Eşitsizlik nedir, eşitsizlikler nasıl çözülür ve sayı doğrusunda nasıl gösterilir

Hız sınırı levhasında 50 yazıyor, çocuğunuzun ödevinde “3x − 4 > 11 eşitsizliğini çözün” yazıyor ve ikisi de aynı soruya çıkıyor: eşitsizlik nedir? Matematikte eşitsizlik, iki değerin eşit olmadığını söyleyen bir ifadedir ve cevabı genellikle tek bir sayı değil, bütün bir sayı aralığıdır. Bir denklemi çözebiliyorsanız eşitsizlikleri de aynı adımlarla ve negatif sayılarla ilgili tek bir kuralla çözebilirsiniz; eşitsizliklerin sayı doğrusunda gösterimi ise bir sınır, bir daire ve bir oka indirgenir.

Eşitsizlik nedir?

Eşitsizlik, iki değeri beş sembolden biriyle karşılaştıran bir matematik ifadesidir: < (küçüktür), > (büyüktür), ≤ (küçük veya eşittir), ≥ (büyük veya eşittir) ve ≠ (eşit değildir). < ya da > sembolünün sivri ucu küçük değere bakar, bu yüzden 3 < 8 ile 8 > 3 aynı şeyi söyler.

x + 2 = 7 gibi bir denklemin tek bir cevabı vardır: x = 5. x + 2 > 7 gibi bir eşitsizliğin ise sonsuz sayıda cevabı vardır: 6, 5,5, 20 ve 1.000 sağlar, 5 sağlamaz. OpenStax Elementary Algebra 2e bunu x > 3 için şöyle söyler: 3'ten büyük her sayı bu eşitsizliğin bir çözümüdür.

Türkiye'de eşitsizlikler ortaokulda başlar. MEB'in Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli Ortaokul Matematik Dersi Öğretim Programı, 7. sınıfta (MAT.7.2.2) birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik içeren gerçek yaşam problemlerinin çözülmesini ister ve 8. sınıfta (MAT.8.1.4) gerçek sayı aralıklarını sayı doğrusunda yorumlatır. ABD'de konu 6. sınıfta başlar: Common Core 6.EE.B.8 standardı öğrencilerden gerçek yaşamdaki bir kısıtı x > c ya da x < c biçiminde bir eşitsizlikle yazmalarını, bu eşitsizliklerin sonsuz sayıda çözümü olduğunu fark etmelerini ve çözümleri sayı doğrusunda göstermelerini ister.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınSayıları KarşılaştırmaAnasınıfı–1. sınıf

Günlük hayatta eşitsizlikler: hız sınırları, yaşlar ve “en az”

Günlük hayattaki eşitsizlikler, matematik diliyle yazılmış sınırlar ve alt limitlerdir. Saatte 50 km'lik bir hız sınırı, hızınız s'nin s ≤ 50 olması gerektiğini söyler, çünkü 50'nin kendisine izin verilir. Binmek için en az 120 cm boy isteyen bir lunapark treni h ≥ 120, “günde en az 3 porsiyon sebze” öneren bir beslenme planı da v ≥ 3 der.

Sembolü ifade belirler. OpenStax, “en az” ifadesinin “büyük veya eşit” ile aynı olduğunu not eder; yani “en az” ≥, “en çok” ya da “…den fazla değil” ise ≤ demektir. “Daha fazla” ve “daha az” sınırı dışarıda bırakır, bu yüzden > ve < olur.

Bir eşitsizlik adım adım nasıl çözülür

Bir eşitsizliği çözmek, onu doğru yapan bütün değerleri bulmak demektir ve yöntem denklemde x'i bulmakla aynıdır. 3x − 4 > 11 eşitsizliğini ele alalım.

1. Sembolü okuyun. Sembol >, yani “büyüktür”; negatif bir bölen yönü değiştirmedikçe cevap “x bir sayıdan büyüktür” olacaktır.
2. Toplama ya da çıkarmayı geri alın. İki tarafa 4 ekleyin: 3x − 4 + 4 > 11 + 4, bu da 3x > 15 verir. Toplamak ya da çıkarmak yönü asla değiştirmez.
3. Çarpma ya da bölmeyi geri alın. İki tarafı 3'e bölün: x > 5. Pozitif bir sayıya bölmek yönü olduğu gibi bırakır.
4. Sağlaması gereken bir sayıyı deneyin. x = 6 alın: 3 × 6 − 4 = 14 ve 14 > 11 doğrudur.
5. Sınırı kontrol edin. x = 5 alın: 3 × 5 − 4 = 11 ve 11 > 11 yanlıştır, yani 5 bir çözüm değildir. Bu sonuç size 5'te içi boş bir daire çizmenizi söyler.
6. Cevabı yazın ve gösterin. Çözüm x > 5'tir: 5'ten büyük her sayı; 5'te içi boş bir daire ve sağa doğru bir okla gösterilir.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınX'i Bul6. sınıf+

Eşitsizliğin yönü ne zaman değişir?

Eşitsizliğin yönü, iki taraf negatif bir sayıyla çarpıldığında ya da bölündüğünde değişir, başka hiçbir zaman değişmez. OpenStax kuralı tek satırda verir: bir eşitsizliği negatif bir sayıyla böldüğümüzde ya da çarptığımızda eşitsizlik sembolü ters döner. Toplamak, çıkarmak ve pozitif bir sayıyla çarpmak ya da bölmek yönü olduğu gibi bırakır.

Doğru bir ifade kuralın neden var olduğunu gösterir. 2 < 5 ifadesi doğrudur, ama iki tarafı −1 ile çarpmak −2 ve −5 verir ve sayı doğrusunda −2, −5'ten büyüktür. Sembolü korumak yanlış olan −2 < −5'i verirdi, bu yüzden sembol −2 > −5 olacak şekilde dönmelidir.

−2x ≤ 8 eşitsizliğini ele alalım: iki tarafı −2'ye bölün ve ≤ işaretini ≥ yaparak x ≥ −4 bulun. Sınır cevaba dahildir, çünkü −2 × (−4) = 8 ve 8 ≤ 8 doğrudur.

−4'ün altındaki bir sayı sağlamaz: x = −5, −2 × (−5) = 10 verir ve 10 ≤ 8 yanlıştır, bu yüzden cevap sağa doğrudur. Negatif sayılarla çarpma sizi zorluyorsa negatif sayılar rehberi işaret kurallarını anlatır.

Eşitsizlik sembollerinin karşılaştırması: okunuş, daire ve gösterim

Her eşitsizlik sembolünün kendi okunuşu, sayı doğrusunda kendi dairesi ve kendi aralık gösterimi vardır. Türkiye'de aralık gösterimi 8. sınıfta, gerçek sayı aralıklarıyla birlikte gelir; lise kitapları da onu kullanır.

Tek kuralla aralık gösterimi

Aralık gösterimi bir çözüm kümesini iki ucuyla yazar: dışarıda kalan uç için açık parantez, dahil olan uç için köşeli parantez kullanılır. Maarif Modeli programı bunları “açık aralık: ( , )” ve “kapalı aralık: [ , ]” diye adlandırır; OpenStax da ( sembolünün eşitsizliğin uç noktasının dahil olmadığını, [ sembolünün ise dahil olduğunu gösterdiğini açıklar. Sonsuzluk (∞) her zaman parantez alır, çünkü hiçbir sayı ona ulaşamaz.

Daire ile parantez aynı mesajı taşır. İçi boş daire açık parantezle, içi dolu daire köşeli parantezle eşleşir; bu yüzden x ≥ 2, 2'de içi dolu bir daire ve [2, ∞) aralığıdır.

Eşitsizlikler sayı doğrusunda nasıl gösterilir

Bir eşitsizliği sayı doğrusunda göstermek üç karar ister: sınır nereye konacak, hangi daire çizilecek ve hangi yön taranacak. x > 2 için sınır 2'dir, 2 bir çözüm olmadığı için daire içi boştur ve ok büyük sayılara doğru sağı gösterir.

Daire sembolden gelir. < ve > için içi boş, ≤ ve ≥ için içi dolu daire kullanın. OpenStax dahil bazı kitaplar sınırda daire yerine açık ya da köşeli parantez çizer; anlamı aynıdır.

Ok yönden gelir. x solda iken > ve ≥ sağa, < ve ≤ sola doğru taranır. Taralı taraftan bir sayı seçip deneyin: x ≤ −1 için x = −3 alın; −3 ≤ −1 doğrudur.

Kural: taramadan önce x'i sola alın

7 < x gibi değişkenin sağda olduğu bir eşitsizliği yanlış yöne taramak kolaydır. OpenStax çözümü verir: x > a ile a < x aynı anlama gelir. 7 < x'i x tarafından okuyun, “x 7'den büyüktür”, ve çizmeden önce x > 7 yazın.

Aynı hamle çözülmüş bir cevabı da düzenler. 10 ≥ 2x + 4 çözülünce önce 6 ≥ 2x, sonra 3 ≥ x çıkar; bunu x ≤ 3 diye yeniden yazarsınız: 3'te içi dolu bir daire ve sola bir ok. x = 3 de sağlar, çünkü 2 × 3 + 4 = 10. Sayı doğrusu bir koordinat ızgarasının bir eksenidir; koordinat sistemi rehberi aynı fikrin iki boyuta nasıl büyüdüğünü gösterir.

Eşitsizliklerde ilerlemenizi nasıl kontrol edersiniz

Beş kısa problem, eşitsizlikleri anlayıp anlamadığınızı ya da bir kalıbı takip edip etmediğinizi gösterir. Her birini notlara bakmadan çözün, sınırı kontrol edin, sonra karşılaştırın.

• Tek adım: x + 7 ≤ 12 eşitsizliğini çözün. 7 çıkarmak x ≤ 5 verir: 5'te içi dolu bir daire ve sola bir ok.
• Pozitif bölen: 4x > −12 eşitsizliğini çözün. Pozitif 4'e bölmek yönü korur, yani x > −3.
• Negatif bölen: −3x > 12 eşitsizliğini çözün. −3'e bölmek yönü değiştirir, yani x < −4. x = −5 ile kontrol edin: 15 > 12 doğrudur.
• Gizli negatif: 5 − x < 2 eşitsizliğini çözün. 5 çıkarmak −x < −3 verir, −1'e bölmek de x > 3.
• Sözel problem: haftada 500 TL artı satış başına 30 TL kazanıyorsunuz ve en az 1.000 TL istiyorsunuz. Bu, 500 + 30s ≥ 1.000 verir; yani 30s ≥ 500 ve s ≥ 500 ÷ 30, yaklaşık 16,7; bu da en az 17 satış demektir.

İşe yarayan bir test: sınır kontrolü

Sınır kontrolü, yanlış daireyi ve yanlış yönü yakalayan bir dakikalık bir testtir. Sınır sayıyı ilk eşitsizlikte yerine koyun: iki tarafı eşit yapmalıdır ve sembol bunun sayılıp sayılmadığını söyler. Sonra taralı taraftan bir sayı deneyin; doğru bir ifade vermelidir.

Sözel problem doğrudan programdan gelir. Common Core 7.EE.B.4b 7. sınıf öğrencilerinden px + q > r ya da px + q < r biçiminde eşitsizliklere götüren sözel problemleri çözmelerini ister ve aynı satış elemanı örneğini kullanır; Maarif Modeli'nin MAT.7.2.2 çıktısı da eşitsizlik içeren gerçek yaşam problemlerini ister. Kontrol edin: 17 satış 500 + 510 = 1.010 TL getirir, 16 satış ise 500 + 480 = 980 TL getirir ve hedefin altında kalır.

Eşitsizliklerde sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

Eşitsizlik ödevlerindeki yanlış cevapların çoğunu dört hata doğurur ve her birinin hızlı bir çözümü vardır.

• Yönü değiştirmeyi unutmak: −2x ≤ 8'i −2'ye bölüp x ≤ −4 yazmak doğrunun ters yarısını verir. Negatif bir sayıya her böldüğünüzde sesli olarak “negatif, yön değişir” deyin.
• Sebepsiz yere yön değiştirmek: cevaptaki negatif bir sayı hiçbir şeyi değiştirmez. 2x > −8'de pozitif 2'ye bölersiniz, bu yüzden x > −4 yönünü korur.
• Yanlış daire: x > 5 için içi dolu daire, 5'in sağladığını iddia eder, oysa sağlamaz. Bir daireyi doldurmadan önce sınırı yerine koyarak kontrol edin.
• x sağdayken yanlış yön: 7 < x sağa taranır, çünkü x > 7 demektir. Önce x'i sola alarak yeniden yazın.

Sınır durum: birleşik eşitsizlikler, çözümsüzlük ve bütün gerçek sayılar

−2 < x ≤ 3 gibi birleşik bir eşitsizlik değişkene aynı anda iki sınır koyar. OpenStax Intermediate Algebra 2e buna çift eşitsizlik der ve a < x < b ifadesinin a < x ve x < b ile denk olduğunu açıklar. Sayı doğrusunda −2'de içi boş, 3'te içi dolu bir daire çizin ve aradaki parçayı tarayın; aralık gösteriminde bu (−2, 3] olur.

x + 1 < x çözülünce 1 < 0 çıkar; bu yanlış bir ifadedir, yani eşitsizliğin çözümü yoktur. x + 3 > x çözülünce 3 > 0 çıkar; bu her zaman doğrudur, yani her gerçek sayı bir çözümdür. OpenStax yanlış duruma “çelişki”, her zaman doğru olan duruma “özdeşlik” der.

Eşitsizlikler kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Sembol: sembolü sesli okuyun; “en az” ifadesini ≥, “en çok” ifadesini ≤ diye çevirin.
• Aynı adımlar: iki tarafta da önce toplama ve çıkarmayı, sonra çarpma ve bölmeyi geri alın.
• Negatif kuralı: yönü yalnızca negatif bir sayıyla çarparken ya da bölerken değiştirin.
• Sınır kontrolü: sınırı ve taralı taraftan bir sayıyı ilk eşitsizlikte yerine koyun.
• Grafik: x'i sola alın, içi boş ya da içi dolu daireyi seçin ve sağlayan sayılara doğru tarayın.
• Sıra: terimleri taşımadan önce her tarafı işlem önceliği kurallarıyla sadeleştirin.

Tarayıcıdaki ücretsiz x bulma oyunu, her eşitsizliğin arkasındaki ters işlemleri kayıt olmadan çalıştırır. Cebiri yeniden kuran yetişkinler yetişkin olarak matematikte daha iyi olmak rehberindeki planı izleyebilir ya da yetişkinler için matematik oyunu sayfasını deneyebilir.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü ve uyarlanabilir zorluk sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır; günde birkaç dakikalık alıştırma negatif sayıları ve denklem adımlarını hızlı tutar.