Umfang und Flächeninhalt einfach erklärt: Zaun, Teppich und Formeln

Die Hausaufgabe Ihres Kindes zeigt ein Rechteck, 6 cm lang und 4 cm breit, fragt nach Flächeninhalt und Umfang, und die Antworten lauten 10 und 24 oder 24 und 24. Flächeninhalt und Umfang sind zwei Maße derselben Figur, und Kinder verwechseln sie, weil beide von denselben Seitenlängen ausgehen. Ein Bild klärt, was Umfang und was Flächeninhalt ist: Der Umfang ist der Zaun um den Garten, der Flächeninhalt der Teppich auf dem Boden.

Was ist der Unterschied zwischen Flächeninhalt und Umfang?

Der Umfang ist die Länge rund um eine Figur, der Flächeninhalt die Fläche, die sie innen bedeckt. OpenStax Prealgebra sagt es in zwei Zeilen: Der Umfang ist ein Maß für die Strecke rund um eine Figur, der Flächeninhalt ein Maß für die Fläche, die eine Figur bedeckt.

Bei einem Beet ist der Zaun darum herum sein Umfang, in Metern, und die Erde darin sein Flächeninhalt, in Quadratmetern.

Das Rechteck mit 6 und 4 aus der Hausaufgabe zeigt beides zugleich. Wer einmal um den Rand läuft, legt 6 + 4 + 6 + 4 = 20 Einheiten zurück; wer die Quadrate innen zählt, findet 4 Reihen mit je 6, also 6 · 4 = 24 Quadrateinheiten.

Warum Kinder beides verwechseln

Kinder verwechseln Flächeninhalt und Umfang, weil beide Fragen dieselben zwei Zahlen benutzen, und ein Kind, das sich die Figur nicht vorstellt, wählt die Rechenart auf gut Glück. Addieren von 6 + 4 ergibt 10, keine der beiden Antworten, und Multiplizieren ergibt 24, nur den Flächeninhalt.

In den USA führt die Schule beide Begriffe in der 3. Klasse ein. Der Common-Core-Standard 3.MD.C.7a verlangt, den Flächeninhalt eines Rechtecks mit ganzzahligen Seiten durch Auslegen zu finden und zu zeigen, dass er dem Produkt der Seitenlängen entspricht. Standard 3.MD.D.8 ergänzt den Umfang und verlangt, Rechtecke mit gleichem Umfang und verschiedenem Flächeninhalt oder mit gleichem Flächeninhalt und verschiedenem Umfang zu zeigen, und 4.MD.A.3 geht dazu über, die Formeln für Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken in Sach- und Rechenaufgaben anzuwenden. In Bayern sollen Kinder laut LehrplanPLUS für die 5. Klasse am Gymnasium sicher zwischen Umfang und Flächeninhalt unterscheiden und die Formeln für Umfang und Flächeninhalt von Quadraten und Rechtecken nutzen.

England geht langsamer vor. Die Mathematiklehrpläne für England verlangen in Year 4, den Flächeninhalt rechtwinkliger Figuren durch Zählen von Quadraten zu finden, und in Year 6 zu erkennen, dass Figuren mit gleichem Flächeninhalt verschiedene Umfänge haben können und umgekehrt. Der Überblick, was Kinder in jeder Klasse in Mathe können sollten, zeigt, wo diese Themen neben Multiplikation und Brüchen stehen.

Umfang und Flächeninhalt eines Rechtecks: Schritt für Schritt

Der Umfang eines Rechtecks ist 2 · (Länge + Breite), der Flächeninhalt Länge · Breite. Sechs Schritte führen ein Kind von der Zeichnung zu beiden Antworten mit den richtigen Einheiten.

1. Jede Seite beschriften. Gegenüberliegende Seiten eines Rechtecks sind gleich lang, also hat ein Rechteck mit 6 und 4 die Seiten 6, 4, 6 und 4. Schreiben Sie alle vier Zahlen an die Zeichnung.
2. Prüfen, ob die Einheiten passen. Eine Seite von 2 m und eine von 50 cm müssen zu 200 cm und 50 cm (oder 2 m und 0,5 m) werden, bevor Sie addieren oder multiplizieren.
3. Für den Umfang alle vier Seiten addieren. 6 + 4 + 6 + 4 = 20. Die Abkürzung 2 · (6 + 4) = 2 · 10 = 20 ergibt dasselbe.
4. Den Umfang mit einer Längeneinheit schreiben. Sind die Seiten in Zentimetern angegeben, ist der Umfang 20 cm.
5. Für den Flächeninhalt Länge mal Breite rechnen. 6 · 4 = 24. Zählen Sie auf Karopapier zur Probe die Quadrate: 4 Reihen mit je 6 Quadraten ergeben 24.
6. Den Flächeninhalt mit einer Flächeneinheit schreiben. Der Flächeninhalt ist 24 Quadratzentimeter, geschrieben 24 cm², weil er Quadrate mit 1 cm Seitenlänge zählt.

Eine fehlende Seite finden

Eine fehlende Seite findet man, indem man die Formel rückwärts anwendet. Hat ein Rechteck den Umfang 30 cm und die Länge 9 cm, ist der halbe Umfang 30 : 2 = 15 cm, also Länge + Breite, und die Breite ist 15 − 9 = 6 cm.

Beim Flächeninhalt geht es genauso mit der Division. Ein Zimmer hat 20 m² Bodenfläche und ist 5 m lang: 20 = 5 · Breite, also ist die Breite 20 : 5 = 4 m. Standard 4.MD.A.3 nennt das, die Flächenformel als Malaufgabe mit einem unbekannten Faktor zu sehen, und der Leitfaden Textaufgaben in Mathe lösen hilft Kindern zu entscheiden, nach welcher Formel eine Geschichte fragt.

Umfang und Flächeninhalt auf einen Blick

Umfang und Flächeninhalt beantworten verschiedene Fragen zur selben Figur, also haben sie verschiedene Einheiten und verschiedene Rechenwege.

Ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten, also sind seine Formeln Abkürzungen der Rechteckformeln. Ein Quadrat mit 5 m Seitenlänge hat den Umfang 4 · 5 = 20 m und den Flächeninhalt 5 · 5 = 25 m².

Kann man den Umfang aus dem Flächeninhalt berechnen?

Der Flächeninhalt allein verrät den Umfang nicht, weil viele Rechtecke denselben Flächeninhalt haben. Ein Flächeninhalt von 24 Quadrateinheiten passt zu all diesen Rechtecken:

• 4 und 6: Umfang 2 · (4 + 6) = 20
• 3 und 8: Umfang 2 · (3 + 8) = 22
• 2 und 12: Umfang 2 · (2 + 12) = 28
• 1 und 24: Umfang 2 · (1 + 24) = 50

Kommt eine Seitenlänge dazu, steht die Antwort fest. Bei einem Flächeninhalt von 24 und einer Breite von 3 ist die Länge 24 : 3 = 8 und der Umfang 22; bei einem Quadrat mit dem Flächeninhalt 36 ist die Seite 6, weil 6 · 6 = 36, und der Umfang 4 · 6 = 24.

Gleicher Umfang, anderer Flächeninhalt: das Schnur-Experiment

Rechtecke mit gleichem Umfang können sehr verschiedene Flächen bedecken, und eine Schnurschlaufe beweist das am Küchentisch. Knoten Sie eine Schnur von 24 cm Länge zu einer Schlaufe, spannen Sie sie auf Karopapier zu Rechtecken und zählen Sie jeweils die Quadrate innen.

Ein Umfang von 24 bedeutet Länge + Breite = 12, also gibt es diese Rechtecke mit ganzzahligen Seiten:

• 1 und 11: Flächeninhalt 11
• 2 und 10: Flächeninhalt 20
• 3 und 9: Flächeninhalt 27
• 4 und 8: Flächeninhalt 32
• 5 und 7: Flächeninhalt 35
• 6 und 6: Flächeninhalt 36

Dieselben 24 cm Zaun umschließen in einer langen, schmalen Form 11 Quadrateinheiten und im Quadrat 36. Unter den Rechtecken gewinnt immer das Quadrat, und deshalb bekommt eine Bäuerin mit einer festen Zaunlänge die größte Weide aus einem quadratischen Feld.

Jeder Flächeninhalt in dieser Liste ist eine Aufgabe aus dem Einmaleins. Der Leitfaden zum Zählen in Schritten zeigt, wie aus dem Zählen von Quadratreihen das Multiplizieren wird, und das Einmaleins-Spiel trainiert die Aufgaben.

Gratis im Browser spielenEinmaleinsKlasse 3+

L-förmige Zimmer und andere zusammengesetzte Figuren

Den Flächeninhalt einer L-förmigen Figur findet man, indem man sie in Rechtecke zerlegt und deren Flächeninhalte addiert. Standard 3.MD.C.7d verlangt, Flächeninhalte rechtwinkliger Figuren zu finden, indem man sie in Rechtecke ohne Überlappung zerlegt und deren Flächeninhalte addiert.

Nehmen Sie ein L, das unten 6 Einheiten breit und links 5 Einheiten hoch ist. Zerlegen Sie es in einen unteren Streifen mit 6 · 2 = 12 und eine Säule darüber mit 2 · 3 = 6, dann ist der Flächeninhalt 12 + 6 = 18 Quadrateinheiten.

Für den Umfang braucht man jede Außenkante, auch die beiden inneren, die Kinder oft auslassen. Rund um das L sind die Kanten 2, 3, 4, 2, 6 und 5, zusammen 22 Einheiten; die 4 ist die Oberkante des unteren Streifens (6 − 2), und die 3 ist die Höhe der Säule (5 − 2).

So prüfen Sie Fortschritte bei Flächeninhalt und Umfang

Fünf kurze Fragen zeigen, ob ein Kind Flächeninhalt und Umfang versteht oder die Rechenart rät.

• Die Sortierfrage: Fragen Sie, ob Zaun, Teppich, Bilderrahmen und Rasen Aufgaben zum Umfang oder zum Flächeninhalt sind. Zaun und Rahmen sind Umfang, Teppich und Rasen Flächeninhalt.
• Das einfache Rechteck: Geben Sie ein Rechteck mit 7 und 3. Der Umfang ist 20 und der Flächeninhalt 21, und das Kind sollte die Einheiten dazuschreiben (cm und cm²).
• Das Quadrat: Geben Sie ein Quadrat mit 9 m Seitenlänge. Der Umfang ist 36 m und der Flächeninhalt 81 m².
• Die fehlende Seite: Geben Sie einen Flächeninhalt von 40 m² und eine Länge von 8 m. Die Breite ist 5 m, gefunden mit 40 : 8.
• Die Begründungsfrage: Fragen Sie, welches Rechteck mit dem Umfang 20 den größten Flächeninhalt hat. Die Antwort ist das Quadrat mit 5 und 5 und 25 Quadrateinheiten.

Ein Fünf-Minuten-Test am Küchentisch

Ein Fünf-Minuten-Test mit drei gemischten Fragen (ein Rechteck, eine fehlende Seite, ein L) zeigt mehr als eine Seite mit nur einer Aufgabensorte. Lassen Sie das Kind die Figur zeichnen und vor dem Rechnen „rundherum“ oder „innen“ sagen.

Kinder, die den Weg zum Flächeninhalt kennen, aber beim Multiplizieren hängen bleiben, brauchen eher das Einmaleins als die Geometrie. Das Mathespiel für die 3. Klasse und das Mathespiel für die 4. Klasse üben das Rechnen auf Klassenniveau, auf das jede Flächenaufgabe baut, und der Leitfaden zum Unterrichten der schriftlichen Multiplikation hilft, wenn die Seiten zweistellig werden.

Typische Fehler bei Flächeninhalt und Umfang

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Antworten bei Aufgaben zu Flächeninhalt und Umfang, und jeder hat eine Korrektur in einer Zeile.

• Nur zwei Seiten addieren: Ein Rechteck mit 6 und 4 bekommt den Umfang 10 statt 20. Beschriften Sie vor dem Addieren alle vier Seiten oder rechnen Sie 2 · (Länge + Breite).
• Für den Umfang multiplizieren: Ein Kind schreibt 6 · 4 = 24 als Umfang. Fragen Sie zuerst „rundherum oder innen?“; rundherum heißt addieren.
• Einheiten mischen: Ein Beet mit 2 m und 50 cm bekommt den Flächeninhalt 100. Rechnen Sie zuerst um: 200 cm · 50 cm = 10.000 cm², oder 2 m · 0,5 m = 1 m².
• Die Flächeneinheit vergessen: Ein Flächeninhalt, geschrieben als 24 cm, liest sich wie eine Länge. Der Flächeninhalt zählt immer Quadrate, also ist die Antwort 24 cm².

Sonderfall: Warum der Flächeninhalt Quadrateinheiten hat

Der Flächeninhalt hat Quadrateinheiten, weil man beim Messen Einheitsquadrate zählt. Standard 3.MD.C.5a sagt, dass ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 Einheit, ein Einheitsquadrat, eine Quadrateinheit Flächeninhalt hat, also hat ein Rechteck, das von 24 solchen Quadraten bedeckt wird, einen Flächeninhalt von 24 Quadrateinheiten.

Die Quadrateinheit erklärt auch, warum das Verdoppeln der Seiten den Flächeninhalt nicht verdoppelt. Ein Rechteck mit 2 und 3 bedeckt 6 Quadrate, eines mit 4 und 6 bedeckt 24, also viermal so viele, während der Umfang nur von 10 auf 20 wächst, also auf das Doppelte.

Ihre Checkliste zu Flächeninhalt und Umfang und die nächsten Schritte

• Rundherum oder innen: vor dem Rechnen entscheiden, wonach die Frage sucht.
• Alle vier Seiten: jede Seite des Rechtecks beschriften, auch die beiden, die die Zeichnung leer lässt.
• Gleiche Einheiten: jede Seite vor dem Addieren oder Multiplizieren in dieselbe Einheit umrechnen.
• Richtige Einheit im Ergebnis: cm für den Umfang, cm² für den Flächeninhalt.
• Karopapier: das Rechteck zeichnen und zur Probe die Quadrate zählen.
• Plättchen oder Kekse: Rechtecke aus quadratischen Plättchen legen, dann die Schnurschlaufe mit 24 cm ausprobieren und den größten Flächeninhalt suchen.

Das Arbeitsblatt zum Multiplizieren für die 3. Klasse bietet druckbare Übungen mit Lösungen.

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