MathIt BlogEl orden de las operaciones, resuelto paso a paso
¿Cuál es la jerarquía de operaciones correcta?
La jerarquía de operaciones dice qué parte de una expresión se resuelve antes: primero los paréntesis, después las potencias, luego multiplicaciones y divisiones juntas de izquierda a derecha, y por último sumas y restas juntas de izquierda a derecha. PEMDAS, BODMAS y PAPOMUDAS son tres nombres de esa misma regla. Lo que casi todo el mundo pasa por alto: multiplicar no manda sobre dividir, ni sumar sobre restar.
Lo esencial
- La jerarquía de operaciones tiene cuatro pasos, no seis: paréntesis, potencias, multiplicación y división, suma y resta.
- Multiplicación y división comparten un paso, y suma y resta comparten otro; dentro de cada paso se trabaja de izquierda a derecha.
- PEMDAS, BODMAS, PAPOMUDAS y BEDMAS son la misma regla con letras distintas.
- Las discusiones virales por 6 ÷ 2(1 + 2) son un problema de notación, y escribir paréntesis las termina.
¿Cuál es la regla, en una frase?
La jerarquía de operaciones recorre una expresión en un orden fijo: primero los paréntesis, después las potencias, luego multiplicaciones y divisiones juntas de izquierda a derecha, y al final sumas y restas juntas de izquierda a derecha. Esa frase es toda la regla.
La regla es una convención de escritura, acordada para que todo el mundo lea 4 + 3 × 5 y llegue al mismo número. Los estándares Common Core de matemáticas lo dicen así: piden al alumnado de 6.º (6.EE.2c) resolver las operaciones «en el orden convencional cuando no hay paréntesis que indiquen otro orden». Sin ese acuerdo, uno suma primero y obtiene 35, y otro multiplica primero y obtiene 19. Con él, la respuesta es 19: primero 3 × 5, después sumar 4.
Los paréntesis son el interruptor que anula todo lo demás: cuando una línea confunde, añadir paréntesis siempre es la solución correcta.
¿PEMDAS, BODMAS y PAPOMUDAS son reglas distintas?
PEMDAS, BODMAS y PAPOMUDAS son una misma convención con reglas mnemotécnicas distintas, y cuál te tocó depende de dónde hayas estudiado.
| Sigla | Qué significan las letras | Se enseña sobre todo en |
|---|---|---|
| PEMDAS | Paréntesis, Exponentes, Multiplicación y División, Adición y Sustracción | Estados Unidos y buena parte de América Latina |
| PAPOMUDAS | Paréntesis, Potencias, Multiplicación y División, Adición y Sustracción | España y varios países hispanohablantes |
| BODMAS | Brackets, Orders, Division and Multiplication, Addition and Subtraction | Reino Unido, India, Australia, Sudáfrica |
| BEDMAS | Brackets, Exponents, Division and Multiplication, Addition and Subtraction | Canadá, Nueva Zelanda |
Tres detalles importan:
- Paréntesis, corchetes y llaves son lo mismo a efectos de la regla, y potencias, exponentes e índices significan todos 3² o 2³.
- PEMDAS pone la M antes que la D y BODMAS pone la D antes que la M, lo que no cambia nada, porque las dos operaciones tienen el mismo rango.
- Todas las versiones esconden la parte más importante de la regla, el desempate de izquierda a derecha.
Las siglas son un hábito de aula y no aparecen en el texto de los currículos. El currículo LOMLOE de Matemáticas del tercer ciclo de primaria nunca imprime PAPOMUDAS: habla de «estrategias de resolución de operaciones aritméticas (con números naturales, decimales y fracciones) con flexibilidad y sentido». El currículo nacional de Inglaterra tampoco imprime BIDMAS: pide al alumnado de Year 6 «usar su conocimiento del orden de las operaciones para hacer cálculos con las 4 operaciones».
¿Qué falla casi todo el mundo?
El error más frecuente con la jerarquía de operaciones es leer la sigla como seis pasos. Son cuatro, porque multiplicación y división comparten uno y suma y resta comparten otro.
- Paréntesis, empezando por el par más interior.
- Potencias.
- Multiplicación y división, de izquierda a derecha.
- Suma y resta, de izquierda a derecha.
Dentro de un paso se lee la línea de izquierda a derecha. Tres líneas cortas lo dejan claro, cada una con la respuesta equivocada a la que invita la sigla:
- 10 − 4 + 3 = 6 + 3 = 9. La trampa: 10 − 7 = 3.
- 100 ÷ 5 ÷ 2 = 20 ÷ 2 = 10. La trampa: 100 ÷ 2,5 = 40.
- 20 − 12 ÷ 4 × 2 = 20 − 3 × 2 = 20 − 6 = 14. La trampa: 20 − 12 ÷ 8 = 18,5.
Cada respuesta equivocada sale de obedecer la sigla letra por letra en lugar de leer de izquierda a derecha. Cuando una línea lleva × y ÷ a la vez, o + y − a la vez, di cuál está más a la izquierda antes de calcular nada.
Cinco ejemplos resueltos, paso a paso
Estos cinco ejemplos resueltos van por orden de dificultad, desde una multiplicación suelta hasta paréntesis anidados con potencia, y cada uno va escrito con un paso por línea.
1. 4 + 3 × 5
La multiplicación manda sobre la suma, así que va primero.
- 3 × 5 = 15
- 4 + 15 = 19
Resultado: 19.
2. 8 + 2 × (7 − 3)
Los paréntesis van primero, con lo que haya dentro.
- 7 − 3 = 4
- 2 × 4 = 8
- 8 + 8 = 16
Resultado: 16.
3. 20 − 12 ÷ 4 × 2
La expresión 20 − 12 ÷ 4 × 2 no tiene paréntesis ni potencias, así que el trabajo empieza en el paso 3 y se lee de izquierda a derecha. La división está más a la izquierda.
- 12 ÷ 4 = 3
- 3 × 2 = 6
- 20 − 6 = 14
Resultado: 14.
4. 5 + 2 × 3²
La potencia afecta solo al 3 y no alcanza al 2.
- 3² = 9
- 2 × 9 = 18
- 5 + 18 = 23
Resultado: 23. Los cuadrados salen constantemente en cuanto hay potencias; el juego de cuadrados los entrena.
5. 2 × (3 + (10 − 4) ÷ 2)² − 7
Los paréntesis anidados se resuelven de dentro hacia fuera: primero el par interior, después el paréntesis exterior con esos mismos cuatro pasos, y luego la potencia, la multiplicación y la resta.
- 10 − 4 = 6, así que la línea queda 2 × (3 + 6 ÷ 2)² − 7
- Dentro del paréntesis, la división antes que la suma: 6 ÷ 2 = 3
- 3 + 3 = 6, así que la línea queda 2 × 6² − 7
- 6² = 36
- 2 × 36 = 72
- 72 − 7 = 65
Resultado: 65.
Escribir un paso por línea corta los despistes de izquierda a derecha, y el juego de jerarquía de operaciones usa ese formato cuando muestra una respuesta fallada.
Juega gratis en el navegadorJerarquía de operaciones5.º de primaria y +¿Por qué 6 ÷ 2(1 + 2) divide a internet?
La expresión 6 ÷ 2(1 + 2) divide a internet porque está escrita de forma ambigua, mientras que la aritmética que lleva dentro es fácil. Cada dos años se vuelve viral una línea así, con la mitad de los comentarios diciendo 1 y la otra mitad 9 o 16, y las dos partes pueden citarte una regla.
Aplicando la convención tal y como se enseña:
- 6 ÷ 2(1 + 2) se convierte en 6 ÷ 2 × 3, y luego 3 × 3 = 9
- 8 ÷ 2(2 + 2) se convierte en 8 ÷ 2 × 4, y luego 4 × 4 = 16
En las dos líneas el paréntesis lleva una multiplicación con el signo omitido. La lectura estándar le da el mismo rango que la división, así que el orden lo decide la izquierda a derecha.
El otro bando lee 2(1 + 2) como una única cantidad pegada, porque una multiplicación escrita sin signo parece más unida que un signo de división. Eso da 6 ÷ 6 = 1 y 8 ÷ 8 = 1, y esa lectura tiene respaldo serio: Oliver Knill, del departamento de matemáticas de Harvard, repasa las dos convenciones y concluye que una línea así es realmente ambigua. Texas Instruments documenta que sus TI-80, TI-81, TI-82 y TI-85 daban más prioridad a la multiplicación implícita, mientras que las familias TI-83, TI-84 Plus, TI-89 y TI-Nspire la ponen al mismo nivel, y por eso dos calculadoras en la misma habitación muestran resultados distintos.
La pelea va de un hueco de la notación que ninguna sigla cubrió. Quien escribe matemáticas en serio usa una de estas dos formas sin ambigüedad:
- (6 ÷ 2) × (1 + 2) = 9
- 6 ÷ (2 × (1 + 2)) = 1
La lección práctica: si un lector puede llegar razonablemente a dos resultados, pon paréntesis.
Los cuatro errores frecuentes
Cuatro fallos explican casi todas las respuestas equivocadas, y tres vienen de fiarse de la sigla en lugar de la izquierda a derecha.
- Tratar la M y la D como dos pasos. En 20 − 12 ÷ 4 × 2, hacer antes 4 × 2 = 8 da 18,5; el resultado es 14.
- Tratar la A y la S como dos pasos. En 10 − 4 + 3, sumar antes 4 + 3 da 3; el resultado es 9.
- Dejar que una potencia se trague a su vecino. En 2 × 3² la potencia es solo del 3, así que la línea es 2 × 9 = 18. Elevar al cuadrado 2 × 3 da 36.
- Olvidar un paréntesis que sí querías escribir. La barra de fracción agrupa todo lo que hay encima y debajo; un signo de división en una línea, no. Escribe 12 ÷ 3 + 1 cuando querías decir 3 + 1 debajo y obtienes 5 en lugar de 3. Escribe 12 ÷ (3 + 1).
¿Cómo se vuelve automática la regla?
La regla se vuelve automática practicando expresiones cortas y mezcladas con los cuatro pasos a la vista. Leer la regla cuesta dos minutos; usarla con prisa es otra destreza distinta.
| Paso | Qué haces | Desempate |
|---|---|---|
| 1 | Paréntesis, el par más interior primero | Los mismos cuatro pasos dentro de cada paréntesis |
| 2 | Potencias y raíces | Solo lo que la potencia tiene pegado |
| 3 | Multiplicación y división | De izquierda a derecha |
| 4 | Suma y resta | De izquierda a derecha |
Cuatro hábitos lo aceleran:
- Practica líneas de tres operaciones. 20 − 12 ÷ 4 × 2 enseña más que media página de expresión, porque lo único que pone a prueba es el orden.
- Escribe el paso que acabas de hacer, uno por línea, como hacen los cinco ejemplos resueltos.
- Ten antes rápidos los datos básicos. Si 12 ÷ 4 cuesta tres segundos, no queda atención para la regla, y los trucos de cálculo mental que funcionan cubren esa capa.
- Mezcla las operaciones en una misma sesión. Una página solo de multiplicaciones nunca pone a prueba el orden; una mezclada sí, y la ficha mixta para quinto viene con solucionario.
Los currículos introducen esto hacia 5.º y 6.º curso, entre los 10 y los 12 años, justo antes de que el álgebra lo vuelva inevitable: una línea como 3(x + 4) − 2 solo admite una lectura, y el juego de despejar la x da por hecho que sabes leerla. La página de juegos para quinto curso reúne los juegos de navegador de ese nivel.
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Preguntas frecuentes
¿Cuál es correcta, PEMDAS o PAPOMUDAS?
PEMDAS y PAPOMUDAS son las dos correctas, porque son la misma regla con letras distintas: paréntesis y corchetes significan lo mismo, y potencias, exponentes e índices también. PEMDAS pone la M antes que la D, lo que no cambia nada, porque multiplicación y división tienen el mismo rango y se resuelven de izquierda a derecha.
¿La multiplicación va siempre antes que la división?
La multiplicación no va siempre antes que la división, y dar eso por hecho es la lectura equivocada más frecuente de la sigla. Multiplicación y división son un solo paso y se toman de izquierda a derecha, la que aparezca antes. En 20 − 12 ÷ 4 × 2 va primero la división, y el resultado es 14, no 18,5.
¿Cuánto es 6 ÷ 2(1 + 2)?
La convención que se enseña en el colegio da 6 ÷ 2(1 + 2) = 9, porque 2(1 + 2) es una multiplicación normal, del mismo rango que la división, así que se aplica la izquierda a derecha. Quien trata la multiplicación implícita como más unida obtiene 1. La expresión es realmente ambigua, así que escribe (6 ÷ 2) × (1 + 2) o 6 ÷ (2 × (1 + 2)).
¿En qué curso se aprende la jerarquía de operaciones?
La jerarquía de operaciones se introduce hacia 5.º curso en la mayoría de los currículos y se retoma en 6.º, junto con las potencias y las primeras expresiones algebraicas. El currículo español sitúa las potencias y el cálculo con decimales y fracciones en el tercer ciclo de primaria, de los 10 a los 12 años. Los niños se cruzan antes con la idea cada vez que aparece un paréntesis en un problema.
¿Las calculadoras respetan la jerarquía de operaciones?
Las calculadoras científicas y las hojas de cálculo respetan la jerarquía de operaciones. Muchas calculadoras básicas de cuatro funciones, no: evalúan según tecleas, estrictamente de izquierda a derecha, así que 4 + 3 × 5 devuelve 35 en lugar de 19. Los modelos tampoco se ponen de acuerdo con la multiplicación escrita sin signo, y por eso las ecuaciones virales producen capturas distintas.
