Qu'est-ce qu'une inéquation, et comment résoudre et représenter ses solutions

Le panneau sur l'autoroute affiche 130, le devoir de votre enfant demande de « résoudre 3x − 4 > 11 », et les deux mènent à la même question : qu'est-ce qu'une inéquation ? Une inéquation en maths est une inégalité avec une inconnue, et sa solution est en général toute une plage de nombres au lieu d'un seul. Si vous savez résoudre une équation, vous savez déjà résoudre une inéquation avec les mêmes étapes plus une règle sur les nombres négatifs, et représenter ses solutions revient à placer une borne, un crochet et une flèche.

Qu'est-ce qu'une inéquation ?

Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue et compare deux expressions avec l'un de ces signes : < (strictement inférieur à), > (strictement supérieur à), ≤ (inférieur ou égal à) et ≥ (supérieur ou égal à). Le signe ≠ (différent de) complète la famille. La pointe de < ou de > est tournée vers le plus petit nombre, donc 3 < 8 et 8 > 3 disent la même chose.

Une équation comme x + 2 = 7 a une seule solution, x = 5. Une inéquation comme x + 2 > 7 en a une infinité : 6 ; 5,5 ; 20 et 1 000 conviennent, mais pas 5. Le manuel OpenStax Elementary Algebra 2e le dit ainsi pour x > 3 : « tout nombre supérieur à 3 est une solution de l'inéquation ».

En France, les inéquations arrivent en 3e. Le programme de mathématiques du cycle 4 demande en 3e de « résoudre analytiquement et graphiquement une inéquation du premier degré du type ax ⩾ b ». Aux États-Unis, le standard Common Core 6.EE.B.8 les introduit plus tôt, en grade 6, et demande de reconnaître que les inéquations du type x > c ou x < c « ont une infinité de solutions » et de les représenter sur une droite graduée.

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Les inéquations de la vie courante : vitesses, tailles et « au moins »

Les inéquations de la vie courante sont des limites et des minimums écrits en maths. Une limite de 130 km/h dit que votre vitesse v doit vérifier v ≤ 130, car 130 est autorisé. Un manège réservé aux enfants d'au moins 120 cm dit t ≥ 120, et une recette avec « au moins 3 portions de légumes » dit l ≥ 3.

La formulation décide du signe. OpenStax note que « l'expression "au moins" équivaut à "supérieur ou égal à" », donc « au moins » veut dire ≥ et « au plus » ou « pas plus de » veut dire ≤. « Plus de » et « moins de » laissent la borne de côté, donc ils deviennent > et <.

Comment résoudre une inéquation, étape par étape

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui la rendent vraie, et la méthode est la même que pour résoudre une équation. Prenons 3x − 4 > 11.

1. Lisez le signe. Le signe est >, « strictement supérieur à », donc la réponse sera « x est strictement supérieur à un nombre », sauf si une division par un négatif change le sens.
2. Annulez l'addition ou la soustraction. Ajoutez 4 aux deux membres : 3x − 4 + 4 > 11 + 4, ce qui donne 3x > 15. Ajouter ou soustraire ne change jamais le sens.
3. Annulez la multiplication ou la division. Divisez les deux membres par 3 : x > 5. Diviser par un nombre positif garde le sens.
4. Testez un nombre qui doit convenir. Essayez x = 6 : 3 × 6 − 4 = 14, et 14 > 11 est vrai.
5. Testez la borne. Essayez x = 5 : 3 × 5 − 4 = 11, et 11 > 11 est faux, donc 5 n'est pas une solution. Ce résultat vous dit que la borne 5 est exclue.
6. Écrivez et représentez la réponse. La solution est x > 5 : tous les nombres strictement supérieurs à 5, soit l'intervalle ]5 ; +∞[, représenté par une borne exclue en 5 et une flèche vers la droite.

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Quand faut-il changer le sens de l'inéquation ?

Le sens d'une inéquation change quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, et à aucun autre moment. OpenStax énonce la règle en une ligne : « quand on divise ou multiplie une inéquation par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse ». Ajouter, soustraire, et multiplier ou diviser par un nombre positif ne touchent pas au sens.

Une inégalité vraie montre pourquoi la règle existe. L'inégalité 2 < 5 est vraie, mais multiplier les deux membres par −1 donne −2 et −5, et −2 est plus grand que −5 sur la droite graduée. Garder le sens donnerait −2 < −5, ce qui est faux, donc le signe doit se retourner : −2 > −5.

Prenons −2x ≤ 8 : divisez les deux membres par −2 et changez ≤ en ≥ pour obtenir x ≥ −4. La borne fait partie des solutions, car −2 × (−4) = 8 et 8 ≤ 8 est vrai.

Un nombre inférieur à −4 ne convient pas : x = −5 donne −2 × (−5) = 10, et 10 ≤ 8 est faux, donc les solutions sont du côté droit. Si la multiplication des négatifs est fragile, le guide sur les nombres négatifs rappelle la règle des signes.

Les signes d'inégalité comparés : mots, représentation et intervalles

Chaque signe d'inégalité a sa lecture, sa représentation sur la droite graduée et son écriture en intervalle. En France, les intervalles s'écrivent avec des crochets et un point-virgule, comme ]2 ; +∞[.

Les intervalles en une règle

L'écriture en intervalle donne l'ensemble des solutions par ses deux bornes, avec un crochet tourné vers l'intérieur pour une borne comprise et un crochet tourné vers l'extérieur pour une borne exclue. Ainsi x ≥ 2 s'écrit [2 ; +∞[ et x > 2 s'écrit ]2 ; +∞[. L'infini (+∞ ou −∞) a toujours un crochet tourné vers l'extérieur, car aucun nombre ne l'atteint.

Les manuels américains utilisent une autre notation. OpenStax explique que « la parenthèse ouvrante ( montre que la borne de l'inéquation n'est pas comprise » et que « le crochet ouvrant [ montre que la borne est comprise », donc x > 2 s'y écrit (2, ∞). Sur leurs droites graduées, un rond vide correspond à la borne exclue et un rond plein à la borne comprise, comme sur les figures de cet article : le rond vide joue le rôle de ]2 et le rond plein celui de [2.

Comment représenter les solutions d'une inéquation sur une droite graduée

Représenter une inéquation sur une droite graduée demande trois décisions : où placer la borne, comment la marquer, et de quel côté colorier. Pour x > 2, la borne est 2, elle est exclue car 2 n'est pas une solution, et on colorie vers la droite, vers les nombres plus grands.

La marque de la borne vient du signe. En France, on place souvent un crochet sur la droite graduée, tourné vers la partie coloriée quand la borne est comprise (≤ et ≥) et tourné vers l'extérieur quand elle est exclue (< et >). Les manuels américains, OpenStax compris, dessinent un rond vide ou un rond plein, et le sens est le même.

Le côté vient du signe aussi. Avec x à gauche, > et ≥ colorient vers la droite, < et ≤ vers la gauche. Prenez un nombre du côté colorié et testez-le : pour x ≤ −1, essayez x = −3, et −3 ≤ −1 est vrai.

La règle : réécrire avec x à gauche avant de colorier

Une inéquation avec l'inconnue à droite, comme 7 < x, se colorie facilement du mauvais côté. OpenStax donne la solution : « x > a a le même sens que a < x ». Lisez 7 < x depuis x, « x est strictement supérieur à 7 », et écrivez x > 7 avant de dessiner.

Le même geste range une réponse déjà résolue. Résoudre 10 ≥ 2x + 4 donne 6 ≥ 2x, puis 3 ≥ x, que vous réécrivez x ≤ 3 : une borne comprise en 3, le côté gauche colorié, soit ]−∞ ; 3], et x = 3 convient car 2 × 3 + 4 = 10. Une droite graduée est un axe d'un repère, et le guide sur le repère du plan montre comment la même idée passe à deux dimensions.

Comment vérifier vos progrès sur les inéquations

Cinq petits exercices montrent si vous comprenez les inéquations ou si vous suivez une recette. Résolvez chacun sans notes, testez la borne, puis comparez.

• Une étape : résolvez x + 7 ≤ 12. Soustraire 7 donne x ≤ 5, soit ]−∞ ; 5], borne comprise et côté gauche.
• Diviseur positif : résolvez 4x > −12. Diviser par 4, un nombre positif, garde le sens, donc x > −3.
• Diviseur négatif : résolvez −3x > 12. Diviser par −3 change le sens, donc x < −4. Testez x = −5 : 15 > 12 est vrai.
• Négatif caché : résolvez 5 − x < 2. Soustraire 5 donne −x < −3, et diviser par −1 donne x > 3.
• Problème : vous gagnez 50 € par semaine plus 3 € par vente et vous voulez au moins 100 €. Cela donne 50 + 3v ≥ 100, donc 3v ≥ 50 et v ≥ 50 : 3, environ 16,7, ce qui veut dire au moins 17 ventes.

Un test efficace : vérifier la borne

La vérification de la borne est un test d'une minute qui repère une borne mal marquée et un mauvais côté. Remplacez l'inconnue par la borne dans l'inéquation de départ : les deux membres doivent être égaux, et le signe vous dit si cela compte. Testez ensuite un nombre du côté colorié, qui doit donner une inégalité vraie.

Le problème vient tout droit du programme américain. Le Common Core 7.EE.B.4b demande en grade 7 de « résoudre des problèmes menant à des inéquations du type px + q > r ou px + q < r » et utilise le même exemple du vendeur. Vérifiez : 17 ventes rapportent 50 + 51 = 101 €, et 16 ventes rapportent 50 + 48 = 98 €, ce qui ne suffit pas.

Erreurs fréquentes et cas particuliers sur les inéquations

Quatre erreurs causent la plupart des mauvaises réponses dans les devoirs sur les inéquations, et chacune se corrige vite.

• Oublier de changer le sens : diviser −2x ≤ 8 par −2 et écrire x ≤ −4 donne la mauvaise moitié de la droite. Dites « négatif, je change le sens » à voix haute à chaque division par un négatif.
• Changer le sens sans raison : un nombre négatif dans la réponse ne change rien. Dans 2x > −8, vous divisez par 2, un nombre positif, donc x > −4 garde son sens.
• Mauvaise borne : marquer la borne comme comprise pour x > 5 affirme que 5 convient alors que ce n'est pas le cas. Testez la borne avant de choisir le crochet.
• Mauvais côté avec x à droite : 7 < x se colorie vers la droite, car cela veut dire x > 7. Réécrivez avec x à gauche d'abord.

Cas particulier : encadrements, aucune solution et tous les réels

Un encadrement comme −2 < x ≤ 3 donne deux limites à l'inconnue en même temps. OpenStax Intermediate Algebra 2e l'appelle une double inéquation et explique que « a < x < b équivaut à a < x et x < b ». Sur la droite graduée, marquez une borne exclue en −2, une borne comprise en 3 et coloriez le segment entre les deux ; en intervalle, c'est ]−2 ; 3].

Résoudre x + 1 < x donne 1 < 0, une inégalité fausse, donc l'inéquation n'a aucune solution. Résoudre x + 3 > x donne 3 > 0, toujours vrai, donc tous les nombres réels sont solutions. OpenStax appelle le cas faux une « contradiction » et le cas toujours vrai une « identité ».

Votre liste de contrôle sur les inéquations et la suite

• Signe : lisez le signe à voix haute et traduisez « au moins » par ≥ et « au plus » par ≤.
• Mêmes étapes : annulez les additions et soustractions, puis les multiplications et divisions, dans les deux membres.
• Règle du négatif : changez le sens seulement quand vous multipliez ou divisez par un nombre négatif.
• Test de la borne : remplacez x par la borne et par un nombre du côté colorié dans l'inéquation de départ.
• Représentation : mettez x à gauche, choisissez une borne comprise ou exclue, et coloriez vers les nombres qui conviennent.
• Ordre : simplifiez chaque membre avec les priorités opératoires avant de déplacer les termes.

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