Potencias explicadas: qué significa el número pequeño y las reglas que salen de él

Los deberes de tu hijo piden calcular 2⁵, y en la hoja pone 10. Las potencias parecen un detalle menor, un número escrito arriba y en pequeño, pero ese detalle convierte el 10 en 32. Debajo de todas las propiedades de las potencias hay una sola idea, y cuando esa idea está clara las reglas dejan de ser una lista que memorizar.

¿Qué es una potencia?

Una potencia es una multiplicación de factores iguales, y el exponente es el número pequeño y elevado que indica cuántas veces se usa la base como factor. En 2⁵ la base es 2 y el exponente es 5, así que 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Se lee «2 elevado a 5» o «2 elevado a la quinta».

El libro de Prealgebra de OpenStax lo dice en una línea: el exponente indica cuántas veces se usa la base como factor. La multiplicación repetida es a las potencias lo que la suma repetida es a la multiplicación: 2 × 5 suma cinco doses, y 2⁵ multiplica cinco doses.

Las potencias de 2 crecen duplicando. Cada paso multiplica por un 2 más, así que la cadena es 2, 4, 8, 16, 32, y diez pasos llegan a 2¹⁰ = 1024.

Al cuadrado y al cubo: de dónde vienen los nombres

Los exponentes 2 y 3 tienen nombre propio porque describen figuras. Un cuadrado de lado 4 contiene 4 × 4 = 16 cuadraditos, así que 4² se lee «4 al cuadrado». Un cubo de arista 3 contiene 3 × 3 × 3 = 27 cubitos, así que 3³ se lee «3 al cubo».

En España, el currículo de Educación Primaria de la LOMLOE incluye en el tercer ciclo, es decir, en 5.º y 6.º de primaria (10 a 12 años), el saber «Potencia como producto de factores iguales. Cuadrados y cubos». El currículo nacional de matemáticas de Inglaterra lo sitúa en Year 5, a los 9 o 10 años, con los números cuadrados y cúbicos y su notación. El juego de números al cuadrado practica los doce primeros cuadrados hasta que 7² = 49 y 12² = 144 salen sin contar.

Juega gratis en el navegadorNúmeros al cuadrado4.º–6.º de primaria

Por qué importan las potencias: potencias de 10 y valor posicional

Las potencias aparecen por primera vez en el colegio como potencias de 10, porque describen el valor posicional. Cada orden de unidades vale 10 veces más que el de su derecha, así que los órdenes son 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1000 y 10⁶ = 1 000 000.

En Estados Unidos, el estándar Common Core 5.NBT.A.2 pide en quinto grado (10 a 11 años) explicar los patrones en el número de ceros al multiplicar por potencias de 10 y usar exponentes naturales para escribirlas. El exponente cuenta los ceros: 4 × 10³ = 4000, y 3,7 × 10² = 370, donde la coma decimal se desplaza dos lugares a la derecha.

La guía sobre el valor posicional para padres explica las columnas que hay detrás de ese patrón. Las potencias también aparecen en la descomposición en factores primos, donde 360 se escribe 2³ × 3² × 5, en el artículo sobre los números primos.

Las potencias en la jerarquía de operaciones

Las potencias van en segundo lugar en la jerarquía de operaciones, después de los paréntesis y antes de la multiplicación y la división. El estándar Common Core 6.EE.A.1 pide en sexto grado (11 a 12 años) escribir y calcular expresiones numéricas con exponentes naturales, y el estándar 6.EE.A.2c fija el orden habitual.

Así, 3 + 2² × 5 = 3 + 4 × 5 = 23, porque la potencia va primero. Los paréntesis lo cambian: (3 + 2)² = 5² = 25. El orden completo está en la guía sobre la jerarquía de operaciones.

Cómo simplificar una expresión con potencias, paso a paso

Una expresión con potencias se simplifica siempre en el mismo orden: comprobar las bases, juntar exponentes con la propiedad adecuada y después calcular. Toma 2³ × 2⁴ ÷ 2⁵ como ejemplo resuelto.

1. Comprueba que las bases coinciden. Las tres potencias tienen base 2, así que las propiedades se pueden aplicar. Con bases distintas, como 2³ × 3², calcula cada potencia por separado: 8 × 9 = 72.
2. Multiplica sumando exponentes. 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷, porque tres doses por cuatro doses dan siete doses.
3. Divide restando exponentes. 2⁷ ÷ 2⁵ = 2⁷⁻⁵ = 2², porque cinco de los siete doses se simplifican.
4. Calcula la potencia. 2² = 2 × 2 = 4.
5. Comprueba desarrollando. 2³ × 2⁴ = 8 × 16 = 128, y 128 ÷ 32 = 4. Los dos caminos coinciden.

El paso 5 es el hábito que merece la pena construir. Una propiedad que da un resultado distinto del camino largo se ha aplicado mal.

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Dónde dejan de funcionar las propiedades

Las propiedades de las potencias solo juntan potencias que comparten base y que se multiplican o se dividen. No sirven para sumas: 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24, que no es 2⁷ = 128. Una suma dentro de una potencia tampoco se separa, así que (3 + 4)² = 7² = 49, mientras que 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Un producto dentro de una potencia sí se separa. (2 × 5)³ = 10³ = 1000, y 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000, porque la multiplicación se puede reagrupar y la suma no.

Por qué cualquier número elevado a 0 da 1

Cualquier número distinto de cero elevado a 0 da 1, y una serie muestra por qué. Escribe las potencias de 2 de arriba abajo: 2⁴ = 16, 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2. Cada paso hacia abajo divide entre 2, así que el siguiente paso da 2 ÷ 2 = 1, y eso es 2⁰.

La regla del cociente llega al mismo sitio. 5⁴ ÷ 5⁴ = 5⁴⁻⁴ = 5⁰, y cualquier número distinto de cero dividido entre sí mismo es 1. OpenStax da la definición: si a es un número distinto de cero, entonces a⁰ = 1.

Exponentes negativos: un adelanto de secundaria

Los exponentes negativos continúan la misma serie por debajo de cero. Una división más entre 2 da 2⁻¹ = 1⁄2, y la siguiente da 2⁻² = 1⁄4, así que un exponente negativo indica el inverso. En general, 2⁻³ = 1⁄2³ = 1⁄8, y 10⁻² = 1⁄100 = 0,01.

El estándar Common Core 8.EE.A.1 lo coloca en octavo grado (13 a 14 años), con el ejemplo 3² × 3⁻⁵ = 3⁻³ = 1⁄3³ = 1⁄27, y en España llega en los primeros cursos de la ESO. Un niño de 5.º o 6.º de primaria todavía no necesita la regla, y ver la serie ahora hace que la regla llegue como algo conocido.

Las propiedades de las potencias, una al lado de otra

Las propiedades de las potencias son cinco reglas, y cada una es un atajo para no escribir la multiplicación repetida. La comparación pone cada propiedad junto a un ejemplo resuelto y el error que más escriben los alumnos.

La propiedad de la potencia en OpenStax lo dice con palabras: para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes. La propiedad del producto es la que suma, y confundir esas dos propiedades explica dos de los cinco errores de la comparación.

Cómo reconstruir una propiedad que has olvidado

Una propiedad de las potencias olvidada se reconstruye en menos de un minuto desarrollando un ejemplo pequeño. Para (2³)², escribe 2³ dos veces: (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2). Son seis doses, así que los exponentes se multiplican, 3 × 2 = 6.

Para 2³ × 2², escribe (2 × 2 × 2) × (2 × 2). Son cinco doses, así que los exponentes se suman, 3 + 2 = 5. Con bases y exponentes pequeños la comprobación es corta, y el método funciona con todas las propiedades de la comparación.

Cómo comprobar que las potencias se han entendido

Cinco señales muestran si las potencias tienen sentido para tu hijo o para ti, y cada una lleva menos de un minuto.

• El significado, dicho en voz alta: Pregunta qué significa 4³. «4 × 4 × 4, que es 64» es la respuesta; «4 × 3» no lo es.
• Las potencias de 10 de un vistazo: Pide 10⁴ y 6 × 10². Las respuestas son 10 000 y 600.
• La jerarquía de operaciones: Pide 2 × 3². La respuesta es 18, porque 3² = 9 va primero; 36 significa que la multiplicación se hizo antes.
• Una propiedad, con comprobación: Pide 2⁴ × 2³. La respuesta 2⁷ = 128 debe venir con la comprobación 16 × 8 = 128.
• El exponente cero, con una razón: Pregunta por qué 9⁰ = 1. La serie o la regla del cociente son razones; «porque es la regla» es memoria.

Una prueba de cinco minutos

Una prueba de cinco minutos mezcla un ejercicio de cada tipo: una potencia que calcular, una potencia de 10, una línea de jerarquía de operaciones, una propiedad y un exponente cero. Repítela con números nuevos dos veces por semana durante dos semanas.

Corrige la razón además del resultado. Un niño que escribe 2⁵ = 32 y sabe enseñar los cinco doses tiene la idea; un niño que escribe 32 porque le suena puede volver al 10 un mes después. La página de juegos de matemáticas para sexto reúne práctica para la edad en la que las potencias se consolidan.

Errores frecuentes con las potencias y casos límite

Cinco errores explican la mayoría de los fallos con potencias, y cada uno tiene un remedio de una línea.

• 2³ = 6: El exponente se usó como multiplicador. Escribe los factores, 2 × 2 × 2 = 8, hasta que el significado se quede.
• −3² = 9: Sin paréntesis, el exponente afecta solo al 3, así que −3² = −(3 × 3) = −9, mientras que (−3)² = (−3) × (−3) = 9.
• 2³ × 3² = 6⁵: Se juntaron las bases. Las bases distintas se calculan por separado, así que el resultado es 8 × 9 = 72, mientras que 6⁵ = 7776.
• (a + b)² = a² + b²: Una suma no se separa. Compruébalo con (3 + 4)² = 49 frente a 3² + 4² = 25.
• 2⁻³ = −8: Un exponente negativo da el inverso, así que 2⁻³ = 1⁄8, que es positivo.

Hay tres casos límite que conviene conocer. El 1 elevado a cualquier número es 1, así que 1¹⁰⁰ = 1, y el 0 elevado a cualquier número positivo es 0, así que 0⁵ = 0. Los libros de texto dejan fuera 0⁰, y por eso la regla del exponente cero dice «a ≠ 0».

Tu lista de comprobación de potencias

• Di el significado: el exponente cuenta cuántas veces la base es factor.
• Cuenta ceros: 10ⁿ es un 1 seguido de n ceros.
• Respeta el orden: las potencias van después de los paréntesis y antes de la multiplicación.
• Comprueba las bases primero: las propiedades del producto y del cociente piden la misma base.
• Comprueba por el camino largo: desarrolla un ejemplo pequeño cuando dudes de una propiedad.

Los adultos que vuelven al álgebra se reencuentran con las potencias en la notación científica y el interés compuesto, y la guía para mejorar en matemáticas siendo adulto explica la rutina que recupera la soltura. La página de juegos de matemáticas para adultos reúne práctica pensada para quien aprende de mayor.

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