Was sind Primzahlen, und wie erklärt man sie einem Kind?

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1 mit genau zwei Teilern: 1 und sich selbst. Die Primzahlen unter 50 sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 und 47. Jede andere natürliche Zahl über 1 ist zusammengesetzt, weil sie einen dritten Teiler hat. Die 1 ist weder Primzahl noch zusammengesetzt.

Warum ist die 1 keine Primzahl?

Die 1 ist keine Primzahl, weil sie nur einen Teiler hat, nämlich sich selbst, und die Definition genau zwei verschiedene Teiler verlangt. Die 1 bleibt außen vor, damit jede natürliche Zahl über 1 genau eine Primfaktorzerlegung besitzt. Zählte die 1 als Primzahl, ließe sich 12 als 2 × 2 × 3 oder als 1 × 2 × 2 × 3 schreiben, und diese Eindeutigkeit wäre weg.

Welche Primzahlen gibt es bis 50?

Bis 50 gibt es die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 und 47, insgesamt fünfzehn Zahlen. Die Liste lässt die 1 aus, die weder prim noch zusammengesetzt ist, und jede gerade Zahl außer der 2. Zwischen 50 und 100 kommen zehn weitere dazu, die letzte davon ist 97.

Ist 91 eine Primzahl?

Die 91 ist keine Primzahl, denn 91 = 7 × 13. Sie besteht die schnellen Proben für 2, 3 und 5, und genau deshalb rutscht sie durch einen Test, der zu früh abbricht. Die Division durch 7 erwischt sie, und jeder ehrliche Test einer zweistelligen Zahl muss bis zur 7 gehen.

Wie prüft man, ob eine Zahl eine Primzahl ist?

Sie prüfen der Reihe nach die Division durch 2, 3, 5, 7 und 11 und hören auf, sobald der Teiler mit sich selbst multipliziert die Zahl überschreitet. Bei 97 liegt die Grenze bei 10, denn 10 × 10 = 100, also sind nur 2, 3, 5 und 7 zu prüfen. Geht keine dieser Divisionen auf, ist die Zahl prim.

Primzahlen einfach erklärt: Regeln & Beispiele

Ihr Kind bringt ein Arbeitsblatt mit, auf dem die Primzahlen angekreuzt werden sollen, markiert die 9 und die 51 und lässt die 2 stehen. Primzahlen wirken selbstverständlich, bis eine Zahl wie 91 auftaucht, und dann beginnt das Raten. Hinter Primzahlen steckt eine einzige Regel und ein kurzer Test, der jede Zahl unter 100 in etwa einer Minute entscheidet.

Was ist eine Primzahl?

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, deren einzige Teiler die 1 und sie selbst sind. Eine zusammengesetzte Zahl hat mindestens einen weiteren Teiler, und deshalb lässt sie sich auf mehr als eine Weise in gleich große Gruppen aufteilen.

Mit Plättchen wird das sichtbar: Sieben ergeben eine Reihe zu 7 und sonst nichts, während zwölf die Rechtecke 1 × 12, 2 × 6 und 3 × 4 bilden.

Die Primzahlen unter 50 sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 und 47. Fünfzehn Zahlen, die man ebenso auf einen Blick kennen sollte wie das Einmaleins.

Die 2 ist die einzige gerade Primzahl. Jede andere gerade Zahl hat neben der 1 und sich selbst noch die 2 als Teiler, also drei Teiler, und ist damit zusammengesetzt.

Warum die 1 keine Primzahl ist

Die 1 ist weder prim noch zusammengesetzt, weil sie nur einen einzigen Teiler hat. Die Definition verlangt genau zwei verschiedene Teiler, und die 1 liefert einen.

Die Mathematik lässt die 1 mit Absicht weg. Jede natürliche Zahl über 1 zerfällt auf genau eine Weise in ein Produkt von Primzahlen; dieser Satz heißt Fundamentalsatz der Arithmetik. Zählte die 1 als Primzahl, ließe sich 12 als 2 × 2 × 3 schreiben, oder als 1 × 2 × 2 × 3, oder als 1 × 1 × 2 × 2 × 3, und „genau eine Weise“ hieße gar nichts mehr.

Das ist die Antwort für ein Kind, das nachfragt: Die 1 bleibt draußen, damit die Primfaktorzerlegung eindeutig bleibt.

Ein Raster der Zahlen 1 bis 50, in dem jede Primzahl hervorgehoben und jede andere Zahl durchgestrichen ist.

Wozu Primzahlen in der Schule und darüber hinaus gut sind

Primzahlen tragen den ganzen Teilerstrang des Mathematikunterrichts. Der bayerische LehrplanPLUS für Mathematik in der 5. Jahrgangsstufe am Gymnasium verlangt, dass Kinder „natürliche Zahlen faktorisieren und deren Primfaktorzerlegung ermitteln, wobei sie sich der Eindeutigkeit dieser Zerlegung bewusst sind“, und dabei „auch Regeln für die Teilbarkeit durch 2, 3, 5 und 10 zielgerichtet anwenden“. Der Lehrplan unterscheidet sich je nach Bundesland um bis zu ein Jahr.

In den USA verlangt der Common-Core-Standard 4.OA.B.4 dasselbe schon ein Jahr früher: Kinder sollen „alle Teilerpaare einer natürlichen Zahl von 1 bis 100 finden“ und „entscheiden, ob eine natürliche Zahl von 1 bis 100 prim oder zusammengesetzt ist“.

England setzt denselben Stoff in Year 5 an. Der nationale Mathematiklehrplan für England verlangt, „festzustellen, ob eine Zahl bis 100 prim ist, und die Primzahlen bis 19 abzurufen“.

Außerhalb der Schule sind Primzahlen der Grund, warum eine Zahlung im Netz privat bleibt. Die Verschlüsselung mit öffentlichem Schlüssel multipliziert zwei sehr große Primzahlen und veröffentlicht das Produkt; die Sicherheit beruht darauf, wie schwer sich dieses Produkt wieder zerlegen lässt.

Der Zusammenhang mit Teilern und Brüchen

Die Primfaktorzerlegung ist das Werkzeug zum Kürzen eines Bruchs, und deshalb kommt sie vor der Bruchrechnung. Um 84/126 zu kürzen, zerlegen Sie beide Zahlen in Primfaktoren: 84 = 2 × 2 × 3 × 7 und 126 = 2 × 3 × 3 × 7. Gemeinsam sind 2 × 3 × 7 = 42, also 84 ÷ 42 = 2, 126 ÷ 42 = 3 und damit 84/126 = 2/3.

Der Common-Core-Standard 6.NS.B.4 macht diese Arbeit in der 6. Klasse ausdrücklich zum Ziel: den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen bis 100 und das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen bis 12 zu bestimmen. Das Spiel zu den Vielfachen übt dieselbe Beziehung von der anderen Seite, indem es fragt, welche Zahlen ein bestimmter Teiler erreicht.

Gratis im Browser spielenVielfache-JagdKlasse 3–5

Wie prüft man Schritt für Schritt, ob eine Zahl prim ist?

Eine Zahl unter 100 ist prim, wenn keine der Zahlen 2, 3, 5 und 7 sie teilt. Diese vier Proben decken alles bis 120 ab, denn die nächste Primzahl, die 11, greift erst bei 11 × 11 = 121.

Klären Sie zuerst 0, 1 und 2. Null und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt, die 2 ist prim, und ab 3 ist jede gerade Zahl zusammengesetzt.
Durch 2 teilen. Nach den Teilbarkeitsregeln von nrich ist „eine Zahl durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist“, also fällt alles mit 0, 2, 4, 6 oder 8 am Ende heraus.
Durch 3 teilen. Ziffern addieren: Ist die Summe ein Vielfaches von 3, dann auch die Zahl. Bei 51 ergeben die Ziffern 6, und 51 = 3 × 17; bei 57 ergeben sie 12, und 57 = 3 × 19.
Durch 5 teilen. Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 oder 5 ist, und das sieht man auf einen Blick.
Durch 7 teilen, über 120 auch durch 11. Für beide gibt es keine Regel auf einen Blick, also rechnen Sie die Division und schauen, ob sie aufgeht. Dieser Schritt erwischt die 91, denn 91 ÷ 7 = 13.
Bei der Quadratwurzel aufhören. Sobald der geprüfte Teiler mit sich selbst multipliziert die Zahl überschreitet, ist kein Teiler mehr zu finden, und die Zahl ist prim.

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Wo Schluss ist: die Quadratwurzel

Die Wurzelregel hält den Test kurz: Für den Nachweis, dass eine Zahl prim ist, brauchen Sie nur Teiler bis zu ihrer Quadratwurzel. Hätte eine Zahl einen Teiler über der Wurzel, wäre der Partner in diesem Teilerpaar kleiner, und Sie wären ihm längst begegnet.

Nehmen Sie 97: Weil 10 × 10 = 100 schon darüber liegt, enden die Proben unter 10, es bleiben 2, 3, 5 und 7. Keine davon teilt 97, also ist 97 prim. Das Spiel zu den Quadratzahlen baut das Gefühl dafür auf, wo jede Quadratzahl liegt.

Drei Wege zu Primzahlen: Probedivision, Sieb des Eratosthenes und Teilerpaare

Drei Verfahren führen zu Primzahlen: Die Probedivision entscheidet eine einzelne Zahl, das Sieb erzeugt eine ganze Liste, und Teilerpaare zeigen, warum eine zusammengesetzte Zahl zusammengesetzt ist.

Verfahren	So läuft es	Gut für	Tempo von Hand	Größtes Risiko
Probedivision	Durch 2, 3, 5, 7 und 11 teilen, bis zur Quadratwurzel	Eine bestimmte Zahl entscheiden	Unter einer Minute pro Zahl	Vor der Quadratwurzel aufhören
Sieb des Eratosthenes	1 bis 100 aufschreiben, dann jedes Vielfache von 2, 3, 5 und 7 streichen	Alle Primzahlen bis 100 auf einmal	Etwa 10 Minuten für die ganze Tafel	Die Primzahl selbst mitstreichen
Teilerpaare	Jedes Paar aufschreiben, das die Zahl ergibt: 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6	Einem Kind zeigen, warum eine Zahl zusammengesetzt ist	Zwei bis drei Minuten pro Zahl	Ein Paar in der Mitte übersehen

Welche Methode wann passt

Das Sieb des Eratosthenes gewinnt, wenn ein Kind alle Primzahlen bis 100 braucht, denn ein Durchgang liefert alle 25. Schreiben Sie 1 bis 100 in ein Raster mit zehn Spalten, streichen Sie die 1, kreisen Sie die 2 ein und streichen Sie jedes weitere Vielfache von 2. Dann die 3 einkreisen und ihre Vielfachen streichen, danach dasselbe für die 5 und die 7.

Die Vielfachen von 2, 3, 5 und 7 zu streichen genügt für eine Hundertertafel, denn die nächste Primzahl, die 11, erreicht eine noch nicht gestrichene Zahl erst bei 11 × 11 = 121. Was stehen bleibt, ist prim.

Teilerpaare passen zu dem Kind, das die Definition hat, aber kein Gefühl dafür. Das Spiel zu den Teilerpaaren deckt dieses Verfahren ab, und 4 × 6 neben 1 × 24 zu sehen bringt mehr als der Satz, dass 24 zusammengesetzt ist.

Primfaktorzerlegung, vorgerechnet

Die Primfaktorzerlegung schreibt eine Zahl als Produkt von Primzahlen, und jede natürliche Zahl über 1 hat genau ein solches Produkt. Für 84 ist das 2 × 2 × 3 × 7, egal welchen Weg die Rechnung nimmt.

Der erste Weg teilt immer wieder durch die kleinste passende Primzahl: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, und 7 ist prim. Liest man die Teiler ab, ergibt sich 2 × 2 × 3 × 7, oft geschrieben als 2² × 3 × 7.

Eine größere Zahl verhält sich genauso: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45, 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5, also 360 = 2³ × 3² × 5.

Faktorbäume

Ein Faktorbaum zerlegt eine Zahl in zwei beliebige Faktoren, dann diese wieder, bis jeder Ast auf einer Primzahl endet. Beginnt man 84 als 4 × 21, ergibt sich 4 = 2 × 2 und 21 = 3 × 7, die Astenden lauten also 2, 2, 3, 7.

Beginnt dieselbe 84 als 12 × 7, ergibt sich 12 = 3 × 4 und 4 = 2 × 2, und die Astenden lauten wieder 2, 2, 3, 7. Die Form des Baums ändert sich, die Primzahlen nicht, und das ist der Fundamentalsatz der Arithmetik, auf ein Blatt gezeichnet. Lassen Sie Ihr Kind beide Bäume bauen; in dem Moment, in dem die zwei Listen übereinstimmen, sitzt die Idee.

Ein Faktorbaum, der 60 in 6 und 10 zerlegt und weiter in die Primfaktoren 2, 3, 2 und 5.

So prüfen Sie, ob Ihr Kind es kann

Fünf Signale zeigen, ob Primzahlen angekommen sind, und jedes davon ist in unter einer Minute geprüft.

Die Definition, laut gesagt: Fragen Sie ohne Beispiel, was eine Primzahl ist. „Genau zwei Teiler, 1 und sie selbst“ ist die Antwort; „eine Zahl, die man nicht teilen kann“ nicht.
Die Ausnahme benannt: Fragen Sie, ob eine gerade Zahl prim sein kann. Die Antwort ist die 2, und nur die 2.
Die Primzahlen bis 50 in 30 Sekunden: Fragen Sie sie der Reihe nach ab. Fünfzehn Zahlen von 2 bis 47, ohne 1 und ohne 9.
Eine schwere Zahl mit Begründung entschieden: Geben Sie die 91 und verlangen Sie Urteil plus Rechenweg. Wer „7 × 13, also zusammengesetzt“ sagt, hat das Verfahren; wer „prim“ sagt, rät nach Muster.
Eine Zerlegung, die aufgeht: Fragen Sie nach der Primfaktorzerlegung von 60 und dann nach dem Produkt zurück. Die Antwort 2 × 2 × 3 × 5 = 60 zeigt beide Richtungen.

Ein Fünf-Minuten-Test

Eine Kontrolle über fünf Minuten schlägt eine lange Prüfung. Der Leitfaden des What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics empfiehlt Lehrkräften, „regelmäßig Übungen auf Zeit einzusetzen, um Geläufigkeit in Mathematik aufzubauen“.

Derselbe Leitfaden verlangt eine „klare und knappe mathematische Sprache“, und das heißt hier vier Begriffe, genau verwendet: Primzahl, zusammengesetzte Zahl, Teiler und Vielfaches. Ein Kind, das Teiler und Vielfaches vertauscht, scheitert am Wortschatz, nicht am Denken.

Das Spiel zu den Divisionsaufgaben liefert den Abruf, auf den das Verfahren sich stützt, denn jede Teilbarkeitsprobe ist eine Divisionsfrage.

Typische Fehler bei Primzahlen und Sonderfälle

Sechs Fehler verursachen die meisten falschen Antworten auf einem Arbeitsblatt zu Primzahlen, und jeder hat eine Korrektur in einer Zeile.

Die 1 als Primzahl markiert: Die 1 hat nur einen Teiler, verfehlt damit die Regel „genau zwei“ und ist weder prim noch zusammengesetzt.
Die 2 als zusammengesetzt markiert: Die 2 ist die einzige gerade Primzahl, und wer „gerade heißt zusammengesetzt“ gelernt hat, braucht diese Ausnahme oben auf dem Blatt.
Die 0 überhaupt geprüft: Null ist weder prim noch zusammengesetzt, denn jede natürliche Zahl über 0 teilt sie.
9 und 21 für prim gehalten: Ungerade heißt nicht prim, denn 9 = 3 × 3 und 21 = 3 × 7.
51 und 57 für prim gehalten: Beide fallen bei der Quersummenprobe für 3, denn 51 = 3 × 17 und 57 = 3 × 19.
91 für prim gehalten: Die 91 besteht die Proben für 2, 3 und 5, also erklärt ein Test, der bei 5 aufhört, sie für prim. Die Division durch 7 ergibt 13, und 91 = 7 × 13.

Negative Zahlen und Brüche liegen außerhalb der Frage, denn prim und zusammengesetzt sind für natürliche Zahlen größer als 1 definiert.

Ihre Checkliste zu Primzahlen

Die Definition sagen: genau zwei Teiler, die 1 und die Zahl selbst.
Die 2 kennen: die einzige gerade Primzahl und die Ausnahme, die jede Liste halbiert.
Die Proben der Reihe nach laufen lassen: 2, 3, 5, 7, über 120 dazu die 11.
Bei der Quadratwurzel aufhören: Überschreitet der Teiler mal sich selbst die Zahl, ist die Zahl prim.
Die Antwort prüfen: die Primfaktoren zurück multiplizieren und mit der Ausgangszahl vergleichen.

Die letzten beiden Zeilen sitzen schneller durch Üben als durch Erklären. Das druckbare Arbeitsblatt zum Multiplizieren für die 4. Klasse kommt mit Lösungen, und der Leitfaden dazu, wie Ihr Kind das Einmaleins schnell lernt, behandelt den Abruf hinter jeder Teilbarkeitsprobe. Die Übersicht dazu, welche Mathematik in welcher Klasse dran ist, zeigt, wo Primzahlen im Lehrplan stehen.

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Primzahlen erkennen: die Regel und der kurze Test dahinter

Das Wichtigste in Kürze