Vad är en olikhet i matematik?

En olikhet i matematik är ett påstående om att två värden inte är lika, skrivet med , ≤, ≥ eller ≠. En olikhet som x > 5 har en hel mängd lösningar: 6, 5,1 och 100 fungerar alla, men inte 5. Du löser en olikhet som en ekvation, med ett undantag: tecknet vänds när du multiplicerar eller dividerar båda leden med ett negativt tal.

En olikhet är ett matematiskt påstående som säger att ett värde är större än, mindre än eller skilt från ett annat. Olikheten använder tecknen , ≤, ≥ eller ≠ i stället för likhetstecknet. Olikheten x ≤ 4 betyder att x kan vara 4 eller vilket tal som helst under 4, så den har oändligt många lösningar.

Hur löser man olikheter?

Olikheter löser du med samma steg som ekvationer: upphäv först addition och subtraktion, sedan multiplikation och division, och gör samma sak i båda leden. För 3x − 4 > 11 adderar du 4 och får 3x > 15, och sedan dividerar du med 3 och får x > 5. Vänd tecknet bara om du multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal.

Hur ritar man olikheter på en tallinje?

Olikheter ritar du på en tallinje genom att markera gränstalet med en ring och skugga den sida som fungerar. Använd en ofylld ring för eftersom gränstalet inte är en lösning, och en fylld ring för ≤ och ≥ eftersom det är det. För x > 2 ritar du en ofylld ring vid 2 och en pil åt höger.

Vad är skillnaden mellan en ofylld och en fylld ring?

En ofylld ring på en tallinje betyder att gränstalet inte hör till svaret, och en fylld ring betyder att det gör det. Grafen till x < 3 har en ofylld ring vid 3, och grafen till x ≤ 3 har en fylld ring vid 3. Vissa läroböcker ritar en vanlig parentes för ofylld och en hakparentes för fylld.

Olikheter i matematik: lös dem och rita dem

Q: När ska man vända olikhetstecknet?

Olikhetstecknet ska vändas när du multiplicerar eller dividerar båda leden med ett negativt tal. Att dividera −2x ≤ 8 med −2 ger x ≥ −4, där ≤ har blivit ≥. Att addera eller subtrahera ett tal, eller att multiplicera eller dividera med ett positivt tal, vänder aldrig tecknet.

Hastighetsskylten visar 70, ditt barns läxa säger ”lös 3x − 4 > 11”, och båda leder till samma fråga: vad är en olikhet? En olikhet i matematik är ett påstående om att två värden inte är lika, och svaret är oftast en hel mängd tal i stället för ett enda. Kan du lösa en ekvation kan du redan lösa olikheter med samma steg plus en regel om negativa tal, och att rita olikheter handlar om ett gränstal, en ring och en pil.

Vad är en olikhet?

En olikhet är ett matematiskt påstående som jämför två värden med ett av fem tecken: < (mindre än), > (större än), ≤ (mindre än eller lika med), ≥ (större än eller lika med) och ≠ (skilt från). Den spetsiga sidan av < eller > pekar mot det mindre värdet, så 3 < 8 och 8 > 3 säger samma sak.

En ekvation som x + 2 = 7 har ett svar, x = 5. En olikhet som x + 2 > 7 har oändligt många: 6, 5,5, 20 och 1 000 fungerar alla, men inte 5. OpenStax Elementary Algebra 2e säger det så här om x > 3: varje tal större än 3 är en lösning till olikheten.

I USA börjar olikheter i årskurs 6. Common Core-standarden 6.EE.B.8 ber eleverna skriva en olikhet av formen x > c eller x < c för att beskriva ett villkor i ett vardagligt eller matematiskt problem, och inse att sådana olikheter har oändligt många lösningar. Samma standard ber dem visa lösningarna på en tallinje. I Sverige tar Lgr22:s kursplan i matematik upp variabler i uttryck, formler och ekvationer och ”metoder för att lösa linjära ekvationer” i årskurs 7–9, och en olikhet löses med just de stegen.

Spela gratis i webbläsarenJämföra talFörskoleklass–åk 1

Olikheter i vardagen: hastighetsgränser, längdkrav och ”minst”

Olikheter i vardagen är gränser och minimikrav skrivna som matematik. En hastighetsgräns på 70 km/h säger att din hastighet s måste uppfylla s ≤ 70, eftersom 70 i sig är tillåtet. En karusell där åkarna måste vara minst 120 cm långa säger h ≥ 120, och en matplan med ”minst 3 portioner grönsaker” säger g ≥ 3.

Orden bestämmer tecknet. OpenStax påpekar att ”minst” betyder samma sak som ”större än eller lika med”, så ”minst” blir ≥ och ”högst” eller ”inte mer än” blir ≤. ”Mer än” och ”färre än” lämnar gränstalet utanför, så de blir > och <.

Så löser du en olikhet, steg för steg

Att lösa en olikhet betyder att hitta varje värde på variabeln som gör den sann, och metoden är densamma som när du löser ut x i en ekvation. Ta 3x − 4 > 11.

Läs tecknet. Tecknet är >, ”större än”, så svaret blir ”x är större än ett visst tal” om inte en negativ divisor vänder det.
Upphäv addition eller subtraktion. Addera 4 i båda leden: 3x − 4 + 4 > 11 + 4, vilket ger 3x > 15. Addition och subtraktion ändrar aldrig tecknet.
Upphäv multiplikation eller division. Dividera båda leden med 3: x > 5. Division med ett positivt tal behåller tecknet som det är.
Pröva ett tal som borde fungera. Pröva x = 6: 3 × 6 − 4 = 14, och 14 > 11 är sant.
Pröva gränstalet. Pröva x = 5: 3 × 5 − 4 = 11, och 11 > 11 är falskt, så 5 är ingen lösning. Det resultatet säger att du ska rita en ofylld ring vid 5.
Skriv och rita svaret. Lösningen är x > 5: varje tal större än 5, visat med en ofylld ring vid 5 och en pil åt höger.

Spela gratis i webbläsarenLös ut xÅk 6+

När ska man vända olikhetstecknet?

Olikhetstecknet vänds när du multiplicerar eller dividerar båda leden med ett negativt tal, och aldrig annars. OpenStax formulerar regeln på en rad: när en olikhet divideras eller multipliceras med ett negativt tal byter olikhetstecknet riktning. Addition, subtraktion och multiplikation eller division med ett positivt tal lämnar tecknet i fred.

Ett sant påstående visar varför regeln finns. Påståendet 2 < 5 är sant, men om du multiplicerar båda leden med −1 får du −2 och −5, och −2 är större än −5 på tallinjen. Behåller du tecknet får du −2 < −5, vilket är falskt, så tecknet måste vändas till −2 > −5.

Ta −2x ≤ 8: dividera båda leden med −2 och vänd ≤ till ≥, så får du x ≥ −4. Gränstalet hör till svaret, eftersom −2 × (−4) = 8 och 8 ≤ 8 är sant.

Ett tal under −4 fungerar inte: x = −5 ger −2 × (−5) = 10, och 10 ≤ 8 är falskt, så svaret pekar åt höger. Om multiplikation med negativa tal känns osäker går guiden om negativa tal igenom teckenreglerna.

Två rader algebra: −2x ≤ 8, sedan ett korallrött steg där båda leden divideras med −2, sedan x ≥ −4 med det vända tecknet i korallrött, ovanför en tallinje från −6 till 2 med en fylld grön ring vid −4 och en grön pil åt höger.

Olikhetstecknen jämförda: ord, ringar och skrivsätt

Varje olikhetstecken har sina egna ord, sin egen ring på tallinjen och sitt eget skrivsätt som intervall. Intervallskrivsättet är frivilligt de första åren med olikheter, men läroböcker i algebra använder det.

Tecken	Läses	Ring på tallinjen	Exempel	Lösningsmängd	Intervall
<	är mindre än	Ofylld, pil åt vänster	x < −1	alla tal under −1	(−∞, −1)
>	är större än	Ofylld, pil åt höger	x > 2	alla tal över 2	(2, ∞)
≤	är mindre än eller lika med	Fylld, pil åt vänster	x ≤ −1	−1 och alla tal under	(−∞, −1]
≥	är större än eller lika med	Fylld, pil åt höger	x ≥ 2	2 och alla tal över	[2, ∞)
≠	är skilt från	Ofylld, skuggat åt båda hållen	x ≠ 3	alla tal utom 3	(−∞, 3) ∪ (3, ∞)

Intervallskrivsätt i en regel

Intervallskrivsättet anger en lösningsmängd med dess två ändpunkter, med en vanlig parentes för en ändpunkt som inte är med och en hakparentes för en ändpunkt som är med. OpenStax förklarar att parentesen ( visar att ändpunkten inte ingår och att hakparentesen [ visar att den ingår. Oändligheten (∞) får alltid en vanlig parentes, eftersom inget tal når dit.

Skrivsättet varierar mellan länder och läroböcker. Tabellen ovan följer det amerikanska skrivsättet som OpenStax använder; i en del europeiska läroböcker skrivs ett öppet intervall i stället med utåtvända hakparenteser, ]2, ∞[, så kontrollera vilket skrivsätt ditt barns lärobok använder. Ringen och parentesen bär samma budskap: en ofylld ring motsvarar en vanlig parentes och en fylld ring en hakparentes, så x ≥ 2 är en fylld ring vid 2 och intervallet [2, ∞).

Så ritar du olikheter på en tallinje

Att rita en olikhet på en tallinje kräver tre beslut: var gränstalet ligger, vilken ring du ritar och åt vilket håll du skuggar. För x > 2 är gränstalet 2, ringen är ofylld eftersom 2 inte är en lösning, och pilen pekar åt höger mot de större talen.

Ringen kommer från tecknet. Använd en ofylld ring för < och > och en fylld ring för ≤ och ≥. Vissa böcker, bland dem OpenStax, ritar en parentes eller en hakparentes vid gränstalet i stället för en ring, och betydelsen är densamma.

Pilen kommer från riktningen. Med x till vänster skuggar > och ≥ åt höger och < och ≤ åt vänster. Välj ett tal på den skuggade sidan och pröva det: för x ≤ −1, pröva x = −3, och −3 ≤ −1 är sant.

Fyra tallinjer från −5 till 5: x > 2 med en ofylld korallröd ring vid 2 och en pil åt höger, x ≥ 2 med en fylld korallröd ring vid 2 och en pil åt höger, x < −1 med en ofylld blå ring vid −1 och en pil åt vänster, och x ≤ −1 med en fylld blå ring vid −1 och en pil åt vänster.

Regel: skriv om med x till vänster innan du skuggar

En olikhet med variabeln till höger, som 7 < x, är lätt att skugga åt fel håll. OpenStax ger lösningen: x > a betyder samma sak som a < x. Läs 7 < x från x-sidan, ”x är större än 7”, och skriv x > 7 innan du ritar.

Samma grepp städar upp ett färdigt svar. Att lösa 10 ≥ 2x + 4 ger 6 ≥ 2x och sedan 3 ≥ x, som du skriver om till x ≤ 3: en fylld ring vid 3 och en pil åt vänster, och x = 3 stämmer eftersom 2 × 3 + 4 = 10. En tallinje är en axel i ett koordinatsystem, och guiden om koordinatsystemet visar hur samma idé växer till två dimensioner.

Så kontrollerar du framstegen med olikheter

Fem korta uppgifter visar om du förstår olikheter eller bara följer ett mönster. Lös var och en utan anteckningar, pröva gränstalet och jämför sedan.

Ett steg: lös x + 7 ≤ 12. Att subtrahera 7 ger x ≤ 5, en fylld ring vid 5 och en pil åt vänster.
Positiv divisor: lös 4x > −12. Division med positiva 4 behåller tecknet, så x > −3.
Negativ divisor: lös −3x > 12. Division med −3 vänder tecknet, så x < −4. Pröva x = −5: 15 > 12 är sant.
Dolt minustecken: lös 5 − x < 2. Att subtrahera 5 ger −x < −3, och division med −1 ger x > 3.
Textuppgift: du tjänar 500 kr i veckan plus 30 kr per försäljning och vill tjäna minst 1 000 kr. Det ger 500 + 30s ≥ 1 000, så 30s ≥ 500 och s ≥ 500 : 30, ungefär 16,7, vilket betyder minst 17 försäljningar.

Ett användbart test: kontrollen av gränstalet

Kontrollen av gränstalet är ett test på en minut som fångar fel ring och fel riktning. Sätt in gränstalet i den ursprungliga olikheten: det ska göra båda leden lika, och tecknet avgör om det räknas. Pröva sedan ett tal på den skuggade sidan, som måste ge ett sant påstående.

Textuppgiften kommer direkt från en kursplan. Common Core 7.EE.B.4b ber amerikanska elever i årskurs 7 lösa textuppgifter som leder till olikheter av formen px + q > r eller px + q < r och använder samma exempel med en säljare, fast i dollar. Kontrollera den: 17 försäljningar ger 500 + 510 = 1 010 kr, och 16 försäljningar ger 500 + 480 = 980 kr, vilket inte räcker.

Vanliga fel och gränsfall med olikheter

Fyra fel ligger bakom de flesta felaktiga svar på läxor om olikheter, och vart och ett har en snabb lösning.

Att glömma vända tecknet: att dividera −2x ≤ 8 med −2 och skriva x ≤ −4 ger fel halva av tallinjen. Säg ”negativt, vänd” högt varje gång du dividerar med ett negativt tal.
Att vända utan skäl: ett negativt tal i svaret vänder ingenting. I 2x > −8 dividerar du med positiva 2, så x > −4 behåller sitt tecken.
Fel ring: en fylld ring på x > 5 påstår att 5 fungerar, fast det inte gör det. Pröva gränstalet genom insättning innan du fyller i en ring.
Fel riktning med x till höger: 7 < x skuggas åt höger, eftersom det betyder x > 7. Skriv om med x till vänster först.

Gränsfall: dubbla olikheter, ingen lösning och alla reella tal

En dubbel olikhet som −2 < x ≤ 3 ger variabeln två gränser på en gång. OpenStax Intermediate Algebra 2e kallar den en dubbel olikhet och förklarar att a < x < b betyder samma sak som a < x och x < b. På tallinjen ritar du en ofylld ring vid −2, en fylld ring vid 3 och skuggar sträckan mellan dem; som intervall är det (−2, 3].

Att lösa x + 1 < x ger 1 < 0, ett falskt påstående, så olikheten saknar lösning. Att lösa x + 3 > x ger 3 > 0, vilket alltid är sant, så varje reellt tal är en lösning. OpenStax kallar det falska fallet en motsägelse och det alltid sanna fallet en identitet.

Din checklista för olikheter och nästa steg

Tecknet: läs tecknet högt och översätt ”minst” till ≥ och ”högst” till ≤.
Samma steg: upphäv addition och subtraktion, sedan multiplikation och division, i båda leden.
Regeln om negativa tal: vänd tecknet bara när du multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal.
Kontroll av gränstalet: sätt in gränstalet och ett skuggat tal i den ursprungliga olikheten.
Grafen: sätt x till vänster, välj ofylld eller fylld ring och skugga mot de tal som fungerar.
Ordningen: förenkla varje led med prioriteringsreglerna innan du flyttar några termer.

Det kostnadsfria spelet om att lösa ut x tränar de motsatta räknesätten bakom varje olikhet, direkt i webbläsaren utan registrering. Vuxna som bygger upp sin algebra igen kan följa planen i hur du blir bättre på matte som vuxen eller prova mattespelet för vuxna.

Öva vidare i appen MathIt

Ungefär 90 mattespel med anpassad svårighetsgrad, daglig träning och dueller för 2–5 spelare — gratis till iOS och Android.

MathIt är en gratis app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper och anpassad svårighetsgrad, så några minuters daglig övning håller negativa tal och ekvationsstegen snabba.

Vad är en olikhet, och hur löser och ritar man olikheter?

Kort sammanfattat