El orden de las operaciones, resuelto paso a paso

¿Cuál es la regla, en una frase?

Recorre la expresión en este orden: primero los paréntesis, después las potencias, luego multiplicaciones y divisiones juntas de izquierda a derecha, y al final sumas y restas juntas de izquierda a derecha. Esa es toda la regla. Lo que viene debajo es esa frase aplicada con cuidado.

Ayuda saber lo que la regla no es. Aquí no se demuestra nada y no interviene ninguna ley natural. Es una convención de escritura, acordada para que todo el mundo lea 4 + 3 × 5 y llegue al mismo número. Sin ella, uno suma primero y obtiene 35, otro multiplica primero y obtiene 19, y nadie puede decir quién leyó mal. Con ella, la respuesta es 19: primero 3 × 5, después sumar 4.

Los paréntesis son el interruptor que anula todo lo demás. Cualquier cosa que la regla exprese, los paréntesis la expresan más claro, así que cuando una línea confunde, añadir paréntesis siempre es la solución correcta.

¿PEMDAS, BODMAS y PAPOMUDAS son reglas distintas?

No. Son una misma convención con distintas reglas mnemotécnicas según dónde hayas estudiado. Cambian las letras; el orden del trabajo, no.

Tres cosas que conviene notar:

• Paréntesis, corchetes y llaves son lo mismo a efectos de la regla. Y potencias, exponentes e índices también: todos significan 3² o 2³.
• PEMDAS pone la M antes que la D, y BODMAS pone la D antes que la M. Eso no cambia nada: las dos operaciones tienen el mismo rango. La sigla tenía que imprimir una letra primero; las matemáticas no se enteran.
• Todas las versiones esconden la parte más importante de la regla: el desempate de izquierda a derecha.

¿Qué falla casi todo el mundo?

Contar la sigla como seis pasos. Son cuatro, porque multiplicación y división comparten uno, y suma y resta comparten otro.

1. Paréntesis, empezando por el par más interior.
2. Potencias.
3. Multiplicación y división, de izquierda a derecha.
4. Suma y resta, de izquierda a derecha.

Dentro de un paso se lee la línea como una frase, de izquierda a derecha, tomando la operación que aparezca antes. Tres líneas cortas lo dejan claro, cada una con la respuesta equivocada a la que invita la sigla:

• 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. No 10 − 7 = 3.
• 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. No 100 ÷ 2,5 = 40.
• 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. No 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.

En los tres casos, la respuesta equivocada sale de obedecer la sigla letra por letra en lugar de leer de izquierda a derecha. Para comprobarte: cuando una línea lleva × y ÷ a la vez, o + y − a la vez, di cuál está más a la izquierda antes de calcular nada.

Cinco ejemplos resueltos, paso a paso

Cinco líneas por orden de dificultad, desde una multiplicación suelta hasta paréntesis anidados con potencia. Cada una va escrita con un paso por línea: ese es el formato que conviene copiar.

1. 4 + 3 × 5

La multiplicación manda sobre la suma, así que va primero.

1. 3 × 5 = 15
2. 4 + 15 = 19

Resultado: 19.

2. 8 + 2 × (7 − 3)

Primero el paréntesis, con lo que haya dentro.

1. 7 − 3 = 4
2. 2 × 4 = 8
3. 8 + 8 = 16

Resultado: 16.

3. 20 − 12 ÷ 4 × 2

Sin paréntesis ni potencias, se empieza en el paso 3 y se lee de izquierda a derecha. La división está más a la izquierda, así que va primero.

1. 12 ÷ 4 = 3
2. 3 × 2 = 6
3. 20 − 6 = 14

Resultado: 14.

4. 5 + 2 × 3²

La potencia afecta solo al 3, no a 2 × 3.

1. 3² = 9
2. 2 × 9 = 18
3. 5 + 18 = 23

Resultado: 23. Los cuadrados salen constantemente en cuanto hay potencias, así que conviene saberlos de vista: el juego de cuadrados los entrena.

5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7

Paréntesis anidados: resuelve el par interior, termina el paréntesis exterior con esos mismos cuatro pasos y después la potencia, la multiplicación y la resta.

1. 10 − 4 = 6, así que la línea queda 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
2. Dentro del paréntesis, la división antes que la suma: 6 ÷ 2 = 3
3. 3 + 3 = 6, así que la línea queda 2 × 6² − 7
4. 6² = 36
5. 2 × 36 = 72
6. 72 − 7 = 65

Resultado: 65.

Escribir un paso por línea no es burocracia: es el hábito que corta los despistes de izquierda a derecha, y es el formato que usa el juego de jerarquía de operaciones cuando muestra una respuesta fallada.

¿Por qué 6 ÷ 2(1 + 2) divide a internet?

Porque la expresión está mal escrita, no porque la aritmética sea difícil. Cada dos años se vuelve viral una línea como 6 ÷ 2(1 + 2) u 8 ÷ 2(2 + 2), con la mitad de los comentarios diciendo 1 y la otra mitad 9 o 16, y las dos partes pueden citarte una regla.

Aplicando la convención tal y como se enseña:

• 6 ÷ 2(1 + 2) se convierte en 6 ÷ 2 × 3, y luego 3 × 3 = 9
• 8 ÷ 2(2 + 2) se convierte en 8 ÷ 2 × 4, y luego 4 × 4 = 16

Aquí 2(1 + 2) es una multiplicación con el signo omitido. La lectura estándar la trata como una multiplicación normal, del mismo rango que la división, así que el orden lo decide la izquierda a derecha.

El otro bando lee 2(1 + 2) como una única cantidad pegada, porque una multiplicación escrita sin signo parece más unida que un signo de división. Eso da 6 ÷ 6 = 1 y 8 ÷ 8 = 1. Y no se lo inventan: así se lee el álgebra, donde 2x es una sola cosa, y hay modelos de calculadora que discrepan de verdad, por lo que dos móviles en la misma habitación muestran resultados distintos.

Así que la pelea no va de aritmética, sino de un hueco de la notación que ninguna sigla cubrió. Nadie que escriba matemáticas en serio publicaría esa línea; escribiría una de estas, y ya no queda nada que discutir:

• (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
• 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1

La lección práctica de todo el tema: si un lector puede llegar razonablemente a dos resultados, pon paréntesis.

Los cuatro errores frecuentes

Cuatro fallos explican casi todas las respuestas equivocadas. Tres vienen de fiarse de la sigla en lugar de la regla de izquierda a derecha.

1. Tratar la M y la D como dos pasos. En 20 − 12 ÷ 4 × 2, hacer antes 4 × 2 = 8 da 20 − 1,5 = 18,5. El resultado es 14.
2. Tratar la A y la S como dos pasos. En 10 − 4 + 3, sumar antes 4 + 3 da 3. El resultado es 9.
3. Dejar que una potencia se trague a su vecino. En 2 × 3² la potencia es solo del 3, así que son 2 × 9 = 18, no (2 × 3)² = 36.
4. Olvidar un paréntesis que sí querías escribir. La barra de fracción agrupa todo lo que hay encima y debajo; un signo de división en una línea, no. Escribe 12 ÷ 3 + 1 cuando querías decir que 3 + 1 va entero debajo y obtienes 5 en lugar de 3. Escribe 12 ÷ (3 + 1).

¿Cómo se vuelve automática la regla?

Practicando expresiones cortas y mezcladas, no largas, con los cuatro pasos a la vista. Leer la regla cuesta dos minutos; usarla con prisa es otra destreza distinta.

Cuatro cosas lo aceleran:

1. Practica líneas de tres operaciones, no monstruos. 20 − 12 ÷ 4 × 2 enseña más que media página de expresión, porque lo único que pone a prueba es el orden.
2. Escribe el paso que acabas de hacer, uno por línea, como en los ejemplos de arriba.
3. Ten antes rápidos los datos básicos. Si 12 ÷ 4 cuesta tres segundos, no queda atención para la regla en sí, y los trucos de cálculo mental que sí funcionan cubren esa capa.
4. Mezcla las operaciones en una misma sesión. Una página solo de multiplicaciones nunca pone a prueba el orden; una mezclada sí, y para eso está la ficha mixta para quinto, con solucionario incluido.

Casi todos los currículos introducen esto hacia 5.º y 6.º curso, entre los 10 y los 12 años, justo antes de que el álgebra lo vuelva inevitable: cuando llegan las letras, una línea como 3(x + 4) − 2 solo admite una lectura, y el juego de despejar la x da por hecho que sabes leerla. La página de juegos para quinto curso reúne los juegos de navegador de ese nivel.

Veintidós de los aproximadamente 90 tipos de juego de MathIt se abren gratis en el navegador y sin registro, y la app gratuita para iOS y Android añade dificultad adaptativa, así que las expresiones solo se alargan y se anidan más cuando ya aciertas las cortas.