什么是不等式，怎样解不等式并在数轴上表示解集

路边的限速标志写着 120，孩子的作业要求“解不等式 3x − 4 > 11”，两件事引出同一个问题：什么是不等式？数学中的不等式是表示两个量不相等的式子，它的解通常是一整段数，而不是一个数。会解方程，就已经会解不等式了：步骤一样，只多一条关于负数的规则；在数轴上表示解集，也只要分界点、圆圈和箭头三样东西。

什么是不等式？

不等式是用五种符号之一来比较两个量的数学式子：<（小于）、>（大于）、≤（小于或等于）、≥（大于或等于）和 ≠（不等于）。< 或 > 的尖头总是对着较小的数，所以 3 < 8 和 8 > 3 说的是同一件事。

像 x + 2 = 7 这样的方程只有一个解，x = 5。像 x + 2 > 7 这样的不等式有无数个解：6、5.5、20 和 1000 都满足，5 却不满足。OpenStax《Elementary Algebra 2e》对 x > 3 是这样说的：任何大于 3 的数都是这个不等式的解。

在国内，不等式是初中的内容。教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》中，数学课程标准第四学段（7～9年级）的“不等式与不等式组”要求学生了解不等式的意义，探索不等式的基本性质，能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。在美国，不等式从六年级开始：共同核心标准 6.EE.B.8要求学生写出 x > c 或 x < c 形式的不等式来表示实际问题或数学问题中的限制条件，认识到这样的不等式有无数个解，并在数轴上表示这些解。

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生活中的不等式：限速、身高和“至少”

生活中的不等式，就是用数学写出来的上限和下限。限速 120 千米/时，表示车速 s 必须满足 s ≤ 120，因为正好 120 是允许的。游乐项目要求身高至少 120 厘米，就是 h ≥ 120；饮食建议“每天至少吃 3 份蔬菜”，就是 v ≥ 3。

用词决定符号。OpenStax 指出，“至少”和“大于或等于”是一个意思，所以“至少”“不少于”是 ≥，“至多”“不超过”是 ≤。“多于”“超过”和“少于”“不足”都不包括分界点，所以是 > 和 <。

怎样一步一步解不等式

解不等式，就是找出使不等式成立的所有未知数的值，方法和解方程求 x一样。以 3x − 4 > 11 为例。

1. 看清不等号。 不等号是 >，“大于”，所以答案会是“x 大于某个数”，除非除以负数时不等号变了方向。
2. 去掉加减。 两边同时加 4：3x − 4 + 4 > 11 + 4，得到 3x > 15。加减任何数都不会改变不等号的方向。
3. 去掉乘除。 两边同时除以 3：x > 5。除以正数，不等号方向不变。
4. 代入一个应该满足的数检验。 取 x = 6：3 × 6 − 4 = 14，14 > 11 成立。
5. 检验分界点。 取 x = 5：3 × 5 − 4 = 11，11 > 11 不成立，所以 5 不是解。这说明在数轴上 5 处要画空心圆圈。
6. 写出解集并在数轴上表示。 解集是 x > 5，即所有大于 5 的数，在 5 处画空心圆圈，再向右画箭头。

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什么时候不等号要改变方向？

不等号只在两边同时乘或除以同一个负数时改变方向，其他时候都不变。OpenStax 用一句话说明这条规则：不等式两边除以或乘以一个负数时，不等号的方向要改变。加、减，以及乘或除以正数，都不影响不等号。

一个成立的式子就能说明这条规则为什么存在。2 < 5 成立，但两边乘 −1 得到 −2 和 −5，而在数轴上 −2 比 −5 大。如果不等号不变，就得到 −2 < −5，这是错的，所以不等号必须反过来，写成 −2 > −5。

看 −2x ≤ 8：两边除以 −2，把 ≤ 改成 ≥，得到 x ≥ −4。分界点在解集里，因为 −2 × (−4) = 8，而 8 ≤ 8 成立。

小于 −4 的数不满足：x = −5 时 −2 × (−5) = 10，10 ≤ 8 不成立，所以解集向右。如果负数乘法还不熟，负数讲解讲了符号法则。

不等号对比：读法、圆圈和区间表示

每个不等号都有自己的读法、在数轴上的圆圈和对应的区间写法。初中用数轴和 x > 5 这样的式子表示解集，高中再学区间。

一条规则看懂区间表示

区间表示法用两个端点写出解集，不包含的端点用圆括号，包含的端点用方括号。OpenStax 解释说，圆括号“(”表示不等式的端点不包含在内，方括号“[”表示端点包含在内。国内教材把正无穷大写作 +∞、负无穷大写作 −∞，无穷大一侧总是用圆括号，因为没有哪个数能达到它。

圆圈和括号传达的是同一个意思。空心圆圈对应圆括号，实心圆点对应方括号，所以 x ≥ 2 在 2 处画实心圆点，写成区间就是 [2, +∞)。

怎样在数轴上表示不等式的解集

在数轴上表示不等式的解集要做三个决定：分界点在哪里，画哪种圆圈，往哪边画。对于 x > 2，分界点是 2，因为 2 不是解，所以画空心圆圈，箭头向右指向更大的数。

圆圈由不等号决定。< 和 > 用空心圆圈，≤ 和 ≥ 用实心圆点。有些教材，包括 OpenStax，在分界点画圆括号或方括号代替圆圈，意思相同。

箭头由方向决定。x 写在左边时，> 和 ≥ 向右，< 和 ≤ 向左。在标出的一侧任取一个数检验：对于 x ≤ −1，取 x = −3，−3 ≤ −1 成立。

规则：先把 x 写到左边再画图

未知数在右边的不等式，比如 7 < x，很容易画反方向。OpenStax 给出的办法是：x > a 和 a < x 意思相同。从 x 那边读 7 < x，就是“x 大于 7”，画图之前先写成 x > 7。

同样的办法也能整理解出的答案。解 10 ≥ 2x + 4 得到 6 ≥ 2x，再得到 3 ≥ x，改写成 x ≤ 3：在 3 处画实心圆点，箭头向左；x = 3 也能通过检验，因为 2 × 3 + 4 = 10。数轴就是平面直角坐标系的一条坐标轴，坐标系讲解讲了同样的想法怎样扩展到两个维度。

怎样检查有没有学会不等式

五道小题就能看出你是真懂不等式，还是在套模式。不看笔记做每一道，检验分界点，再对答案。

• 一步： 解 x + 7 ≤ 12。两边减 7 得到 x ≤ 5，在 5 处画实心圆点，箭头向左。
• 除以正数： 解 4x > −12。除以正数 4，不等号不变，所以 x > −3。
• 除以负数： 解 −3x > 12。除以 −3，不等号变方向，所以 x < −4。检验 x = −5：15 > 12 成立。
• 藏着的负号： 解 5 − x < 2。两边减 5 得到 −x < −3，再除以 −1 得到 x > 3。
• 应用题： 你每周底薪 50 元，每卖出一件提成 3 元，想每周至少挣 100 元。列式 50 + 3s ≥ 100，得到 3s ≥ 50，s ≥ 50 ÷ 3，约等于 16.7，所以至少要卖 17 件。

实用的检验方法：检验分界点

检验分界点是一个一分钟的小测试，能发现画错的圆圈和画反的方向。把分界点代入原不等式：它应该让两边相等，再由不等号决定它算不算解。然后在标出的一侧任取一个数检验，结果必须成立。

这道应用题直接来自课程标准。美国共同核心 7.EE.B.4b要求七年级学生解决能列出 px + q > r 或 px + q < r 形式不等式的应用题，用的就是同样的推销员例子（原题以美元计）。检验一下：卖 17 件能挣 50 + 51 = 101 元，卖 16 件只能挣 50 + 48 = 98 元，不够。

解不等式的常见错误和特殊情况

不等式作业里的错答大多来自四种错误，每种都有简单的改法。

• 忘了变号： −2x ≤ 8 两边除以 −2 却写成 x ≤ −4，得到的是数轴上相反的那一半。每次除以负数时，大声说一遍“负数，变号”。
• 没有理由地变号： 答案里出现负数并不需要变号。解 2x > −8，除以的是正数 2，所以 x > −4，不等号不变。
• 圆圈画错： 在 x > 5 的 5 处画实心圆点，等于说 5 是解，其实不是。画实心圆点之前，先把分界点代入检验。
• x 在右边时方向画反： 7 < x 要向右画，因为它的意思是 x > 7。先把 x 写到左边。

特殊情况：连写的不等式、无解和全体实数

像 −2 < x ≤ 3 这样的连写不等式同时给未知数两个限制。OpenStax《Intermediate Algebra 2e》把它叫作双重不等式，并说明 a < x < b 等价于 a < x 且 x < b，也就是由两个不等式组成的不等式组。在数轴上，−2 处画空心圆圈，3 处画实心圆点，把两点之间的线段标出来；写成区间就是 (−2, 3]。

解 x + 1 < x 得到 1 < 0，这是错误的式子，所以这个不等式无解。解 x + 3 > x 得到 3 > 0，这个式子永远成立，所以全体实数都是它的解。OpenStax 把永远不成立的情况叫作“矛盾”，把永远成立的情况叫作“恒等式”。

不等式检查清单和下一步

• 符号： 大声读出不等号，把“至少”换成 ≥，“至多”换成 ≤。
• 同样的步骤： 两边先去掉加减，再去掉乘除。
• 负数规则： 只有乘或除以负数时才改变不等号的方向。
• 检验分界点： 把分界点和标出一侧的一个数代入原不等式。
• 画图： 把 x 写在左边，选空心圆圈或实心圆点，向满足条件的数那边画。
• 运算顺序： 移项之前，先按运算顺序化简两边。

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