Was eine Ungleichung ist und wie man Ungleichungen löst und auf der Zahlengeraden zeichnet

Das Schild an der Landstraße zeigt 100, die Hausaufgabe Ihres Kindes lautet „Löse 3x − 4 > 11“, und beide führen zur selben Frage: Was ist eine Ungleichung? Eine Ungleichung in Mathe ist eine Aussage, dass zwei Werte nicht gleich sind, und ihre Lösung ist meist ein ganzer Bereich von Zahlen statt einer einzigen. Wer eine Gleichung lösen kann, löst auch Ungleichungen mit denselben Schritten und einer Regel für negative Zahlen, und das Zeichnen auf der Zahlengeraden braucht nur eine Grenze, einen Kreis und einen Pfeil.

Was ist eine Ungleichung?

Eine Ungleichung ist eine mathematische Aussage, die zwei Werte mit einem von fünf Zeichen vergleicht: < (kleiner als), > (größer als), ≤ (kleiner oder gleich), ≥ (größer oder gleich) und ≠ (ungleich). Die Spitze von < oder > zeigt auf den kleineren Wert, also sagen 3 < 8 und 8 > 3 dasselbe.

Eine Gleichung wie x + 2 = 7 hat eine Lösung, x = 5. Eine Ungleichung wie x + 2 > 7 hat unendlich viele: 6, 5,5, 20 und 1.000 passen, 5 nicht. OpenStax Elementary Algebra 2e sagt es für x > 3 so: Jede Zahl größer als 3 ist eine Lösung der Ungleichung.

In Deutschland legt jedes Bundesland den Zeitpunkt selbst fest. Im bayerischen LehrplanPLUS für das Gymnasium, 8. Klasse „lösen [die Schülerinnen und Schüler] lineare Ungleichungen graphisch und rechnerisch und stellen das Ergebnis in Intervallschreibweise dar“. In den USA beginnen Ungleichungen in der 6. Klasse: Der Common-Core-Standard 6.EE.B.8 verlangt, eine Bedingung als x > c oder x < c zu schreiben, zu erkennen, dass solche Ungleichungen unendlich viele Lösungen haben, und diese Lösungen auf der Zahlengeraden zu zeigen.

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Ungleichungen im Alltag: Tempolimit, Mindestgröße und „mindestens“

Ungleichungen im Alltag sind Grenzen und Mindestwerte, als Mathematik geschrieben. Ein Tempolimit von 100 km/h verlangt für Ihre Geschwindigkeit s die Bedingung s ≤ 100, denn 100 selbst ist erlaubt. Eine Achterbahn, für die man mindestens 120 cm groß sein muss, verlangt h ≥ 120, und ein Speiseplan mit „mindestens 3 Portionen Gemüse“ verlangt v ≥ 3.

Die Formulierung entscheidet über das Zeichen. OpenStax hält fest, dass „mindestens“ dasselbe bedeutet wie „größer oder gleich“, also steht „mindestens“ für ≥ und „höchstens“ oder „nicht mehr als“ für ≤. „Mehr als“ und „weniger als“ lassen die Grenze weg und werden zu > und <.

Eine Ungleichung Schritt für Schritt lösen

Eine Ungleichung lösen heißt, jeden Wert der Variablen zu finden, der sie wahr macht, und das Verfahren gleicht dem beim Auflösen einer Gleichung nach x. Nehmen Sie 3x − 4 > 11.

1. Das Zeichen lesen. Das Zeichen ist >, „größer als“, also lautet die Lösung „x ist größer als eine Zahl“, außer ein negativer Divisor dreht es um.
2. Addition oder Subtraktion rückgängig machen. Addieren Sie auf beiden Seiten 4: 3x − 4 + 4 > 11 + 4, also 3x > 15. Addieren und Subtrahieren ändern das Zeichen nie.
3. Multiplikation oder Division rückgängig machen. Teilen Sie beide Seiten durch 3: x > 5. Die Division durch eine positive Zahl lässt das Zeichen, wie es ist.
4. Eine Zahl prüfen, die passen sollte. Probieren Sie x = 6: 3 · 6 − 4 = 14, und 14 > 11 ist wahr.
5. Die Grenze prüfen. Probieren Sie x = 5: 3 · 5 − 4 = 11, und 11 > 11 ist falsch, also ist 5 keine Lösung. Dieses Ergebnis sagt Ihnen, dass bei 5 ein leerer Kreis hingehört.
6. Die Lösung aufschreiben und zeichnen. Die Lösung ist x > 5: jede Zahl größer als 5, gezeichnet mit einem leeren Kreis bei 5 und einem Pfeil nach rechts.

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Wann dreht sich das Ungleichheitszeichen um?

Das Ungleichheitszeichen dreht sich um, wenn man beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch sie dividiert, und sonst nie. OpenStax fasst die Regel in einem Satz: Wenn man eine Ungleichung durch eine negative Zahl dividiert oder mit ihr multipliziert, kehrt sich das Ungleichheitszeichen um. Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren oder Dividieren mit einer positiven Zahl lassen das Zeichen in Ruhe.

Eine wahre Aussage zeigt, warum es die Regel gibt. Die Aussage 2 < 5 ist wahr, doch beide Seiten mal −1 ergeben −2 und −5, und −2 ist auf der Zahlengeraden größer als −5. Mit dem alten Zeichen stünde da −2 < −5, und das ist falsch, also muss sich das Zeichen zu −2 > −5 umdrehen.

Nehmen Sie −2x ≤ 8: Teilen Sie beide Seiten durch −2 und drehen Sie ≤ zu ≥, dann erhalten Sie x ≥ −4. Die Grenze gehört zur Lösung, denn −2 · (−4) = 8, und 8 ≤ 8 ist wahr.

Eine Zahl unter −4 scheitert: x = −5 ergibt −2 · (−5) = 10, und 10 ≤ 8 ist falsch, also zeigt die Lösung nach rechts. Wenn das Rechnen mit negativen Zahlen wackelt, erklärt der Leitfaden zu negativen Zahlen die Vorzeichenregeln.

Die Ungleichheitszeichen im Vergleich: Wörter, Kreise und Schreibweise

Jedes Ungleichheitszeichen hat seine eigenen Wörter, seine eigene Markierung auf der Zahlengeraden und seine eigene Intervallschreibweise. Die Tabelle nutzt die in vielen deutschen Schulbüchern übliche Schreibweise mit nach außen gedrehten Klammern und Semikolon.

Die Intervallschreibweise in einer Regel

Die Intervallschreibweise schreibt eine Lösungsmenge als ihre zwei Enden, mit einer Klammer, die ein ausgeschlossenes Ende anders zeigt als ein eingeschlossenes. In deutschen Schulbüchern steht für ein ausgeschlossenes Ende häufig eine nach außen gedrehte eckige Klammer, also ]2; ∞[, manche Bücher schreiben wie OpenStax eine runde Klammer (2; ∞). Ein eingeschlossenes Ende bekommt eine eckige Klammer, die nach innen zeigt, also [2; ∞[. Die Enden trennt ein Semikolon, weil das Komma im Deutschen das Dezimalzeichen ist, und Unendlich (∞) bleibt immer offen, weil keine Zahl es erreicht.

Kreis und Klammer tragen dieselbe Botschaft. Ein leerer Kreis entspricht einer offenen Klammer und ein ausgefüllter Punkt einer geschlossenen, also ist x ≥ 2 ein ausgefüllter Punkt bei 2 und das Intervall [2; ∞[. Als Menge schreibt man dieselbe Lösung auch L = {x | x ≥ 2}.

Ungleichungen auf der Zahlengeraden darstellen

Eine Ungleichung auf der Zahlengeraden darzustellen braucht drei Entscheidungen: wohin die Grenze kommt, welche Markierung Sie zeichnen und in welche Richtung Sie einfärben. Für x > 2 ist die Grenze 2, der Kreis ist leer, weil 2 keine Lösung ist, und der Pfeil zeigt nach rechts zu den größeren Zahlen.

Die Markierung folgt aus dem Zeichen. Nehmen Sie einen leeren Kreis für < und > und einen ausgefüllten Punkt für ≤ und ≥. Manche Bücher, darunter OpenStax und viele deutsche Schulbücher, zeichnen an der Grenze statt eines Kreises eine Klammer, und die Bedeutung bleibt gleich.

Der Pfeil folgt aus der Richtung. Steht x links, färben > und ≥ nach rechts ein, < und ≤ nach links. Wählen Sie eine Zahl auf der eingefärbten Seite und prüfen Sie sie: Für x ≤ −1 probieren Sie x = −3, und −3 ≤ −1 ist wahr.

Regel: x vor dem Einfärben nach links bringen

Eine Ungleichung mit der Variablen rechts, etwa 7 < x, färbt man leicht in die falsche Richtung. OpenStax nennt die Lösung: x > a bedeutet dasselbe wie a < x. Lesen Sie 7 < x von der x-Seite aus, „x ist größer als 7“, und schreiben Sie x > 7, bevor Sie zeichnen.

Derselbe Schritt räumt auch eine fertige Lösung auf. Aus 10 ≥ 2x + 4 wird 6 ≥ 2x und dann 3 ≥ x, was Sie als x ≤ 3 schreiben: ein ausgefüllter Punkt bei 3 und ein Pfeil nach links, und x = 3 stimmt, weil 2 · 3 + 4 = 10. Eine Zahlengerade ist eine Achse eines Koordinatensystems, und der Leitfaden zum Koordinatensystem zeigt, wie dieselbe Idee in zwei Dimensionen wächst.

Den Lernstand bei Ungleichungen prüfen

Fünf kurze Aufgaben zeigen, ob jemand Ungleichungen versteht oder nur einem Muster folgt. Lösen Sie jede ohne Notizen, prüfen Sie die Grenze und vergleichen Sie dann.

• Ein Schritt: Löse x + 7 ≤ 12. Minus 7 ergibt x ≤ 5, einen ausgefüllten Punkt bei 5 und einen Pfeil nach links.
• Positiver Divisor: Löse 4x > −12. Die Division durch positive 4 behält das Zeichen, also x > −3.
• Negativer Divisor: Löse −3x > 12. Die Division durch −3 dreht das Zeichen, also x < −4. Prüfen Sie x = −5: 15 > 12 ist wahr.
• Versteckte negative Zahl: Löse 5 − x < 2. Minus 5 ergibt −x < −3, und die Division durch −1 ergibt x > 3.
• Textaufgabe: Sie verdienen 50 € pro Woche plus 3 € pro Verkauf und wollen mindestens 100 €. Das ergibt 50 + 3s ≥ 100, also 3s ≥ 50 und s ≥ 50 : 3, etwa 16,7, also mindestens 17 Verkäufe.

Ein praktischer Test: die Grenzprobe

Die Grenzprobe ist ein Test von einer Minute, der einen falschen Kreis und eine falsche Richtung findet. Setzen Sie die Grenzzahl in die ursprüngliche Ungleichung ein: Beide Seiten sollten gleich werden, und das Zeichen sagt, ob das zählt. Dann prüfen Sie eine Zahl auf der eingefärbten Seite, die eine wahre Aussage ergeben muss.

Die Textaufgabe stammt direkt aus dem US-Lehrplan. Common Core 7.EE.B.4b verlangt in der 7. Klasse, Textaufgaben zu lösen, die zu Ungleichungen der Form px + q > r oder px + q < r führen, und nutzt dasselbe Beispiel mit einem Verkäufer. Prüfen Sie es: 17 Verkäufe bringen 50 + 51 = 101 €, und 16 Verkäufe bringen 50 + 48 = 98 €, das reicht nicht.

Häufige Fehler bei Ungleichungen und Sonderfälle

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Lösungen bei Ungleichungen, und jeder hat eine schnelle Lösung.

• Vergessen umzudrehen: Wer −2x ≤ 8 durch −2 teilt und x ≤ −4 schreibt, erhält die falsche Hälfte der Geraden. Sagen Sie bei jeder Division durch eine negative Zahl laut „negativ, umdrehen“.
• Ohne Grund umdrehen: Eine negative Zahl in der Lösung dreht nichts um. Bei 2x > −8 teilen Sie durch positive 2, also behält x > −4 sein Zeichen.
• Falscher Kreis: Ein ausgefüllter Punkt bei x > 5 behauptet, 5 passe, obwohl das nicht stimmt. Prüfen Sie die Grenze durch Einsetzen, bevor Sie einen Kreis ausfüllen.
• Falsche Richtung bei x rechts: 7 < x färbt nach rechts, denn es bedeutet x > 7. Bringen Sie x zuerst nach links.

Sonderfall: Doppelungleichungen, keine Lösung und alle reellen Zahlen

Eine Doppelungleichung wie −2 < x ≤ 3 gibt der Variablen zwei Grenzen zugleich. OpenStax Intermediate Algebra 2e nennt sie eine doppelte Ungleichung und erklärt, dass a < x < b gleichbedeutend ist mit a < x und x < b. Auf der Zahlengeraden zeichnen Sie einen leeren Kreis bei −2, einen ausgefüllten Punkt bei 3 und färben die Strecke dazwischen ein; in Intervallschreibweise ist das ]−2; 3].

Das Lösen von x + 1 < x ergibt 1 < 0, eine falsche Aussage, also hat die Ungleichung keine Lösung, L = { }. Das Lösen von x + 3 > x ergibt 3 > 0, was immer wahr ist, also ist jede reelle Zahl eine Lösung, L = ℝ. OpenStax nennt den falschen Fall einen Widerspruch und den immer wahren Fall eine Identität.

Ihre Checkliste für Ungleichungen und die nächsten Schritte

• Zeichen: Das Zeichen laut lesen und „mindestens“ in ≥ und „höchstens“ in ≤ übersetzen.
• Gleiche Schritte: Addition und Subtraktion, dann Multiplikation und Division auf beiden Seiten rückgängig machen.
• Regel für Negative: Das Zeichen nur drehen, wenn Sie mit einer negativen Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren.
• Grenzprobe: Die Grenze und eine Zahl aus dem eingefärbten Bereich in die ursprüngliche Ungleichung einsetzen.
• Zeichnen: x nach links bringen, leeren Kreis oder ausgefüllten Punkt wählen und zu den Zahlen hin einfärben, die passen.
• Reihenfolge: Jede Seite mit der Rechenreihenfolge (Punkt vor Strich) vereinfachen, bevor Sie Terme verschieben.

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