Brüche subtrahieren Schritt für Schritt: ungleiche Nenner, ganze und gemischte Zahlen

Drei Viertel eines Kuchens stehen auf dem Tisch, und jemand isst ein Stück, das 1/6 des ganzen Kuchens ist: Wie viel ist übrig? Die Frage wirkt leicht, bis auf dem Arbeitsblatt 3/4 − 1/6 steht und Viertel und Sechstel nicht zusammenpassen wollen. Brüche subtrahieren folgt einer einzigen Regel, gleich große Stücke, und dieser Leitfaden zeigt, wie man Brüche mit gleichen und verschiedenen Nennern subtrahiert, wie man Brüche von ganzen Zahlen abzieht und wie man gemischte Zahlen subtrahiert, jeden Schritt durchgerechnet.

Was bedeutet es, Brüche zu subtrahieren?

Brüche zu subtrahieren heißt, Stücke von gleich großen Stücken wegzunehmen, die alle aus demselben Ganzen geschnitten sind. Passen die Stücke schon, subtrahieren Sie die Anzahlen: 5/8 − 2/8 = 3/8, denn fünf Achtel weniger zwei Achtel sind drei Achtel.

Der Nenner gibt die Größe der Stücke an, der Zähler zählt sie. Wegnehmen ändert die Anzahl, also ändert sich der Zähler, und der Nenner bleibt gleich.

Der Common-Core-Standard 4.NF.B.3a sagt es in einer Zeile: Die Kinder verstehen Addition und Subtraktion von Brüchen als Zusammenfügen und Trennen von Teilen desselben Ganzen. In den USA rechnen Viertklässler mit gleichen Nennern und Fünftklässler mit verschiedenen. In Bayern addieren und subtrahieren Kinder am Gymnasium laut LehrplanPLUS für die 6. Klasse Brüche, gemischte Zahlen und Dezimalbrüche.

Warum die Stücke gleich groß sein müssen

Viertel und Sechstel lassen sich nicht direkt subtrahieren, weil ein Viertel größer als ein Sechstel ist und „3 Viertel minus 1 Sechstel“ keine gemeinsame Einheit zum Zählen hat. Die Lösung ist, beide in ein kleineres Stück zu schneiden, das in jedes von ihnen genau passt.

Zwölftel passen für beide: Jedes Viertel teilt sich in 3 Zwölftel, jedes Sechstel in 2 Zwölftel. Also wird 3/4 zu 9/12, 1/6 zu 2/12, und 9/12 − 2/12 = 7/12 des Kuchens sind übrig.

Brüche subtrahieren: Schritt für Schritt

Brüche subtrahiert man in fünf Schritten, und die Schritte 2 und 3 braucht man nur, wenn die Nenner verschieden sind. OpenStax Prealgebra nennt dieselbe Reihenfolge: Hauptnenner finden, jeden Bruch umwandeln, subtrahieren, dann kürzen.

1. Die Nenner vergleichen. Sind sie gleich, wie bei 5/8 − 2/8, springen Sie zu Schritt 4.
2. Den Hauptnenner finden. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Bei 4 und 6 sind die Vielfachen von 4 die Zahlen 4, 8, 12, 16 und die Vielfachen von 6 die Zahlen 6, 12, 18, also ist der Hauptnenner 12.
3. Jeden Bruch erweitern. Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit derselben Zahl: 3/4 = (3 · 3)/(4 · 3) = 9/12 und 1/6 = (1 · 2)/(6 · 2) = 2/12.
4. Die Zähler subtrahieren und den Nenner behalten. 9/12 − 2/12 = 7/12.
5. Das Ergebnis kürzen. Teilen Sie Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler; 7 und 12 haben nur den gemeinsamen Teiler 1, also ist 7/12 schon vollständig gekürzt.

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Brüche mit verschiedenen Nennern subtrahieren: zwei weitere Beispiele

Bei Brüchen mit verschiedenen Nennern ist oft ein Nenner ein Vielfaches des anderen, und dann ist der größere Nenner der Hauptnenner. Bei 7/10 − 1/2 erweitern Sie 1/2 zu 5/10, subtrahieren, erhalten 2/10 und kürzen auf 1/5.

Haben die Nenner keinen gemeinsamen Teiler, ist der Hauptnenner ihr Produkt. Bei 2/3 − 1/4 ist der Hauptnenner 3 · 4 = 12, also 8/12 − 3/12 = 5/12, und der Leitfaden zu ggT und kgV zeigt schnellere Wege zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen, wenn die Zahlen größer werden.

Der Standard 5.NF.A.1 beschreibt genau diesen Schritt: Brüche mit verschiedenen Nennern (auch gemischte Zahlen) addieren und subtrahieren, indem man sie durch gleichwertige Brüche ersetzt. Beim Addieren erweitert man genauso, und der Leitfaden zu Brüchen für Eltern geht die Addition durch.

Fünf Wege, Brüche zu subtrahieren, im Vergleich

Fünf Wege decken fast jede Subtraktion von Brüchen ab, die Kindern in der 4. bis 6. Klasse begegnet. Alle führen zum selben Ergebnis, und sie unterscheiden sich darin, wie groß die Zahlen unterwegs werden.

Welchen Weg man wählt

Der Hauptnenner ist die beste Standardwahl, weil er die Zahlen klein hält und das Ergebnis oft nicht gekürzt werden muss. Die Nenner zu multiplizieren ist eine sichere Alternative, wenn das kgV nicht sofort klar ist, solange Sie am Ende kürzen.

Bei gemischten Zahlen entscheidet die Größe zwischen Umtauschen und unechten Brüchen. Kleine ganze Zahlen passen zu unechten Brüchen, während 12 1/5 − 9 3/5 mit Umtauschen (11 6/5 − 9 3/5 = 2 3/5) leichter ist als 61/5 − 48/5.

Gemischte Zahlen und ganze Zahlen subtrahieren

Gemischte Zahlen subtrahiert man in zwei Teilen: zuerst die Brüche, dann die ganzen Zahlen. Bei 4 3/4 − 1 1/4 ergeben die Brüche 3/4 − 1/4 = 2/4 und die Ganzen 4 − 1 = 3, also ist die Antwort 3 2/4, gekürzt 3 1/2.

Umtauschen braucht man, wenn der erste Bruch kleiner als der zweite ist. Bei 3 1/4 − 1 3/4 können Sie 3/4 nicht von 1/4 wegnehmen, also nehmen Sie ein Ganzes von der 3 und schreiben es als 4/4, und 3 1/4 wird zu 2 + 4/4 + 1/4 = 2 5/4.

Dann subtrahieren Sie wie gewohnt: 2 5/4 − 1 3/4 = 1 2/4, und 2/4 gekürzt ist 1/2, also ist die Antwort 1 1/2. Der Weg über unechte Brüche stimmt damit überein: 13/4 − 7/4 = 6/4 = 1 1/2.

Das Umtauschen bei Brüchen folgt derselben Idee wie die Subtraktion mit Übertrag bei ganzen Zahlen, mit einem Unterschied. Im Stellenwertsystem tauschen Sie 1 Zehner gegen 10 Einer; bei Brüchen tauschen Sie 1 Ganzes gegen so viele Stücke, wie der Nenner sagt, also 4/4, 3/3 oder 8/8.

Einen Bruch von einer ganzen Zahl subtrahieren

Einen Bruch subtrahiert man von einer ganzen Zahl, indem man eines der Ganzen in einen Bruch mit demselben Nenner umwandelt. Bei 5 − 2/3 schreiben Sie 5 als 4 3/3, dann ist 4 3/3 − 2/3 = 4 1/3.

Gemischte Zahlen mit verschiedenen Nennern verbinden beide Schritte. Bei 4 1/3 − 1 1/2 erweitern Sie auf Sechstel zu 4 2/6 − 1 3/6; weil 2/6 kleiner als 3/6 ist, tauschen Sie um zu 3 8/6 − 1 3/6 = 2 5/6.

Der Standard 4.NF.B.3c verlangt von Viertklässlern, gemischte Zahlen mit gleichen Nennern zu addieren und zu subtrahieren, etwa indem man jede gemischte Zahl durch einen gleichwertigen Bruch ersetzt. Der nationale Lehrplan in England erreicht die volle Fähigkeit in Year 6: Brüche mit verschiedenen Nennern und gemischte Zahlen mit Hilfe gleichwertiger Brüche addieren und subtrahieren.

So prüfen Sie Fortschritte beim Subtrahieren von Brüchen

Fünf kurze Aufgaben zeigen, ob das Subtrahieren von Brüchen sitzt, eine für jede Fähigkeit in diesem Leitfaden.

• Gleiche Nenner: 7/9 − 4/9. Die Antwort ist 3/9, gekürzt 1/3.
• Ein Nenner ist Vielfaches des anderen: 5/6 − 1/3. Erweitern Sie 1/3 zu 2/6; 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2.
• Verschiedene Nenner: 3/5 − 1/4. Der Hauptnenner ist 20, also 12/20 − 5/20 = 7/20.
• Eine ganze Zahl: 6 − 3/5. Schreiben Sie 6 als 5 5/5; die Antwort ist 5 2/5.
• Umtauschen: 2 1/3 − 1 2/3. Tauschen Sie um zu 1 4/3 − 1 2/3 = 2/3.

Verlangen Sie jedes Mal den Rechenweg. Eine richtige Antwort ohne erweiterte Brüche auf dem Blatt kann geraten sein, und die nächste Aufgabe mit verschiedenen Nennern zeigt es.

Jede Antwort mit der Probe prüfen

Die Subtraktion prüft man mit der Addition: Das Ergebnis plus die abgezogene Zahl muss die Ausgangszahl ergeben. Bei 3/4 − 1/6 = 7/12 addieren Sie 7/12 + 2/12 = 9/12, und 9/12 gekürzt ist wieder 3/4.

Ein Überschlag fängt die großen Fehler vor der Probe ab. Der Standard 5.NF.A.2 verlangt, Vergleichsbrüche und Zahlengefühl zu nutzen, um im Kopf zu überschlagen und zu beurteilen, ob Antworten plausibel sind. Wer bei 3/4 − 1/6 ein kleines Stück von 3/4 wegnimmt, sollte zwischen 1/2 und 3/4 landen, und 7/12 tut das, denn 6/12 < 7/12 < 9/12.

Der Praxisleitfaden des What Works Clearinghouse zu Brüchen empfiehlt Lehrkräften, den Kindern verständlich zu machen, warum die Rechenverfahren mit Brüchen sinnvoll sind. Probe und Überschlag sind zwei schnelle Wege, einem Kind zu zeigen, dass das Verfahren eine sinnvolle Antwort liefert.

Typische Fehler beim Subtrahieren von Brüchen

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten beim Subtrahieren von Brüchen, und jeder hat eine kurze Korrektur.

• Die Nenner subtrahieren: 3/4 − 1/6 als (3 − 1)/(4 − 6) ergibt 2/−2, und 5/8 − 2/8 ergäbe 3/0. Behalten Sie den Nenner, weil er die Stückgröße angibt, und subtrahieren Sie nur die Zähler.
• Nur den Nenner erweitern: Wer 3/4 als 3/12 schreibt, macht aus drei Vierteln ein Viertel. Multiplizieren Sie den Zähler mit derselben Zahl wie den Nenner: 3/4 = 9/12.
• 10 statt eines Ganzen umtauschen: Wer bei 3 1/4 − 1 3/4 die Zahl 2 11/4 schreibt, behandelt den Bruch wie die Einerspalte. Ein Ganzes ist 4/4, also wird 3 1/4 zu 2 5/4.
• Die Brüche vertauschen: Wer bei 3 1/4 − 1 3/4 den Bruchteil zu 3/4 − 1/4 umdreht, erhält 2 2/4, und das ist 1 zu viel. Tauschen Sie um, statt zu vertauschen.

Sonderfall: wenn der zweite Bruch größer ist

Eine Subtraktion wie 1/4 − 3/4 nimmt mehr weg, als da ist, und die Antwort ist eine negative Zahl: 1/4 − 3/4 = −2/4 = −1/2. In den USA bleibt die erste Zahl in der 4. und 5. Klasse die größere, und negative Brüche kommen in der 7. Klasse; in Bayern stehen positive und negative Bruchzahlen am Gymnasium schon im Lehrplan der 6. Klasse.

In einer Textaufgabe bedeutet eine negative Antwort meist, dass die Zahlen in der falschen Reihenfolge stehen. Lesen Sie noch einmal, welche Menge die Ausgangsmenge ist, und schreiben Sie sie zuerst; der Überblick, was Kinder in jeder Klasse in Mathe können sollten, zeigt, wo Brüche in jedem Schuljahr stehen.

Ihre Checkliste zum Subtrahieren von Brüchen und die nächsten Schritte

• Gleiche Stücke: vor jeder Subtraktion die Nenner prüfen.
• Hauptnenner finden: das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner nehmen oder zur Not die Nenner multiplizieren.
• Beides erweitern: Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren.
• Nur die Zähler subtrahieren: den Nenner behalten.
• Mit Ganzen umtauschen: 1 Ganzes gegen 4/4, 3/3 oder 8/8 tauschen, nie gegen 10.
• Kürzen und Probe: das Ergebnis kürzen und zur abgezogenen Zahl addieren.

Das Subtrahieren von Brüchen beruht auf Vielfachen, also macht ein sicheres Einmaleins jeden gemeinsamen Nenner leichter. Das Arbeitsblatt zur Subtraktion für die 5. Klasse bietet druckbare Übungen mit Lösungen, und die Seite mit dem Mathespiel für die 5. Klasse sammelt Übungen auf Klassenniveau. Ist Ihr Kind bereit für die nächste Rechenart, setzt der Leitfaden Brüche dividieren die Reihe fort.

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