Hva en ulikhet er, og slik løser og tegner du ulikheter

Fartsgrenseskiltet viser 80, leksa til barnet ditt sier «løs 3x − 4 > 11», og begge fører til det samme spørsmålet: hva er en ulikhet? En ulikhet i matematikk er et utsagn om at to verdier ikke er like, og svaret er som regel en hel rekke tall i stedet for ett. Kan du løse en likning, kan du allerede løse ulikheter med de samme grepene pluss én regel om negative tall, og å tegne ulikheter handler om en grense, en sirkel og en pil.

Hva er en ulikhet?

En ulikhet er et matematisk utsagn som sammenligner to verdier med ett av fem tegn: < (mindre enn), > (større enn), ≤ (mindre enn eller lik), ≥ (større enn eller lik) og ≠ (ikke lik). Den spisse enden av < eller > peker mot den minste verdien, så 3 < 8 og 8 > 3 sier det samme.

En likning som x + 2 = 7 har ett svar, x = 5. En ulikhet som x + 2 > 7 har uendelig mange: 6, 5,5, 20 og 1 000 passer alle, og 5 passer ikke. OpenStax Elementary Algebra 2e sier det slik om x > 3: «Ethvert tall større enn 3 er en løsning av ulikheten.»

I Norge skal eleven etter 7. trinn kunne «bruke tall, tekst, tegning og konkreter til å løse ulikheter og teste og forklare løsninger», ifølge kompetansemålene etter 7. trinn i LK20, og etter 8. trinn «bruke ulike strategier for å løse ulikheter og vurdere om løsninger er gyldige». I USA ber Common Core-standarden 6.EE.B.8 elever i 6. klasse om å «skrive en ulikhet på formen x > c eller x < c for å beskrive en begrensning eller betingelse» og å «innse at ulikheter på formen x > c eller x < c har uendelig mange løsninger». Den samme standarden ber dem vise løsningene på en tallinje.

Spill gratis i nettleserenSammenlign tallBarnehage–1. trinn

Ulikheter i hverdagen: fartsgrenser, høyde og «minst»

Ulikheter i hverdagen er grenser og minstekrav skrevet som matematikk. En fartsgrense på 80 km/t sier at farten f må oppfylle f ≤ 80, fordi 80 er lov. En karusell som krever at du er minst 120 cm høy, sier h ≥ 120, og en matplan med «minst 3 porsjoner grønnsaker» sier g ≥ 3.

Ordene bestemmer tegnet. OpenStax skriver at uttrykket «minst» betyr det samme som «større enn eller lik», så «minst» betyr ≥, og «høyst» eller «ikke mer enn» betyr ≤. «Mer enn» og «færre enn» holder grensen utenfor, så de blir > og <.

Slik løser du en ulikhet, steg for steg

Å løse en ulikhet betyr å finne hver verdi av den ukjente som gjør ulikheten sann, og metoden er den samme som når du løser en likning. Ta 3x − 4 > 11.

1. Les tegnet. Tegnet er >, «større enn», så svaret blir «x er større enn et tall» med mindre en negativ divisor snur det.
2. Opphev addisjon eller subtraksjon. Legg til 4 på begge sider: 3x − 4 + 4 > 11 + 4, som gir 3x > 15. Å legge til eller trekke fra endrer aldri tegnet.
3. Opphev multiplikasjon eller divisjon. Del begge sider på 3: x > 5. Å dele på et positivt tall lar tegnet stå som det er.
4. Sjekk et tall som skal passe. Prøv x = 6: 3 × 6 − 4 = 14, og 14 > 11 er sant.
5. Sjekk grensen. Prøv x = 5: 3 × 5 − 4 = 11, og 11 > 11 er usant, så 5 er ikke en løsning. Det resultatet sier at du skal tegne en åpen sirkel ved 5.
6. Skriv og tegn svaret. Løsningen er x > 5: alle tall større enn 5, vist med en åpen sirkel ved 5 og en pil mot høyre.

Spill gratis i nettleserenLøs for x6. trinn+

Når skal du snu ulikhetstegnet?

Ulikhetstegnet snur når du ganger eller deler begge sider med et negativt tall, og aldri ellers. OpenStax sier regelen på én linje: «Når vi deler eller ganger en ulikhet med et negativt tall, snur ulikhetstegnet.» Å legge til, trekke fra, og å gange eller dele med et positivt tall lar tegnet være.

Et sant utsagn viser hvorfor regelen finnes. Utsagnet 2 < 5 er sant, men ganger du begge sider med −1, får du −2 og −5, og −2 er større enn −5 på tallinjen. Beholder du tegnet, får du −2 < −5, som er usant, så tegnet må snu til −2 > −5.

Ta −2x ≤ 8: del begge sider på −2 og snu ≤ til ≥, så får du x ≥ −4. Grensen hører med i svaret, fordi −2 × (−4) = 8 og 8 ≤ 8 er sant.

Et tall under −4 passer ikke: x = −5 gir −2 × (−5) = 10, og 10 ≤ 8 er usant, så svaret peker mot høyre. Føles multiplikasjon med negative tall usikkert, dekker guiden om negative tall fortegnsreglene.

Ulikhetstegn sammenlignet: ord, sirkler og skrivemåte

Hvert ulikhetstegn har sine egne ord, sin egen sirkel på tallinjen og sin egen intervallskrivemåte. Intervallskrivemåten er valgfri de første årene med ulikheter, men algebrabøker bruker den.

Intervallskrivemåte med én regel

Intervallskrivemåten skriver en løsningsmengde som de to endepunktene, med en parentes for et endepunkt som ikke er med og en hakeparentes for et endepunkt som er med. OpenStax forklarer at parentesen «(» viser at endepunktet ikke er med, og at hakeparentesen «[» viser at endepunktet er med. Uendelig (∞) får alltid en parentes, fordi ingen tall når dit.

Åpne endepunkter har også en egen norsk skrivemåte. Store norske leksikon skriver at et åpent intervall (a, b) også kan skrives med vinkelparenteser, ⟨a, b⟩, så x > 2 kan stå som ⟨2, ∞⟩, og x ≥ 2 som [2, ∞⟩. Sjekk hvilken skrivemåte læreboka bruker: en åpen sirkel hører sammen med en parentes eller vinkelparentes, og en fylt sirkel med en hakeparentes.

Slik tegner du ulikheter på en tallinje

Å tegne en ulikhet på en tallinje krever tre valg: hvor grensen går, hvilken sirkel du tegner, og hvilken vei du skraverer. For x > 2 er grensen 2, sirkelen er åpen fordi 2 ikke er en løsning, og pilen peker mot høyre, mot de større tallene.

Sirkelen kommer fra tegnet. Bruk en åpen sirkel for < og >, og en fylt sirkel for ≤ og ≥. Noen bøker, blant dem OpenStax, tegner en parentes eller en hakeparentes ved grensen i stedet for en sirkel, og betydningen er den samme.

Pilen kommer fra retningen. Med x til venstre skraverer > og ≥ mot høyre og < og ≤ mot venstre. Velg ett tall på den skraverte siden og test det: for x ≤ −1 prøver du x = −3, og −3 ≤ −1 er sant.

Regel: skriv om med x til venstre før du skraverer

En ulikhet med den ukjente til høyre, som 7 < x, er lett å skravere feil vei. OpenStax gir løsningen: «x > a betyr det samme som a < x». Les 7 < x fra x-siden, «x er større enn 7», og skriv x > 7 før du tegner.

Det samme grepet rydder opp i et ferdig svar. Løser du 10 ≥ 2x + 4, får du 6 ≥ 2x og så 3 ≥ x, som du skriver om til x ≤ 3: en fylt sirkel ved 3 og en pil mot venstre, og x = 3 stemmer fordi 2 × 3 + 4 = 10. En tallinje er én akse i et koordinatsystem, og guiden om koordinatsystemet viser hvordan den samme ideen vokser til to dimensjoner.

Slik sjekker du framgangen med ulikheter

Fem korte oppgaver viser om du forstår ulikheter eller bare følger et mønster. Løs hver av dem uten notater, sjekk grensen, og sammenlign etterpå.

• Ett steg: løs x + 7 ≤ 12. Når du trekker fra 7, får du x ≤ 5, en fylt sirkel ved 5 og en pil mot venstre.
• Positiv divisor: løs 4x > −12. Å dele på positive 4 beholder tegnet, så x > −3.
• Negativ divisor: løs −3x > 12. Å dele på −3 snur tegnet, så x < −4. Sjekk x = −5: 15 > 12 er sant.
• Skjult negativ: løs 5 − x < 2. Når du trekker fra 5, får du −x < −3, og når du deler på −1, får du x > 3.
• Tekstoppgave: du tjener 500 kr i uken pluss 30 kr per salg og vil ha minst 1 000 kr. Det gir 500 + 30s ≥ 1 000, så 30s ≥ 500 og s ≥ 500 : 30, omtrent 16,7, som betyr minst 17 salg.

En test som virker: grensesjekken

Grensesjekken er en test på ett minutt som fanger feil sirkel og feil retning. Sett grensetallet inn i den opprinnelige ulikheten: det skal gjøre begge sider like, og tegnet forteller om det teller. Test så ett tall på den skraverte siden, som må gi et sant utsagn.

Tekstoppgaven bygger på et eksempel fra læreplanen i USA. Common Core 7.EE.B.4b ber elever i 7. klasse «løse tekstoppgaver som fører til ulikheter på formen px + q > r eller px + q < r» og bruker det samme eksempelet med en selger. Sjekk det: 17 salg gir 500 + 510 = 1 010 kr, og 16 salg gir 500 + 480 = 980 kr, som er for lite.

Vanlige feil og spesialtilfeller med ulikheter

Fire feil står bak de fleste gale svarene på lekser med ulikheter, og hver av dem har en rask løsning.

• Å glemme å snu: deler du −2x ≤ 8 på −2 og skriver x ≤ −4, får du den motsatte halvdelen av tallinjen. Si «negativ, snu» høyt hver gang du deler på et negativt tall.
• Å snu uten grunn: et negativt tall i svaret snur ingenting. I 2x > −8 deler du på positive 2, så x > −4 beholder tegnet.
• Feil sirkel: en fylt sirkel på x > 5 påstår at 5 passer, selv om det ikke gjør det. Sjekk grensen ved innsetting før du fyller en sirkel.
• Feil retning med x til høyre: 7 < x skraveres mot høyre, fordi det betyr x > 7. Skriv om med x til venstre først.

Spesialtilfelle: doble ulikheter, ingen løsning og alle reelle tall

En dobbel ulikhet som −2 < x ≤ 3 gir den ukjente to grenser samtidig. OpenStax Intermediate Algebra 2e kaller den en dobbel ulikhet og forklarer at «a < x < b er det samme som a < x og x < b». På tallinjen tegner du en åpen sirkel ved −2, en fylt sirkel ved 3 og skraverer strekningen mellom dem; som intervall er det (−2, 3], eller ⟨−2, 3] i norsk skrivemåte.

Løser du x + 1 < x, får du 1 < 0, et usant utsagn, så ulikheten har ingen løsning. Løser du x + 3 > x, får du 3 > 0, som alltid er sant, så hvert reelt tall er en løsning. OpenStax kaller det usanne tilfellet en «selvmotsigelse» og det alltid sanne tilfellet en «identitet».

Sjekklisten din for ulikheter og neste steg

• Tegn: les tegnet høyt, og oversett «minst» til ≥ og «høyst» til ≤.
• Samme grep: opphev addisjon og subtraksjon, så multiplikasjon og divisjon, på begge sider.
• Negativregelen: snu tegnet bare når du ganger eller deler med et negativt tall.
• Grensesjekk: sett grensen og ett skravert tall inn i den opprinnelige ulikheten.
• Tegning: sett x til venstre, velg åpen eller fylt sirkel, og skraver mot tallene som passer.
• Rekkefølge: forenkle hver side med regnerekkefølgen før du flytter ledd.

Det gratis likningsspillet øver på de motsatte regneoperasjonene bak hver ulikhet, rett i nettleseren og uten registrering. Voksne som bygger opp algebraen igjen, kan følge planen i hvordan du blir bedre i matte som voksen eller prøve mattespillet for voksne.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper og adaptiv vanskegrad, så noen minutter med daglig øving holder negative tall og likningssteg raske.