O que é uma inequação e como resolver e representar inequações na reta numérica

A placa de velocidade diz 80, a lição de casa do seu filho diz "resolva 3x − 4 > 11", e as duas coisas levam à mesma pergunta: o que é uma inequação? Uma inequação é uma sentença matemática que diz que dois valores não são iguais, e a resposta dela costuma ser uma faixa inteira de números em vez de um só. Se você sabe resolver uma equação, já sabe resolver inequações com os mesmos passos e mais uma regra sobre os negativos, e representar a solução na reta se resume a uma fronteira, uma bolinha e uma seta.

O que é uma inequação?

Uma inequação é uma sentença matemática que compara dois valores com um de cinco sinais: < (menor que), > (maior que), ≤ (menor ou igual a), ≥ (maior ou igual a) e ≠ (diferente de). A ponta do < ou do > fica virada para o valor menor, então 3 < 8 e 8 > 3 dizem a mesma coisa. Sem incógnita, como em 3 < 8, a sentença se chama desigualdade; com uma incógnita, como em x > 3, ela é uma inequação.

Uma equação como x + 2 = 7 tem uma resposta, x = 5. Uma inequação como x + 2 > 7 tem infinitas: 6, 5,5, 20 e 1.000 servem, e 5 não. O OpenStax Elementary Algebra 2e diz assim para x > 3: "qualquer número maior que 3 é uma solução da inequação".

No Brasil, a BNCC pede na unidade de Álgebra que o aluno aprenda a "resolver problemas por meio de equações e inequações". Nos Estados Unidos, as inequações começam no 6º ano: o padrão 6.EE.B.8 do Common Core pede que o aluno "escreva uma inequação da forma x > c ou x < c para representar uma restrição ou condição" e "reconheça que inequações da forma x > c ou x < c têm infinitas soluções". O mesmo padrão pede que ele mostre essas soluções na reta numérica.

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Inequações na vida real: limites de velocidade, idades e "no mínimo"

As inequações da vida real são limites e mínimos escritos em linguagem matemática. Um limite de velocidade de 80 km/h diz que a sua velocidade v precisa satisfazer v ≤ 80, porque 80 é permitido. Um brinquedo que exige pelo menos 120 cm de altura diz h ≥ 120, e um cardápio com "no mínimo 3 porções de legumes" diz p ≥ 3.

A expressão decide o sinal. O OpenStax observa que "a expressão 'pelo menos' é o mesmo que 'maior ou igual a'", então "pelo menos" e "no mínimo" querem dizer ≥, e "no máximo" ou "não mais que" querem dizer ≤. "Mais que" e "menos que" deixam a fronteira de fora, então viram > e <.

Como resolver uma inequação, passo a passo

Resolver uma inequação é achar todos os valores da incógnita que a tornam verdadeira, e o método é o mesmo de resolver uma equação e achar o x. Pegue 3x − 4 > 11.

1. Leia o sinal. O sinal é >, "maior que", então a resposta será "x é maior que algum número", a não ser que uma divisão por negativo o inverta.
2. Desfaça a adição ou a subtração. Some 4 aos dois lados: 3x − 4 + 4 > 11 + 4, o que dá 3x > 15. Somar ou subtrair nunca muda o sinal.
3. Desfaça a multiplicação ou a divisão. Divida os dois lados por 3: x > 5. Dividir por um número positivo mantém o sinal como está.
4. Teste um número que deveria servir. Tente x = 6: 3 × 6 − 4 = 14, e 14 > 11 é verdade.
5. Teste a fronteira. Tente x = 5: 3 × 5 − 4 = 11, e 11 > 11 é falso, então 5 não é solução. Esse resultado diz que a bolinha no 5 é aberta.
6. Escreva e represente a resposta. A solução é x > 5, que nos livros brasileiros costuma aparecer como S = {x ∈ ℝ | x > 5}: todos os números maiores que 5, com uma bolinha aberta no 5 e uma seta para a direita.

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Quando inverter o sinal da inequação?

O sinal da inequação se inverte quando você multiplica ou divide os dois lados por um número negativo, e em nenhum outro momento. O OpenStax resume a regra numa linha: "quando dividimos ou multiplicamos uma inequação por um número negativo, o sinal da inequação se inverte". Somar, subtrair, e multiplicar ou dividir por um número positivo deixam o sinal como está.

Uma sentença verdadeira mostra por que a regra existe. A sentença 2 < 5 é verdadeira, mas multiplicar os dois lados por −1 dá −2 e −5, e −2 é maior que −5 na reta numérica. Manter o sinal daria −2 < −5, que é falso, então o sinal precisa virar: −2 > −5.

Pegue −2x ≤ 8: divida os dois lados por −2 e troque ≤ por ≥ para chegar a x ≥ −4. A fronteira entra na resposta, porque −2 × (−4) = 8 e 8 ≤ 8 é verdade.

Um número abaixo de −4 falha: x = −5 dá −2 × (−5) = 10, e 10 ≤ 8 é falso, então a resposta aponta para a direita. Se multiplicar negativos ainda parece inseguro, o guia de números negativos explica as regras de sinal.

Sinais de desigualdade comparados: leitura, bolinhas e notação

Cada sinal de desigualdade vem com a sua leitura, a sua bolinha na reta numérica e a sua notação de intervalo. A notação de intervalo aparece no Brasil sobretudo no fim do ensino fundamental e no ensino médio, e os livros americanos de álgebra também a usam.

A notação de intervalo numa regra só

A notação de intervalo escreve um conjunto solução pelas suas duas pontas, com um colchete virado para fora na ponta que fica de fora e um colchete virado para dentro na ponta que entra. Os livros brasileiros escrevem x > 2 como ]2, +∞[, enquanto os livros americanos usam parênteses: o OpenStax explica que "o parêntese ( mostra que a ponta da inequação não está incluída" e que "o colchete [ mostra que a ponta está incluída", então o mesmo intervalo aparece lá como (2, ∞). O infinito sempre fica com a ponta aberta, porque nenhum número chega até ele.

A bolinha e o colchete passam a mesma mensagem. A bolinha aberta corresponde ao colchete virado para fora e a bolinha fechada ao colchete virado para dentro, então x ≥ 2 é uma bolinha fechada no 2 e o intervalo [2, +∞[.

Como representar inequações na reta numérica

Representar uma inequação na reta numérica pede três decisões: onde fica a fronteira, qual bolinha desenhar e para que lado destacar. Para x > 2, a fronteira é 2, a bolinha é aberta porque 2 não é solução, e a seta aponta para a direita, na direção dos números maiores.

A bolinha vem do sinal. Use uma bolinha aberta (vazia) para < e >, e uma bolinha fechada (cheia) para ≤ e ≥. Alguns livros, entre eles o OpenStax, desenham um parêntese ou um colchete na fronteira no lugar da bolinha, e o significado é o mesmo.

A seta vem da direção. Com o x à esquerda, > e ≥ destacam o lado direito, e < e ≤ destacam o lado esquerdo. Escolha um número do lado destacado e teste: para x ≤ −1, tente x = −3, e −3 ≤ −1 é verdade.

Regra: reescreva com o x à esquerda antes de destacar

Uma inequação com a incógnita à direita, como 7 < x, é fácil de destacar para o lado errado. O OpenStax dá a correção: "x > a tem o mesmo significado que a < x". Leia 7 < x a partir do x, "x é maior que 7", e escreva x > 7 antes de desenhar.

O mesmo movimento arruma uma resposta já resolvida. Resolver 10 ≥ 2x + 4 dá 6 ≥ 2x e depois 3 ≥ x, que você reescreve como x ≤ 3: uma bolinha fechada no 3 e uma seta para a esquerda, e x = 3 confere porque 2 × 3 + 4 = 10. A reta numérica é um dos eixos do plano cartesiano, e o guia do plano cartesiano mostra como a mesma ideia cresce para duas dimensões.

Como acompanhar o seu progresso com inequações

Cinco problemas curtos mostram se você entende as inequações ou só segue um padrão. Resolva cada um sem consultar nada, teste a fronteira e depois compare.

• Um passo: resolva x + 7 ≤ 12. Subtrair 7 dá x ≤ 5, uma bolinha fechada no 5 e uma seta para a esquerda.
• Divisor positivo: resolva 4x > −12. Dividir pelo positivo 4 mantém o sinal, então x > −3.
• Divisor negativo: resolva −3x > 12. Dividir por −3 inverte o sinal, então x < −4. Teste x = −5: 15 > 12 é verdade.
• Negativo escondido: resolva 5 − x < 2. Subtrair 5 dá −x < −3, e dividir por −1 dá x > 3.
• Problema: você ganha R$ 200 por semana mais R$ 15 por venda e quer ganhar pelo menos R$ 450. Isso dá 200 + 15v ≥ 450, então 15v ≥ 250 e v ≥ 250 ÷ 15, cerca de 16,7, o que quer dizer pelo menos 17 vendas.

Um teste que funciona: a prova da fronteira

A prova da fronteira é um teste de um minuto que pega uma bolinha errada e uma direção errada. Ponha o número da fronteira na inequação original: ele deve deixar os dois lados iguais, e o sinal diz se isso conta. Depois teste um número do lado destacado, que precisa dar uma sentença verdadeira.

O problema das vendas vem direto do currículo. O padrão 7.EE.B.4b do Common Core pede que o aluno do 7º ano "resolva problemas que levam a inequações da forma px + q > r ou px + q < r" e usa um exemplo parecido, de um vendedor que ganha um fixo mais um valor por venda. Confira: 17 vendas pagam 200 + 255 = R$ 455, e 16 vendas pagam 200 + 240 = R$ 440, que não chegam lá.

Erros comuns com inequações e casos especiais

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas nas lições de inequação, e cada um tem uma correção rápida.

• Esquecer de inverter: dividir −2x ≤ 8 por −2 e escrever x ≤ −4 dá a metade oposta da reta. Diga "negativo, inverte" em voz alta toda vez que dividir por um negativo.
• Inverter sem motivo: um número negativo na resposta não inverte nada. Em 2x > −8, você divide pelo positivo 2, então x > −4 mantém o sinal.
• Bolinha errada: uma bolinha fechada em x > 5 afirma que o 5 serve, e ele não serve. Teste a fronteira por substituição antes de pintar a bolinha.
• Direção errada com o x à direita: 7 < x destaca o lado direito, porque quer dizer x > 7. Reescreva com o x à esquerda primeiro.

Caso especial: inequações duplas, sem solução e todos os números reais

Uma inequação dupla como −2 < x ≤ 3 dá à incógnita dois limites ao mesmo tempo. O OpenStax Intermediate Algebra 2e a chama de inequação dupla e explica que "a < x < b é equivalente a a < x e x < b". Na reta numérica, desenhe uma bolinha aberta no −2, uma bolinha fechada no 3 e destaque o trecho entre elas; na notação de intervalo, fica ]−2, 3].

Resolver x + 1 < x dá 1 < 0, uma sentença falsa, então a inequação não tem solução. Resolver x + 3 > x dá 3 > 0, que é sempre verdade, então todo número real é solução. O OpenStax chama o caso falso de "contradição" e o caso sempre verdadeiro de "identidade".

Sua lista de verificação das inequações e próximos passos

• Sinal: leia o sinal em voz alta e traduza "pelo menos" para ≥ e "no máximo" para ≤.
• Mesmos passos: desfaça a adição e a subtração, depois a multiplicação e a divisão, dos dois lados.
• Regra do negativo: inverta o sinal só quando multiplicar ou dividir por um número negativo.
• Prova da fronteira: substitua a fronteira e um número destacado na inequação original.
• Gráfico: ponha o x à esquerda, escolha a bolinha aberta ou fechada e destaque o lado dos números que servem.
• Ordem: simplifique cada lado com a ordem das operações antes de mover qualquer termo.

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