Wie kürzt man einen Bruch vollständig?

Einen Bruch kürzt man, indem man Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilt, und das wiederholt, bis nur noch die 1 beide teilt. Bei 18/24 lassen sich beide Teile durch 6 teilen, also 18/24 = 3/4. Wer durch den größten gemeinsamen Teiler teilt, ist in einem Schritt fertig, und der gekürzte Bruch beschreibt weiterhin dieselbe Menge.

Was bedeutet vollständig gekürzt bei einem Bruch?

Vollständig gekürzt bedeutet, dass Zähler und Nenner eines Bruchs keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben. Der Bruch 3/4 ist vollständig gekürzt, weil keine ganze Zahl über 1 sowohl 3 als auch 4 teilt, 6/8 dagegen nicht, weil 2 beide teilt. Man sagt auch, der Bruch ist nicht weiter kürzbar.

Wie kürzt man einen Bruch schnell?

Am schnellsten kürzt man einen Bruch, indem man Zähler und Nenner in einem Schritt durch ihren größten gemeinsamen Teiler teilt. Bei 24/36 ist der ggT 12, also 24 : 12 = 2 und 36 : 12 = 3, und die Antwort ist 2/3. Ist der ggT nicht sofort klar, teilen Sie durch irgendeinen gemeinsamen Teiler, den Sie sehen, und wiederholen das.

Wie kürzt man einen unechten Bruch?

Einen unechten Bruch kürzt man genauso wie jeden anderen Bruch: Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler teilen, bis nur noch die 1 beide teilt. Bei 20/6 ergibt das Teilen durch 2 den Bruch 10/3. Soll die Antwort eine gemischte Zahl sein, teilen Sie 10 durch 3 und erhalten 3 Rest 1, also 10/3 = 3 1/3.

Wird ein Bruch beim Kürzen kleiner?

Ein Bruch wird beim Kürzen nicht kleiner, nur seine Zahlen werden kleiner. Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler zu teilen, bis der Bruch nicht weiter kürzbar ist. Das Wort kann Kinder in die Irre führen, denn der Wert des Bruchs bleibt gleich: 6/8 und 3/4 sind genau dieselbe Menge.

Muss ein Bruch gekürzt sein, damit er richtig ist?

Ein Bruch muss nicht gekürzt sein, um mathematisch richtig zu sein, denn 6/8 und 3/4 sind gleich. Viele Lehrkräfte und Klassenarbeiten verlangen trotzdem vollständig gekürzte Ergebnisse, also kann ein Kind für 6/8 Punkte verlieren. Lesen Sie die Aufgabenstellung, und kürzen Sie im Zweifel das Endergebnis.

Brüche kürzen: so geht's Schritt für Schritt

Ihr Kind bringt ein Arbeitsblatt mit nach Hause, auf dem steht „Kürze die Ergebnisse vollständig“, und die erste Antwort ist 6/8. Sie wissen noch, dass 6/8 irgendwie dasselbe ist wie 3/4, aber nicht mehr, wie man das erklärt. Dieser Leitfaden zeigt, wie man Brüche Schritt für Schritt kürzt, warum das Kürzen die Menge nie verändert und mit welchen Abkürzungen es am Küchentisch schnell geht.

Was bedeutet es, Brüche zu kürzen?

Einen Bruch zu kürzen heißt, dieselbe Menge mit kleineren Zahlen zu schreiben, sodass die Stücke größer und weniger werden. Eine Pizza in 8 Stücken, von denen 6 gegessen sind, und eine Pizza in 4 Stücken, von denen 3 gegessen sind, zeigen dieselbe Menge gegessener Pizza, also 6/8 = 3/4.

Brüche, die dieselbe Menge bezeichnen, heißen gleichwertige Brüche. Der Common-Core-Standard 4.NF.A.1 verlangt in den USA von Viertklässlern, mit Bruchmodellen zu erklären, warum a/b gleichwertig zu (n · a)/(n · b) ist, und dabei darauf zu achten, wie sich Anzahl und Größe der Teile unterscheiden, obwohl beide Brüche gleich groß sind. In Bayern erläutern Kinder am Gymnasium laut LehrplanPLUS für die 6. Klasse, dass Erweitern und Kürzen den Wert eines Bruchs nicht verändern.

Kürzen ist diese Regel rückwärts. Wer Zähler und Nenner mit 2 multipliziert, macht aus 3/4 den Bruch 6/8, also macht das Teilen von Zähler und Nenner durch 2 aus 6/8 wieder 3/4.

Drei gleich lange Streifen, in 16, 8 und 4 Teile geteilt, mit 12, 6 und 3 schraffierten Teilen, sodass die schraffierte Länge gleich ist und 12/16 = 6/8 = 3/4.

Warum vollständiges Kürzen unterrichtet wird

Vollständiges Kürzen wird unterrichtet, weil es jeder Menge einen einheitlichen Namen gibt, und so lassen sich Antworten leicht vergleichen und prüfen. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn nur die 1 Zähler und Nenner zugleich teilt; der Wikipedia-Eintrag zu unkürzbaren Brüchen nennt dafür mehrere Bezeichnungen.

Der nationale Lehrplan in England setzt dieselbe Fähigkeit in Year 6 an: Die Kinder sollen gemeinsame Teiler nutzen, um Brüche zu kürzen. Der Praxisleitfaden des What Works Clearinghouse zu Brüchen empfiehlt zu vermitteln, dass Brüche Zahlen mit einer Größe sind, die sich ordnen oder als gleichwertig betrachten lassen, und das ist die Idee hinter dem Kürzen.

Brüche kürzen: Schritt für Schritt

Das Kürzen von Brüchen hat eine einzige Regel: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen. Diese Schritte kürzen 18/24.

Eine Zahl suchen, die beide Teile teilt. 18 und 24 sind beide gerade, also teilt 2 beide.
Zähler und Nenner durch sie teilen. 18 : 2 = 9 und 24 : 2 = 12, also wird 18/24 zu 9/12.
Mit dem neuen Bruch wiederholen. 9 und 12 lassen sich beide durch 3 teilen, 9 : 3 = 3 und 12 : 3 = 4, also wird 9/12 zu 3/4.
Aufhören, wenn nur noch die 1 beide teilt. Keine ganze Zahl über 1 teilt sowohl 3 als auch 4, also ist 3/4 vollständig gekürzt.
Mit dem Erweitern die Probe machen. 3 · 6 = 18 und 4 · 6 = 24, also sind 3/4 und 18/24 dieselbe Menge.

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In einem Schritt durch den ggT teilen

Wer durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT) teilt, kürzt in einem Schritt statt in mehreren. Bei 18/24 ist der ggT 6, also 18 : 6 = 3 und 24 : 6 = 4, und die Antwort ist sofort 3/4.

Beide Wege führen immer zum selben Ergebnis. Bei 36/48 nutzt zweimal Halbieren und dann Teilen durch 3 den Faktor 2 · 2 · 3 = 12, und das ist der ggT von 36 und 48. Der Standard 6.NS.B.4 verlangt von Sechstklässlern, den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen bis 100 zu finden, und der Leitfaden zu ggT und kgV zeigt, wie das geht.

Eine Kürzungsleiter für 36/48: durch 2 zu 18/24, durch 2 zu 9/12 und durch 3 zu 3/4, daneben ein einziger Schritt, der 36/48 durch 12 zu 3/4 kürzt.

Vier Wege, Brüche zu kürzen, im Vergleich

Vier Wege beantworten die Frage, wie man Brüche kürzt, und jeder passt zu einem anderen Kind und einem anderen Bruch. Der schrittweise Weg ist für Anfänger am sichersten, der Weg über den ggT am schnellsten, sobald die Teiler vertraut sind.

Weg	So geht es	Beispiel	Am besten für	Tempo
Wiederholt halbieren	Beide Teile durch 2 teilen, solange beide gerade sind	16/24 → 8/12 → 4/6 → 2/3	Einstieg, gerade Zahlen	Langsam, am Ende noch auf 3, 5 oder 7 prüfen
Durch kleine Primzahlen teilen	Der Reihe nach 2, 3, 5 und 7 probieren	30/42 → 15/21 → 5/7	Erste Übungen	Mittel
ggT in einem Schritt	Den ggT finden, einmal teilen	18/24 durch 6 = 3/4	Geübte Kinder und Erwachsene	Schnell, wenn der ggT bekannt ist
Primfaktorzerlegung	Beide Teile als Primzahlen schreiben und gemeinsame wegkürzen	12/18 = (2 · 2 · 3)/(2 · 3 · 3) = 2/3	Große Zahlen	Langsam zu schreiben, übersieht keinen Teiler

Abkürzungen mit Teilbarkeitsregeln

Teilbarkeitsregeln zeigen, welche Zahlen beide Teile teilen, ganz ohne schriftliche Division. Fünf Regeln decken die meisten Brüche aus den Hausaufgaben ab:

Durch 2: Die letzte Ziffer ist gerade, wie bei 14 und 38.
Durch 3: Die Quersumme ist durch 3 teilbar, wie bei 51, wo 5 + 1 = 6.
Durch 5: Die letzte Ziffer ist 0 oder 5, wie bei 45 und 60.
Durch 9: Die Quersumme ist durch 9 teilbar, wie bei 27 und 63.
Durch 10: Die letzte Ziffer ist 0, wie bei 30 und 70.

Nehmen Sie 45/60. Beide Zahlen enden auf 5 oder 0, also teilen Sie durch 5 und erhalten 9/12; 9 ist ein Vielfaches von 3 und die Quersumme von 12 ist 3, also teilen Sie durch 3 und erhalten 3/4. Bei 27/63 ist die Quersumme jeweils 9, also ergibt ein Teilen durch 9 den Bruch 3/7.

Die Primfaktorzerlegung setzt voraus, dass man die Primzahlen kennt, und der Leitfaden zu Primzahlen listet sie auf. Sicheres Teilen trägt jede Abkürzung, und das Arbeitsblatt zur Division für die 4. Klasse bietet druckbare Übungen mit Lösungen.

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Unechte Brüche und gemischte Zahlen kürzen

Einen unechten Bruch kürzt man genau wie einen echten, indem man Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler teilt. Bei 14/4 sind beide Teile gerade, also 14 : 2 = 7 und 4 : 2 = 2, und das ergibt 7/2.

Das Ergebnis als gemischte Zahl zu schreiben ist ein zweiter, eigener Schritt. Teilen Sie 7 durch 2 und erhalten Sie 3 Rest 1, also 7/2 = 3 1/2. Wer zuerst umwandelt und dann den Bruchteil kürzt, erhält dasselbe Ergebnis, 14/4 = 3 2/4 = 3 1/2, aber zuerst zu kürzen hält die Zahlen klein.

Gemischte Zahlen kürzen

Eine gemischte Zahl kürzt man, indem man die ganze Zahl stehen lässt und nur den Bruchteil kürzt. Bei 2 6/9 lässt sich der Bruch 6/9 durch 3 zu 2/3 kürzen, also 2 6/9 = 2 2/3.

Eine gemischte Zahl mit unechtem Bruchteil braucht einen Schritt mehr. Bei 1 9/6 wird 9/6 zu 3/2 gekürzt, und das ist 1 1/2, also 1 9/6 = 1 + 1 1/2 = 2 1/2. Dieselben Fähigkeiten kommen wieder, wenn Ihr Kind lernt, Brüche zu dividieren, denn dort werden die Ergebnisse meist vollständig gekürzt angegeben.

So prüfen Sie, ob Ihr Kind Brüche kürzen kann

Fünf kurze Fragen zeigen, ob das Kürzen von Brüchen sitzt. Verlangen Sie den Rechenweg, denn eine geratene richtige Antwort verrät Ihnen nichts.

Ein gemeinsamer Teiler: Kürze 10/15. Die Antwort ist 2/3, gefunden durch Teilen beider Teile durch 5.
Ein versteckter Teiler: Kürze 21/28. Die Antwort ist 3/4, gefunden durch Teilen durch 7.
Mehr als ein Schritt: Kürze 24/36. Die Antwort ist 2/3, durch 12 in einem Schritt oder nacheinander durch 2, 2 und 3.
Schon gekürzt: Fragen Sie, ob 9/15 vollständig gekürzt ist. Das ist es nicht, weil 3 beide teilt, und die Antwort ist 3/5.
Unecht: Kürze 18/4 und schreibe das Ergebnis als gemischte Zahl. Die Antwort ist 9/2, also 4 1/2.

Ein Fünf-Minuten-Test

Ein Fünf-Minuten-Test mit drei gemischten Brüchen, einem leichten, einem mit verstecktem Teiler und einem unechten, sagt mehr als eine Seite mit nur einer Aufgabensorte. Wiederholen Sie ihn einmal pro Woche mit neuen Zahlen, und gehen Sie weiter, wenn Ihr Kind zwei Wochen hintereinander alle drei richtig hat.

Der Leitfaden zu Brüchen für Eltern erklärt die früheren Ideen (Zähler, Nenner, Brüche vergleichen), falls einer dieser Tests eine Lücke zeigt.

Typische Fehler beim Kürzen von Brüchen

Drei Fehler verursachen die meisten falschen Antworten, und jeder hat eine Korrektur in einer Zeile.

Subtrahieren statt Teilen: Wer von Zähler und Nenner bei 5/10 jeweils 4 abzieht, erhält 1/6, aber 5/10 ist ein Halb. Teilen Sie beide Teile durch dieselbe Zahl: 5/10 durch 5 gekürzt ist 1/2.
Ziffern wegstreichen: Wer bei 12/24 die beiden 2er durchstreicht, erhält 1/4, aber 12/24 ist 1/2. Bei 16/64 = 1/4 stimmt der Trick nur zufällig, also teilen Sie ganze Zahlen und streichen nie einzelne Ziffern.
Zu früh aufhören: Halbieren von 8/12 ergibt 4/6, und 4 und 6 sind immer noch gerade. Kürzen Sie weiter bis 2/3, oder teilen Sie gleich zu Beginn durch den ggT 4.

Sonderfall: Brüche, die schon vollständig gekürzt sind

Ein Bruch ist schon vollständig gekürzt, wenn seine Teile keinen gemeinsamen Teiler über 1 haben, auch wenn die Zahlen groß aussehen. Bei 7/12 ist 7 eine Primzahl und teilt 12 nicht, also lässt sich 7/12 nicht kürzen.

Zwei aufeinanderfolgende Zahlen wie bei 8/9 oder 15/16 haben nie einen gemeinsamen Teiler über 1, und dasselbe gilt für jeden Bruch mit 1 im Zähler. Ein Bruch, dessen Zähler gleich dem Nenner ist, wie 6/6, wird zu 1 gekürzt.

Ihre Checkliste zum Kürzen und die nächsten Schritte

Dieselbe Zahl: Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen, nie subtrahieren.
Abkürzungen: zuerst 2, 3, 5, 9 und 10 mit den Teilbarkeitsregeln prüfen.
ggT: durch den größten gemeinsamen Teiler teilen, um in einem Schritt fertig zu sein.
Stopp-Regel: erst aufhören, wenn nur noch die 1 beide Teile teilt.
Gemischte Zahlen: die ganze Zahl behalten und den Bruchteil kürzen.
Probe: das Ergebnis zurück erweitern und mit dem Ausgangsbruch vergleichen.

Sichere Teilerkenntnis macht jeden dieser Schritte schneller. Die Seite mit dem Mathespiel für die 5. Klasse sammelt Übungen auf Klassenniveau für das Schuljahr, in dem die Bruchrechnung Fahrt aufnimmt.

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