Wie berechnet man den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreises?

Der Umfang eines Kreises ist U = π · d oder U = 2 · π · r, der Flächeninhalt ist A = π · r · r. Die Kreiszahl π ist ungefähr 3,14. Ein Kreis mit dem Radius 5 cm hat den Umfang 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm und den Flächeninhalt 3,14 · 5 · 5 = 78,5 cm². Der Umfang ist eine Länge, der Flächeninhalt hat Quadrateinheiten.

Wie viele Nachkommastellen hat Pi?

Pi hat unendlich viele Nachkommastellen, weil seine Dezimaldarstellung nie endet und nie in ein sich wiederholendes Muster übergeht. Computer haben Hunderte Billionen Stellen berechnet, doch in der Praxis braucht man sehr wenige. Das Jet Propulsion Laboratory der NASA nutzt für seine genaueste Navigation im All 3,141592653589793, also 15 Nachkommastellen.

Der Pi-Tag ist jedes Jahr am 14. März, weil das Datum in amerikanischer Schreibweise 3/14 lautet und damit zu den ersten Ziffern von Pi, 3,14, passt. Schulen und Mathe-AGs feiern ihn oft mit Kreisaufgaben, Wettbewerben im Auswendiglernen von Pi-Stellen und runden Kuchen. Die NASA veröffentlicht dazu eine Pi Day Challenge mit Kreisaufgaben aus der Raumfahrt.

Wie groß ist der Erdumfang?

Der Erdumfang am Äquator beträgt ungefähr 40.075 km. Das Erd-Datenblatt der NASA nennt einen Äquatorradius von 6.378,137 km, und 2 · π · 6.378,137 ergibt ungefähr 40.075 km. Der Umfang über die Pole ist etwas kürzer, weil die Erde an den Polen leicht abgeplattet ist.

Wie berechnet man den Umfang aus dem Flächeninhalt?

Den Umfang findet man aus dem Flächeninhalt in drei Schritten: den Flächeninhalt durch π teilen, die Wurzel ziehen, um den Radius zu bekommen, und dann mit 2 · π multiplizieren. Ein Kreis mit 78,5 cm² ergibt 78,5 : 3,14 = 25, die Wurzel aus 25 ist 5 cm, und der Umfang ist 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm.

Umfang und Flächeninhalt eines Kreises berechnen

Q: Was ist die Kreiszahl π?

Die Kreiszahl π (Pi) ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises, und sie ist für jeden Kreis gleich. Ihr Wert ist ungefähr 3,14159. Pi ist eine irrationale Zahl, lässt sich also nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben, und ihre Nachkommastellen enden nie und wiederholen sich nie. In der Schule rundet man meist auf 3,14 oder 22/7.

Ihr Kind in der 8. Klasse hat ein Arbeitsblatt voller Kreise, einen Taschenrechner und zwei Formeln, die fast gleich aussehen. Der Umfang eines Kreises ist die Strecke einmal herum, der Flächeninhalt ist die Fläche innen, und beide kommen von einer einzigen Zahl, der Kreiszahl π. Sobald klar ist, welche Größe die Aufgabe angibt (Radius oder Durchmesser), sind Kreisumfang und Kreisfläche in zwei oder drei Schritten berechnet.

Was ist die Kreiszahl π, und warum braucht jeder Kreis sie?

Die Kreiszahl π (Pi) gibt an, wie oft der Durchmesser eines Kreises um seinen Rand passt, und sie ist für jeden Kreis der Welt gleich. Der Wikipedia-Artikel über Pi nennt den Näherungswert 3,14159 und hält fest, dass ihre Dezimaldarstellung „nie endet und auch nie in ein dauerhaft wiederholendes Muster übergeht“.

Pi ist eine irrationale Zahl, also ist kein Bruch und keine Dezimalzahl genau gleich π. OpenStax Prealgebra 2e rät, π mit 3,14 oder 22/7 anzunähern, je nachdem, ob der Radius als Dezimalzahl oder als Bruch angegeben ist. Der Bildungsplan Mathematik in Baden-Württemberg verlangt für die Klassen 7 bis 9, „die Zahl π als Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises erklären“ zu können.

Ein Kreis mit dem Durchmesser d in Blau und dem Radius r in Grün; darunter ist der Umfang zu einer geraden Linie abgerollt, in die drei Durchmesser und ein kleines Stück mehr passen, mit C = π × d, C = 2 × π × r und d = 2 × r.

Radius und Durchmesser

Radius und Durchmesser sind die beiden Längen, mit denen jede Kreisformel beginnt. Der Radius (r) reicht vom Mittelpunkt bis zum Rand, der Durchmesser (d) von Rand zu Rand durch den Mittelpunkt, also ist der Durchmesser immer doppelt so lang wie der Radius: d = 2 · r.

Eine Pizza mit 30 cm Durchmesser hat einen Radius von 15 cm. Schreiben Sie beide Zahlen auf, bevor Sie eine Formel anfassen. Die meisten falschen Antworten bei Kreisaufgaben beginnen mit der falschen der beiden. In der Zeichnung steht C für den Umfang (englisch circumference); in deutschen Schulbüchern heißt er meist U.

Den Umfang eines Kreises berechnen: Schritt für Schritt

Der Umfang eines Kreises ist π mal Durchmesser, U = π · d, oder 2 mal π mal Radius, U = 2 · π · r. Beide Formeln liefern dasselbe Ergebnis, weil 2 · r der Durchmesser ist. OpenStax beschreibt den Kreisumfang als die Randlänge eines Kreises, genau wie der Umfang eines Vielecks, und das verbindet ihn mit Flächeninhalt und Umfang von Quadrat und Rechteck.

Den Durchmesser bestimmen. Quer durch den Mittelpunkt messen oder den Radius verdoppeln. Ein Essteller misst 26 cm, also ist d = 26 cm.
Einen Wert für π wählen. 3,14 für Dezimalzahlen und ganze Zahlen, 22/7, wenn der Radius ein Vielfaches von 7 ist, oder die π-Taste des Taschenrechners für das genaueste Ergebnis.
π mit dem Durchmesser multiplizieren. 3,14 · 26 = 81,64. Der Leitfaden zum Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen zeigt diesen Schritt schriftlich.
Die Einheit dazuschreiben. Der Umfang ist ungefähr 81,64 cm. Der Umfang ist eine Länge, also steht er in mm, cm oder m, ohne die kleine 2.
Die Größe prüfen. Das Ergebnis muss etwas mehr als 3 Durchmesser sein: 3 · 26 = 78, und 81,64 ist etwas mehr. Ein Ergebnis unter 3 Durchmessern oder über 4 ist falsch.

Ein Rad mit dem Radius 30 cm nutzt die andere Form: U = 2 · 3,14 · 30 = 188,4 cm.

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Der typische Fehler: Radius oder Durchmesser

Der häufigste Fehler beim Kreisumfang setzt den Radius in U = π · d ein. Ein Kreis mit dem Radius 5 cm bekommt dann 3,14 · 5 = 15,7 cm, die Hälfte des richtigen Ergebnisses 31,4 cm. Fragen Sie vor dem Multiplizieren: „Ist diese Zahl der ganze Weg quer durch oder die Hälfte davon?“

Der umgekehrte Fehler verdoppelt einen Durchmesser in U = 2 · π · r. Ein Teller mit 26 cm Durchmesser wird zu 2 · 3,14 · 26 = 163,28 cm, doppelt so viel wie der echte Weg einmal herum. Die Größenprobe aus Schritt 5 findet beide Fehler in wenigen Sekunden.

Den Flächeninhalt eines Kreises berechnen

Der Flächeninhalt eines Kreises ist π mal Radius mal Radius, A = π · r². Er zählt die Einheitsquadrate im Kreis, also steht er immer in Quadrateinheiten wie cm² oder m².

Ein Kreis mit dem Radius 5 cm hat den Flächeninhalt 3,14 · 5 · 5 = 3,14 · 25 = 78,5 cm². Der Teller aus der Schrittliste hat den Radius 13 cm, also ist seine Fläche 3,14 · 13 · 13 = 3,14 · 169 = 530,66 cm². Eine Pizza mit 30 cm Durchmesser hat den Radius 15 cm und die Fläche 3,14 · 225 = 706,5 cm².

Die Reihenfolge zählt: zuerst den Radius quadrieren, dann mit π multiplizieren. Die kleine 2 in r² ist ein Exponent, den der Leitfaden zu Potenzen erklärt, und Kinder, die ihre Quadratzahlen auswendig kennen (25, 36, 49, 64), rechnen jede Fläche in einem Schritt.

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Warum die Flächenformel stimmt

Die Flächenformel entsteht, wenn man einen Kreis wie eine Pizza in schmale Stücke schneidet und sie nebeneinanderlegt. Legt man die Stücke abwechselnd mit der Spitze nach oben und nach unten, entsteht fast ein Parallelogramm. Je mehr Stücke man schneidet, desto näher kommt die Form einem Rechteck.

Ein Kreis in 16 Stücke geschnitten, die obere Hälfte blau und die untere Hälfte gelb, umgelegt zu einem Fast-Parallelogramm, dessen lange Seite π × r und dessen Höhe r ist, mit A = π × r × r.

Die lange Seite dieser Form ist der halbe Umfang, also die Hälfte von 2 · π · r, das heißt π · r. Die Höhe ist ein Radius, r. Ein Rechteck, das π · r lang und r hoch ist, hat den Flächeninhalt π · r · r, und das ist die Formel.

Der Common-Core-Standard 7.G.B.4 verlangt in den USA in der 7. Klasse, die Formeln für Flächeninhalt und Umfang eines Kreises zu kennen, damit Aufgaben zu lösen und den Zusammenhang zwischen Umfang und Fläche anschaulich herzuleiten, und dieses Tortenstück-Bild ist genau diese anschauliche Herleitung. Der baden-württembergische Bildungsplan fordert dasselbe: erklären, wie Flächeninhalt und Umfang eines Kreises mithilfe eines Grenzprozesses bestimmt werden.

Umfang, Flächeninhalt, Durchmesser und Radius im Vergleich

Umfang, Flächeninhalt, Durchmesser und Radius beschreiben vier verschiedene Dinge am selben Kreis.

Größe	Was sie ist	Formel	Einheit	Wann man sie braucht
Radius (r)	Mittelpunkt bis Rand	r = d : 2	cm, m	Ausgangspunkt für die Fläche; so weit öffnet man den Zirkel
Durchmesser (d)	Rand zu Rand durch den Mittelpunkt	d = 2 · r	cm, m	Teller, Rohre, Pizzen, Räder messen
Umfang (U)	Strecke einmal um den Kreis	U = π · d = 2 · π · r	cm, m	Zaun um ein rundes Beet, Band um eine Torte, Radumdrehungen
Flächeninhalt (A)	Fläche im Kreis	A = π · r²	cm², m²	Farbe, Rasensamen, Pizzagröße, Tischdecken

Der Umfang wächst im selben Maß wie der Radius, die Fläche aber mit dem Quadrat des Radius. Eine Pizza mit 40 cm Durchmesser hat den Radius 20 cm und die Fläche 3,14 · 400 = 1256 cm², fast doppelt so viel wie die 706,5 cm² einer Pizza mit 30 cm.

Wonach eine Aufgabe fragt

Die Wörter in einer Textaufgabe verraten die Formel. „Herum“, „Rand“, „Borte“, „Zaun“ und „wie weit rollt das Rad“ zeigen auf den Umfang. „Bedecken“, „innen“, „streichen“, „Teppich“ und „wie viel Pizza“ zeigen auf den Flächeninhalt.

Der Leitfaden zum Volumen berechnen nutzt die Kreisfläche als Grundfläche eines Zylinders: Das Volumen einer Dose ist π · r² · h.

Kreis-Versuche am Küchentisch

Kreis-Versuche am Küchentisch lassen ein Kind π mit eigenen Händen finden, bevor es die Zahl in eine Formel setzt. Jeder dauert etwa zehn Minuten mit Lineal, Faden und ein paar runden Gegenständen.

Faden um einen Teller: Wickeln Sie einen Faden um einen Essteller, markieren Sie ihn und legen Sie ihn an ein Lineal. Ein Teller mit 26 cm ergibt etwa 81 oder 82 cm, und 82 : 26 ist ungefähr 3,15, nah an π.
Glasdeckel messen: Messen Sie Durchmesser und Umfang von drei verschieden großen Deckeln. Teilen Sie jeden Umfang durch seinen Durchmesser; jedes Ergebnis landet bei etwa 3,1.
Eine Dose rollen: Markieren Sie einen Punkt am Rand einer Konservendose, rollen Sie sie eine volle Umdrehung über ein Blatt Papier und messen Sie die Spur. Die Spur ist der Umfang.
Nachzeichnen und zählen: Zeichnen Sie einen Glasdeckel auf Karopapier mit Zentimeterkästchen nach und zählen Sie die ganzen und halben Kästchen im Kreis. Ein Deckel mit dem Radius 4 cm bedeckt etwa 50 Kästchen, und 3,14 · 16 = 50,24.

So prüfen Sie den Lernstand

Fünf kurze Fragen zeigen, ob ein Kind Kreise versteht oder eine Formel abschreibt.

Die Begriffsfrage: Zeigen Sie auf einen Kreis und fragen Sie nach Radius, Durchmesser und Umfang. Ein Kind, das alle drei mit dem Finger zeigen kann, weiß, was jedes Wort bedeutet.
Das Grundpaar: Geben Sie den Radius 10 cm vor. Der Umfang ist 62,8 cm, der Flächeninhalt 314 cm², jeweils mit der richtigen Einheit.
Die Durchmesser-Falle: Geben Sie den Durchmesser 8 cm vor und fragen Sie nach der Fläche. Der Radius ist 4, also ist die Fläche 3,14 · 16 = 50,24 cm².
Die Größenprobe: Fragen Sie, ob ein Umfang von 9 cm bei einem Kreis mit 4 cm Durchmesser möglich ist. Das ist er nicht, denn schon 3 · 4 = 12.
Die Umkehrfrage: Geben Sie den Umfang 31,4 cm vor und fragen Sie nach dem Durchmesser: 31,4 : 3,14 = 10 cm.

Ein Kind, das den Weg kennt, aber bei 3,14 · 16 hängen bleibt, braucht mehr Übung im Multiplizieren als in Geometrie. Das Mathespiel für die 6. Klasse trainiert die Rechenarbeit, und Erwachsene, die das Thema wieder auffrischen, finden im Mathespiel für Erwachsene dieselben Grundaufgaben.

Typische Fehler und Sonderfälle beim Kreis

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Kreis-Ergebnisse, und jeder hat eine kurze Lösung.

(π · r)² statt π · r² rechnen: Mit r = 5 ergibt (3,14 · 5)² = 15,7 · 15,7 = 246,49, mehr als das Dreifache der echten Fläche von 78,5. Nur den Radius quadrieren, dann mit π multiplizieren.
Den Durchmesser quadrieren: Ein Kreis mit 10 cm Durchmesser bekommt 3,14 · 10 · 10 = 314, das Vierfache der echten Fläche von 78,5 cm². Den Durchmesser zuerst halbieren.
Die Einheiten verwechseln: Ein Umfang in cm² oder eine Fläche in cm beschreibt die falsche Art von Größe. Der Umfang ist eine Länge in cm, die Fläche steht in cm².
Zu früh runden: Ein Radius von 2,45 m, auf 2 m gerundet, verliert etwa ein Drittel der Fläche. Nur das Endergebnis runden.

Sonderfall: 22/7 oder 3,14?

Der Bruch 22/7 und die Dezimalzahl 3,14 sind beide Näherungswerte für π und liefern leicht verschiedene Ergebnisse. 22/7 ist ungefähr 3,1429, und 3,14 liegt knapp unter π, also liegt der wahre Wert von ungefähr 3,1416 dazwischen.

Nehmen Sie 22/7, wenn Radius oder Durchmesser ein Vielfaches von 7 ist, weil sich die 7 wegkürzt. Ein Kreis mit dem Radius 7 cm hat den Umfang 2 · 22/7 · 7 = 44 cm und den Flächeninhalt 22/7 · 7 · 7 = 154 cm², während 3,14 auf 43,96 cm und 153,86 cm² kommt. Die π-Taste des Taschenrechners liefert 153,94 cm².

Um von einer Fläche rückwärts zum Radius zu kommen, teilt man durch π und zieht die Wurzel, wie es der Leitfaden zu Quadratwurzeln erklärt.

Ihre Kreis-Checkliste und die nächsten Schritte

Radius oder Durchmesser: vor jeder Formel beide aufschreiben, mit d = 2 · r.
Umfang: π · d oder 2 · π · r rechnen und das Ergebnis in cm oder m angeben.
Flächeninhalt: zuerst den Radius quadrieren, dann mit π multiplizieren und das Ergebnis in cm² oder m² angeben.
Wert für π: 3,14 für die meisten Hausaufgaben, 22/7 bei Vielfachen von 7, die π-Taste, wenn die Aufgabe es verlangt.
Größenprobe: Der Umfang ist etwas mehr als 3 Durchmesser, die Fläche etwas mehr als 3 Radiusquadrate.

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