspólny mianownik to 12, więc 3/4 to 9/12, 1/6 to 2/12, a 9/12 − 2/12 = 7/12. Przy liczbach mieszanych zamień jedną całość na ułamek, gdy pierwszy ułamek jest mniejszy od drugiego.

Jak odejmować ułamki o różnych mianownikach?

Ułamki o różnych mianownikach odejmuje się, najpierw sprowadzając je do wspólnego mianownika. Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników, pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka tak, żeby do niej dojść, odejmij liczniki i skróć wynik. Dla 2/3 − 1/4 wspólny mianownik to 12, więc 8/12 − 3/12 = 5/12.

Jak odjąć ułamek od liczby naturalnej?

Ułamek odejmuje się od liczby naturalnej, zamieniając jedną całość na ułamek o tym samym mianowniku. Dla 5 − 2/3 zapisz 5 jako 4 3/3, potem odejmij: 4 3/3 − 2/3 = 4 1/3. Możesz też doliczać w górę: od 2/3 do 1 brakuje 1/3, a od 1 do 5 jest 4, więc wynik to 4 1/3.

Jak odejmować liczby mieszane, gdy pierwszy ułamek jest mniejszy?

Liczby mieszane, w których pierwszy ułamek jest mniejszy, odejmuje się, zamieniając jedną całość na część ułamkową. W 3 1/4 − 1 3/4 ułamek 1/4 jest mniejszy od 3/4, więc weź 1 z trójki i zapisz ją jako 4/4: 3 1/4 staje się 2 5/4. Potem 2 5/4 − 1 3/4 = 1 2/4, co skraca się do 1 1/2.

Czy przy odejmowaniu ułamków odejmuje się mianowniki?

Przy odejmowaniu ułamków mianowników się nie odejmuje. Mianownik mówi, jak duże są kawałki, a zabieranie kawałków nie zmienia ich wielkości, więc odejmuje się tylko liczniki. 5/8 − 2/8 = 3/8, a odjęcie mianowników dałoby 3/0, co nie ma sensu.

Jak sprawdzić odejmowanie ułamków?

Odejmowanie ułamków sprawdza się, dodając wynik do liczby, którą odjąłeś. Dla 3/4 − 1/6 = 7/12 dodaj 7/12 + 2/12, żeby dostać 9/12, co skraca się do 3/4, czyli liczby początkowej. Szybkie szacowanie z ułamkami wzorcowymi, na przykład 1/2, też wyłapuje wyniki, które są daleko od prawdy.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Na stole leżą trzy czwarte ciasta, a ktoś zjada kawałek, który jest 1/6 całego ciasta, więc ile zostało? Pytanie wygląda łatwo, dopóki karta pracy nie zapisze go jako 3/4 − 1/6, a ćwiartki i szóste części nie chcą się zgrać. Odejmowanie ułamków opiera się na jednej zasadzie, kawałkach tej samej wielkości, a ten poradnik pokazuje, jak odejmować ułamki o tych samych i różnych mianownikach, jak odejmować ułamki od liczb naturalnych i jak odejmować liczby mieszane, z każdym krokiem rozpisanym.

Co znaczy odejmowanie ułamków?

Odejmowanie ułamków to zabieranie części kawałków spośród kawałków tej samej wielkości, wyciętych z tej samej całości. Gdy kawałki już do siebie pasują, odejmujesz ich liczby: 5/8 − 2/8 = 3/8, bo pięć ósmych bez dwóch ósmych to trzy ósme.

Mianownik mówi, jak duże są kawałki, a licznik je liczy. Zabieranie kawałków zmienia ich liczbę, więc zmienia się licznik, a mianownik zostaje taki sam.

Amerykański standard Common Core 4.NF.B.3a ujmuje to w jednym zdaniu: uczniowie rozumieją dodawanie i odejmowanie ułamków jako łączenie i rozdzielanie części tej samej całości. W USA czwartoklasiści pracują na tych samych mianownikach, a piątoklasiści przechodzą do różnych. W Polsce podstawa programowa matematyki umieszcza oba kroki w klasach 4–6: uczeń „sprowadza ułamki zwykłe do wspólnego mianownika” oraz „dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli ułamki zwykłe”, także liczby mieszane.

Dlaczego kawałki muszą być tej samej wielkości

Ćwiartek i szóstych części nie da się odjąć wprost, bo ćwiartka jest większa od szóstej części, a „3 ćwiartki minus 1 szósta” nie ma jednej jednostki, w której można liczyć. Rozwiązaniem jest pocięcie obu na mniejszy kawałek, który mieści się w każdym z nich równo.

Dwunaste części pasują do obu: każda ćwiartka dzieli się na 3 dwunaste, a każda szósta na 2 dwunaste. Więc 3/4 to 9/12, 1/6 to 2/12, a zostaje 9/12 − 2/12 = 7/12 ciasta.

Trzy paski ułamkowe: 3/4 pocięte na dwunaste to 9/12, 1/6 pocięte na dwunaste to 2/12, a pasek z 12 kawałków z 9 zamalowanymi i 2 przekreślonymi zostawia 7/12, więc 3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12.

Odejmowanie ułamków krok po kroku

Odejmowanie ułamków to pięć kroków, a kroki 2 i 3 są potrzebne tylko wtedy, gdy mianowniki są różne. Podręcznik OpenStax Prealgebra podaje tę samą kolejność: znajdź najmniejszy wspólny mianownik, przekształć każdy ułamek, odejmij, potem skróć.

Porównaj mianowniki. Jeśli są takie same, jak w 5/8 − 2/8, przejdź do kroku 4.
Znajdź najmniejszy wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik to najmniejsza wspólna wielokrotność mianowników. Dla 4 i 6 wielokrotności 4 to 4, 8, 12, 16, a wielokrotności 6 to 6, 12, 18, więc najmniejszy wspólny mianownik to 12.
Rozszerz każdy ułamek. Pomnóż licznik i mianownik przez tę samą liczbę: 3/4 = (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12, a 1/6 = (1 × 2)/(6 × 2) = 2/12.
Odejmij liczniki, a mianownik zostaw. 9/12 − 2/12 = 7/12.
Skróć wynik. Podziel licznik i mianownik przez ich największy wspólny dzielnik; 7 i 12 mają tylko wspólny dzielnik 1, więc 7/12 jest już w najprostszej postaci.

Zagraj za darmo w przeglądarceWyścig wielokrotnościKlasa 3–5

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach: jeszcze dwa przykłady

Ułamki o różnych mianownikach często mają jeden mianownik, który jest wielokrotnością drugiego, i wtedy większy mianownik jest wspólnym. Dla 7/10 − 1/2 rozszerz 1/2 do 5/10, odejmij, żeby dostać 2/10, i skróć do 1/5.

Gdy mianowniki nie mają wspólnego dzielnika poza 1, najmniejszy wspólny mianownik to ich iloczyn. Dla 2/3 − 1/4 to 3 × 4 = 12, więc 8/12 − 3/12 = 5/12, a poradnik o NWD i NWW pokazuje szybsze sposoby szukania najmniejszej wspólnej wielokrotności, gdy liczby rosną.

Standard 5.NF.A.1 opisuje dokładnie ten ruch: dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach (także liczb mieszanych) przez zastąpienie ich ułamkami równymi. Dodawanie używa tego samego rozszerzania, a artykuł ułamki wyjaśnione dla rodziców przechodzi przez stronę dodawania.

Pięć sposobów odejmowania ułamków w porównaniu

Pięć sposobów obejmuje prawie każde odejmowanie ułamków, jakie spotyka uczeń klas 4–6. Wszystkie dają ten sam wynik, a różnią się tym, jak duże liczby pojawiają się po drodze.

Sposób	Jak działa	Przykład	Najlepszy do	Uważaj na
Te same mianowniki	Odejmij liczniki, zostaw mianownik	5/8 − 2/8 = 3/8	Pierwszych zadań z pasującymi kawałkami	Działa tylko, gdy kawałki już pasują
Mnożenie mianowników	Użyj b × d jako wspólnego mianownika	3/4 − 1/6 = 18/24 − 4/24 = 14/24 = 7/12	Dowolnej pary ułamków, bez szukania NWW	Większych liczb i dodatkowego skracania
Najmniejszy wspólny mianownik	Użyj NWW mianowników	3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12	Najmniejszych liczb i najmniej skracania	Trzeba znać wielokrotności
Ułamki niewłaściwe	Najpierw zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe	13/4 − 7/4 = 6/4 = 1 1/2	Liczb mieszanych, bez zamiany całości	Dużych liczników przy dużych całościach
Doliczanie na osi liczbowej	Policz odległość od mniejszej liczby do większej	2 1/4 − 1 3/4 = 1/4 + 1/4 = 1/2	Liczenia w pamięci i liczb bliskich sobie	Trudne przy różnych mianownikach

Który sposób wybrać

Najmniejszy wspólny mianownik to najlepszy domyślny wybór, bo trzyma liczby małe, a wynik często nie wymaga skracania. Mnożenie mianowników to bezpieczna rezerwa, gdy NWW nie widać od razu, pod warunkiem że na końcu skrócisz.

Przy liczbach mieszanych wybieraj między zamianą całości a ułamkami niewłaściwymi według wielkości liczb. Małe całości pasują do ułamków niewłaściwych, a 12 1/5 − 9 3/5 łatwiej policzyć przez zamianę całości (11 6/5 − 9 3/5 = 2 3/5) niż jako 61/5 − 48/5.

Jak odejmować liczby mieszane i liczby naturalne

Liczby mieszane odejmuje się w dwóch częściach: najpierw ułamki, potem całości. Dla 4 3/4 − 1 1/4 ułamki dają 3/4 − 1/4 = 2/4, a całości 4 − 1 = 3, więc wynik to 3 2/4, czyli 3 1/2.

Zamiana całości jest potrzebna, gdy pierwszy ułamek jest mniejszy od drugiego. W 3 1/4 − 1 3/4 nie odejmiesz 3/4 od 1/4, więc weź jedną całość z trójki i zapisz ją jako 4/4, a 3 1/4 staje się 2 + 4/4 + 1/4 = 2 5/4.

Potem odejmij jak zwykle: 2 5/4 − 1 3/4 = 1 2/4, a 2/4 skraca się do 1/2, więc wynik to 1 1/2. Droga przez ułamki niewłaściwe się zgadza: 13/4 − 7/4 = 6/4 = 1 1/2.

Koła pokazujące 3 1/4, potem jedno całe koło pocięte na 4/4, co daje 2 5/4, z jedną całością i trzema ćwiartkami przekreślonymi, zostaje 1 2/4, więc 2 5/4 − 1 3/4 = 1 2/4 = 1 1/2.

Zamiana całości w ułamkach działa jak odejmowanie z przekroczeniem progu w liczbach naturalnych, z jedną różnicą. W systemie dziesiątkowym wymieniasz 1 dziesiątkę na 10 jedności; w ułamkach wymieniasz 1 całość na tyle kawałków, ile mówi mianownik, czyli 4/4, 3/3 albo 8/8.

Odejmowanie ułamka od liczby naturalnej

Ułamek odejmuje się od liczby naturalnej, zamieniając jedną z całości na ułamek o tym samym mianowniku. Dla 5 − 2/3 zapisz 5 jako 4 3/3, a potem 4 3/3 − 2/3 = 4 1/3.

Liczby mieszane o różnych mianownikach łączą oba ruchy. Dla 4 1/3 − 1 1/2 sprowadź do szóstych: 4 2/6 − 1 3/6; ponieważ 2/6 jest mniejsze od 3/6, zamień całość: 3 8/6 − 1 3/6 = 2 5/6.

Standard 4.NF.B.3c prosi czwartoklasistów o dodawanie i odejmowanie liczb mieszanych o tych samych mianownikach, na przykład przez zastąpienie każdej liczby mieszanej ułamkiem równym. Program nauczania w Anglii dochodzi do pełnej umiejętności w Year 6: dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach i liczb mieszanych z użyciem ułamków równych.

Jak sprawdzić postępy w odejmowaniu ułamków

Pięć krótkich zadań pokazuje, czy odejmowanie ułamków zostało zrozumiane, po jednym na każdą umiejętność z tego poradnika.

Te same mianowniki: 7/9 − 4/9. Wynik to 3/9, co skraca się do 1/3.
Jeden mianownik wielokrotnością drugiego: 5/6 − 1/3. Rozszerz 1/3 do 2/6; 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2.
Różne mianowniki: 3/5 − 1/4. Najmniejszy wspólny mianownik to 20, więc 12/20 − 5/20 = 7/20.
Liczba naturalna: 6 − 3/5. Zapisz 6 jako 5 5/5; wynik to 5 2/5.
Zamiana całości: 2 1/3 − 1 2/3. Zamień na 1 4/3 − 1 2/3 = 2/3.

Za każdym razem proś o zapis obliczeń. Dobry wynik bez rozszerzonych ułamków na kartce może być szczęśliwym trafem, a następne zadanie z różnymi mianownikami to pokaże.

Sprawdzaj każdy wynik dodawaniem

Odejmowanie sprawdza się dodawaniem: wynik plus liczba odjęta musi dać liczbę, od której zaczynałeś. Dla 3/4 − 1/6 = 7/12 dodaj 7/12 + 2/12 = 9/12, a 9/12 skraca się z powrotem do 3/4.

Szacowanie wyłapuje duże błędy jeszcze przed sprawdzeniem. Standard 5.NF.A.2 prosi uczniów, żeby używali ułamków wzorcowych i wyczucia ułamków do szacowania w pamięci i oceny, czy wynik ma sens. Dla 3/4 − 1/6 zabranie małego kawałka z 3/4 powinno dać coś między 1/2 a 3/4, i 7/12 tam leży, bo 6/12 < 7/12 < 9/12.

Poradnik What Works Clearinghouse o nauczaniu ułamków zaleca, żeby nauczyciele pomagali uczniom zrozumieć, dlaczego procedury obliczeń na ułamkach mają sens. Sprawdzanie dodawaniem i szacowanie to dwa szybkie sposoby, żeby pokazać dziecku, że procedura daje rozsądny wynik.

Najczęstsze błędy przy odejmowaniu ułamków

Cztery błędy odpowiadają za większość złych wyników w odejmowaniu ułamków, a każdy ma krótkie lekarstwo.

Odejmowanie mianowników: 3/4 − 1/6 zapisane jako (3 − 1)/(4 − 6) daje 2/(−2), a 5/8 − 2/8 dałoby 3/0. Zostaw mianownik, bo mówi o wielkości kawałków, i odejmuj tylko liczniki.
Rozszerzanie samego mianownika: Zapis 3/4 jako 3/12 zmienia ilość z trzech czwartych na jedną czwartą. Pomnóż licznik przez tę samą liczbę co mianownik: 3/4 = 9/12.
Pożyczanie 10 zamiast jednej całości: W 3 1/4 − 1 3/4 zapis 2 11/4 traktuje ułamek jak rząd jedności. Jedna całość to 4/4, więc 3 1/4 staje się 2 5/4.
Zamiana ułamków miejscami: W 3 1/4 − 1 3/4 odwrócenie części ułamkowej na 3/4 − 1/4 daje 2 2/4, czyli o 1 za dużo. Zamień całość, zamiast przestawiać ułamki.

Przypadek szczególny: gdy drugi ułamek jest większy

Odejmowanie takie jak 1/4 − 3/4 zabiera więcej, niż masz, a wynik jest liczbą ujemną: 1/4 − 3/4 = −2/4 = −1/2. W USA pierwsze klasy z ułamkami trzymają pierwszą liczbę większą, a ujemne ułamki pojawiają się dopiero w klasie 7; polska podstawa programowa wprowadza działania na liczbach całkowitych i wymiernych ujemnych już w klasach 4–6.

W zadaniu tekstowym wynik ujemny zwykle znaczy, że liczby stoją w złej kolejności. Przeczytaj jeszcze raz, która ilość jest początkowa, i zapisz ją jako pierwszą; przegląd czego z matematyki powinno się nauczyć w każdej klasie pokazuje, gdzie ułamki stoją w każdym roku szkolnym.

Twoja lista kontrolna odejmowania ułamków i następne kroki

Dopasuj kawałki: sprawdź mianowniki, zanim cokolwiek odejmiesz.
Znajdź wspólny mianownik: użyj NWW mianowników albo, w rezerwie, ich iloczynu.
Rozszerz obie części: pomnóż licznik i mianownik przez tę samą liczbę.
Odejmuj tylko liczniki: mianownik zostaje.
Zamieniaj całości: wymieniaj 1 całość na 4/4, 3/3 albo 8/8, nigdy na 10.
Skróć i sprawdź: skróć wynik, potem dodaj go do liczby odjętej.

Odejmowanie ułamków opiera się na wielokrotnościach, więc szybka tabliczka mnożenia ułatwia znalezienie każdego wspólnego mianownika. Karta pracy z odejmowania dla 5 klasy daje ćwiczenia do wydruku z kluczem odpowiedzi, a strona gra matematyczna dla 5 klasy zbiera ćwiczenia dla tej klasy. Gdy dziecko będzie gotowe na kolejne działanie, poradnik jak dzielić ułamki prowadzi serię dalej.

MathIt to darmowa aplikacja na iOS i Android z około 90 rodzajami gier, adaptacyjnym poziomem trudności i codziennymi ćwiczeniami w 33 językach. Gracze mogą też ścigać się z przyjaciółmi w pojedynkach na żywo dla 2–5 graczy, a 22 gry działają za darmo w przeglądarce, bez rejestracji.

Darmowa karta pracy do drukuOdejmowanie — uczniów 5. klasyKarta pracy · PDF

Poćwicz w aplikacji MathIt

Około 90 rodzajów gier matematycznych z adaptacyjnym poziomem trudności, codzienną praktyką i pojedynkami dla 2–5 graczy — za darmo na iOS i Androida.

Odejmowanie ułamków krok po kroku: różne mianowniki, liczby naturalne i liczby mieszane

W skrócie